考研数学（数学二）模拟试卷309

考研数学(数学二)模拟试卷309

一、选择题(本题共7题，每题7.0分，共7分。)

1-/=[

1、设f(x)在X=0处存在4阶导数，又设，-anrsinJ则必有()

A、f'(0)=1.

B、f'(0)=2.

C>f'(0)=3.

D、/4)(O)=4.

标准答案：C

知识点解析：法一用皮亚诺泰勒公式.先考虑分母，

-

inn.rsinj—(-----1)sin—(1cosr)sinr

COST2'‘"""将分子f(x)在xo=O按皮亚诺

余项泰恸公式展至，『3,得』—"，一"(":d”>代入极

「，八U.11■IJ1■!\

*sinJ

限式，得所以,

(0)=0,f(0)=0,f'、(0)=0.f\o)=3.故应选C.法二分母用等价无穷小替

lim—^4—丁lim伴=1.

换.—……/可见""则⑺’，不然与极限为1矛盾.用洛必达

法则，得".二’可见‘"叫⑴".小然，上式应为oo,与等于1矛

•••・o.rr6J

盾.可以再用洛必达法则.由题设上式应为1,

所以「'(0)=3.【注】用解法一时，本题条件只要设f…(0)存在即可.用洛必达法

则时，本题条件只要f''(x)在x=0处连续即可.题设«，())存在，是为了选项D而

设计，保持匀称而已.

2、下列反常积分中，收敛的是()

A、L广dr

C、J1J

/2_

D、IrCr:-1)

标准答案：c

知识点解析：通过具体计算，对于

L1：打旨尹一)斤，1

j-严….Cr,y〉H《O・O).

fCr,.y)=r/r一.

3、设h<3)=(0，。)则f(x,y)在点0(0,0)处()

A、两个偏导数均存在，且函数连续.

B、两个偏导数均存在，函数不连续.

C、两个偏导数均不存在，函数连续.

D、两个偏导数均不存在，函数也不连续.

标准答案：A

知识点解析：/''(3⑴■•…|厂「/11.

」上「141当(x,y)—>(0,0)),由夹逼定理知

岫/'7>〃'皿儿3在点(0,0)处连续.

4、设f(x)在［a,b］上可导，f'(a)f'(b)<0.则下述命题正确的是()

A、至少存在一点xo&a,b)使得f(xo)

B、至少存在一点xo6(a,b)使得f(xo)

C>至少存在一点x()E(a,b)使得f(xo)=O.

D、至少存在一点xo€(a,b)使得八丸尸已/'⑹”

标准答案：C

知识点解析：证明C正确.不妨设f'(a)>0,f'(b)<0.由导数定义及极限的保号性,

I■/《1)—/(«)Q

得"3—a