2025年广东省高数一专升本考试真题及答案

2025年广东省高数一专升本考试练习题及答案一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，则f'(x)的零点个数为（）

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

答案：B

解析：f'(x)=3x^23。令f'(x)=0，解得x=±1。因此，f'(x)的零点个数为1个。

2.设函数y=e^xsinx，求y"的表达式（）

A.e^xsinx

B.e^x(cosx+sinx)

C.e^x(cosxsinx)

D.e^x(2cosx+sinx)

答案：B

解析：y'=e^xcosx+e^xsinx。y"=(e^xcosx+e^xsinx)'=e^x(sinx)+e^xcosx+e^xcosx+e^xsinx=e^x(2cosx+sinx)。

3.设函数f(x)在x=1处有极大值，且f'(1)=0，f''(1)=2，则f(1)的取值为（）

A.1

B.0

C.1

D.2

答案：C

解析：由于f(x)在x=1处有极大值，所以f'(1)=0。又因为f''(1)=2，说明在x=1处函数曲线是向下凹的，因此f(1)为极大值。根据函数的性质，极大值处的函数值比周围的函数值大，所以f(1)=1。

4.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的极值点（）

A.x=0

B.x=1

C.x=2

D.x=3

答案：C

解析：f'(x)=3x^26x。令f'(x)=0，解得x=0，x=2。f''(x)=6x6。当x=0时，f''(0)=6，说明x=0处为极大值点；当x=2时，f''(2)=6，说明x=2处为极小值点。因此，f(x)的极值点为x=2。

5.设函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求f(x)的拐点坐标（）

A.(1,5)

B.(2,3)

C.(3,1)

D.(4,3)

答案：B

解析：f'(x)=3x^212x+9，f''(x)=6x12。令f''(x)=0，解得x=2。当x<2时，f''(x)<0，函数曲线向下凹；当x>2时，f''(x)>0，函数曲线向上凹。因此，x=2处为拐点。f(2)=2^362^2+92+1=3。所以，f(x)的拐点坐标为(2,3)。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=e^x(x^22x+1)，求f'(x)=_______

答案：e^x(x^21)

解析：f'(x)=e^x(2x2)+e^x(x^22x+1)=e^x(x^21)

2.设函数f(x)=x^44x^3+6x^24x+1，求f(x)的二阶导数f''(x)=_______

答案：12x^224x+12

解析：f'(x)=4x^312x^2+12x4，f''(x)=12x^224x+12

3.设函数f(x)=x^55x^3+5x，求f(x)的拐点坐标为_______

答案：(0,0)

解析：f'(x)=5x^415x^2+5，f''(x)=20x^330x。令f''(x)=0，解得x=0。当x<0时，f''(x)<0，函数曲线向下凹；当x>0时，f''(x)>0，函数曲线向上凹。因此，x=0处为拐点。f(0)=0。所以，f(x)的拐点坐标为(0,0)。

4.设函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的极值点为_______

答案：x=1

解析：f'(x)=3x^23。令f'(x)=0，解得x=±1。f''(x)=6x。当x=1时，f''(1)=6>0，说明x=1处为极小值点。

5.设函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求f(x)的极值点为_______

答案：x=0，x=2

解析：f'(x)=3x^212x+9。令f'(x)=0，解得x=0，x=2。f''(x)=6x12。当x=0时，f''(0)=12<0，说明x=0处为极大值点；当x=2时，f''(2)=12>0，说明x=2处为极小值点。

三、解答题（每题20分，共60分）

1.设函数f(x)=e^x(x^22x+1)，求f(x)的单调区间。

答案：f(x)在(∞,0)和(2,+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减。

解析：f'(x)=e^x(x^21)。当f'(x)>0时，f(x)单调递增；当f'(x)<0时，f(x)单调递减。令f'(x)=0，解得x=1，x=1。所以，f(x)在(∞,1)和(1,+∞)上单调递增，在(1,1)上单调递减。

2.设函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求f(x)的极值和极值点。

答案：极大值点x=0，极大值f(0)=1；极小值点x=2，极小值f(2)=3。

解析：f'(x)=3x^212x+9。令f'(x)=0，解得x=0，x=2。f''(x)=6x12。当x=0时，f''(0)=12<0，说明x=0处为极大值点，f(0)=1；当x=2时，f''(2)=12>0，说明x=2处为极小值点，f(2)=3。

3.设函数f(x)=x^55x^3+5x，求f(x)的拐点和单调区间。

答案：拐点(0,0)。f(x)在(∞,0)和(2,+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减。

解析：f'(x)=5x^415x^2+5，f''(x)=20x^3