考研数学二（解答题）模拟试卷230

考研数学二(解答题)模拟试卷230

一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

y/\+xsinx-1

lim

?

1、求极限：、一°e-1

2

标准答案：属型.

5利用洛必达法则.原式=

xsinx\1.・xsinx1sinx+XCO8%

L一—~：----1==hm-；-----=khm=卜+1)

X-My/\+xsinx+1ex-1/2i』-12—2xe2

知识点解析：暂无解析

lim(cotx)wn3x.

2、求

标准答案：

limMn3xlncotx-limsin3xhtanx

lim(cotx)Mn3x=e，-。'=e*-o+

x-*0*

—limunx=t-3lim毕

xz：e工一。一uax：=e<

知识点解析：暂无解析

lim._siar=c

if(J-l)d/

3、确定常数a,c,使得J。,其中c为非零常数.

limqr-sinz.=礴中型=lim”铲

标准答案：由洛必达法则，Jo故a=l,

c=l/2.

知识点解析：暂无解析

1•(i+y),0WxW2,0WyW2,

o

4、设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=1°・其他，求

EX,EY,cov(X,Y),pxy^nD(X+Y).

标准答案：

由已知条件,£(X)=£。)=伊。/7)电二看,

£(f)=七(犬)=j//(%+>)打=-y.

从而D(X)=D(y)=E(X2)-(EX)2=瞿,

又凤M=fdziy：(*+y)dy=等,可得cov(X,V)=E(XY)-E(X)E(Y)=-《,

JoJQOJ30

5

于是On=-^LLXL=--jy,D(A+r)=D(X)+0(y)+2cov(XJ)

V〃AV〃F

知识点解析：暂无解析

5、设f(x)=

七+焉一焉R,ze9'】),试补充定义使得了⑺在

上连续.

标准答案：因为

lim/<x)=limF—H--------------cl

£_i*-i-L穴zsin^x7r(l-x)J

11r「11丁…1「111

-----1-limI-：--------rz----r----Fl】m-：—-r\-----7\；

K^rLsinitx7t(l-x)Jk^o+LsinKU—t)«/」

1,/111*z—sirtr1

-Flim-------------trthm---：----=一•

7T---，一o+\sirurZKZ/K*_o+xsmxn

所以令/(I)=1••则/(x)在已，U上连续.

知识点解析：暂无解析

cosx-e

]im

6、求LOarctan2xC2r+ln(1—2x)],

x2

标准答案：由ln(l+x)=%—2+。(疥得]n(l—2%)=-2%—2/+o(/),于是

arctan2x[2/+ln(l—2%)]~—274；

又由coax=1—苏+X+oCr，),e—丁1+。3）得

J•••

1

COSX一

12

珈._______cos#一€一号_________上

x™arctan2x[2x+ln(1—2x)]24

知识点解析：暂无解析

1y-尸Id/dy

7、计算7其中D={(x,y)|-1<X<1,0<y<2}.

标准答案：令D尸{(x,y)|-1<X<1,0<y<x2},D2={(x,y)|-*1<X<1,x2<y<2},

f则

JC7\工『

P•J\y-dxdy=[|J”-ydzdy+Jy-djdy,

D.%

?

而『J7_yd_rdy=jdr|(1-y”dy=—(x—y)dr

=乳

421

13理-cosrd/=-yJ*(14-cos2r)dr=yJ(14-cos2zbd⑵)

=U：(1+cos/)'df=寻：(]+2coat+cos")d/

故JjJI,一♦'「didy='+£・

D

知识点解析：暂无解析

T

-202'-22i-2-

(1)/1=02225-4

-224--2-45•

A-20-21

|AE-4|0A-2=A(A—2)(A一6).

标准答案:(1)先求特征值-2-2八一4」A

的特征值为0,2,6.再求单位正交特征向量组属于0的特征向量是齐次方程组

-202-ior

A=022011

AX=0的非零解,-224--000得AX=0的同解方程组

产♦=0

'出,力=0，求得一个非零解为（1,1,—1户，单位化得

一乳J7、属

于2的特征向量是齐次方程组（A—2E）X=0的非零解，

oo2-IIO'

A-2E=oo2001f*i+叼=0

得AX=0的同解方程组‘盯=。，求得一个非

■222-■000-

T

y-i=I,-1.0),

零解为（1,-1,0）T,单位化得属于6的特征向量是齐次方

--402■,20-i

A0-420

程组（A-6E）X=0的非零解，•22-2--000得AX=0的同解

=0

产I-X3

12町-巧=0,

求得一个非零解为（1,1,2）\单位化得

力=£（1，］,2）二

作正交矩阵

000-

Q=（，由，力），则Qi。==020•

6」（2）先求特征值

方程组0

A-2-22

2

|AE-4|-2A-54=(A-1)(A-10).

24A-5

A的特征值为1,1,10,再

求单位正交特征向量组属于1的特征向量是齐次方程组（A—E）X=0的非零解,

12-2I2-2'

A-E=24-4000

--2-44000-得（A—E）X=0的同解方程组x1+2x2-

2x4=0,显然四二(0,1,1)T是一个解.第2个解取为a2=(c,—1,1)T(保证了与

四的正交性！)，代入方程求出c=4,即霞=(4,-1,1)T.令

=a】/Ia\II=§(。,1,1)T，力是=-2,III=三(4、-1,1)，•

再求出属于10的

特征向量是齐次方程组(A-10E)X=0的非零解(1,2,一2)T，令

/IIaaII=(1,2,—2)T/3.作正交矩阵Q=(yi，丫2，Y3).则

100­

Q1AQ=Q''AQ=010-

0010-

知识点解析：暂无解析

(2—Qe'df

9、求函数f(x)=Jo的最大值与最小值.

标准答案：因为f(x)为偶函数，所以只研究f(x)在［0,+8)内的最大值与最小值即

可.令P(x)=2x(2-x2)er=0,得f(x)的唯一驻点为x=口当x£(0,)时，f(x)>

0,当xW(,+co)时，f(x)<0,注意到驻点的唯一性，则x=为函数f(x)的最大值

点，最大值为因为f(i8)=f(-8)=(2-t)c%t=l及f(0)=0,所以最小值为0・

知识点解析：暂无解析

lim/n/(-).

10、设丫=敢)与y=si”在原点相切，求…。?n

标准答案：由题意得f(0)=0,f(0)=cosxIx=o=1，

I-----n-I/(今—f(。)

lim-)=V2/lim------------------=y/2•(0)=J2.

-n1一；

知识点解析：暂无解析

11、设A为正交矩阵，且IAl=-1,证明：入=-1是A的特征值。

标准答案：要证入=-1是A的特征值，需证IA+EI=0o因为IA+EI=I

A+ATAI=I(E+AT)AI=IE+ATI|A|二一IA+EI,所以IA+EI=0,故入=一

1是A的特征值。

知识点解析：暂无解析

12、求微分方程/y，|0=丫2满足初始条件y⑴=1的特解.

标准答案：由£y，+zy=y2得"'工工，令u="，则有

H7=受，两边积分得^-^|=ln|x|+ylnC即^~^=cj

yu-2

因为y(l)=l，所以C=—l,再把u=z代入u=C/得原方程的特解为y=

2H

1+J*1

知识点解析：暂无解析

设人=求

13、I-2BI；

标准答案：I-2BI=(-2)3|BI=-8；

知识点解析：暂无解析

14、AB-BA.

标准答案：AB=

3311143.220

0-10=41—4—2―2

1215一21-440

知识点解析:暂无解析

'0-14

4=-13a

15、设40°」且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第

士(1,2」)1

一列为西，求a，Qo

标准答案：按已知条件，(1,2,1产是矩阵A的特征向量，设特征值是那么

-o-14yr1

A।=2,

—13a2=2-1+6+a=2A1,=

=-lo

-4aO-IL1.4+2a+0=A

AI-4

又因lAE-Al=iA-31=(A-2)(入-5)(A+4).

1-4

的特征值是2,5,一4。对入=5,由(5E—A)x=0得基础解系(X2=(l,—1,1)L

T

对九=一4,由(一4E-A)x=0得基础解系a3=(—1,0,1)O因为A是实对称矩

阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化（X2,a3,即

%=1,T,1）。%=匕（-1,0,1）,,

-1

11

后另一万口]

2

令e=_*0，则有0AQ=Q"4Q=5。

屈

"-4-

I

11

-而万万」

惭

知

点

他

谀：暂无解析

p…=0，

16、设（I）和（n）是两个四元齐次线性方程组，（I）为I。-4=°，（口）有一

个基础解系（0,1,1,0）T，（—1，2,2,1）T.求（I）和（口）的全部公共解.

标准答案：（I）,由此可决定C]与C2应该满足的条件.具体计算过程：将C]T]]+

1-C2+C]+2c2=0,

c2n2=（—C2,Cl+2c2，Cl+2c2，C2）T,代入（I）,得到C|♦2c2"c2=°，

解出Cl+c2=0.即当C[+c2=0时C]r|l+c2n2也是（I）的解.于是（I）和（11）的公共

解为：C（]]]—112），其中C可取任意常数.

知识点解析：暂无解析

+

0X|+2X23与=4,

=2,

+bx3

X+=6

17、当a,b取何值时，方程组2ax}+22有唯一解，无

解，有无穷多解?当方程组有解时，求其解.

(I)当

a#0,且厚3时，方程组有唯一解回（□）当a=0时，方程组均无解.（HI）当

n#）,b=3时,方程组有无穷多解+k（0,-3,2）T.

知识点解析：暂无解析

在

18、证明：用二重积分证明儿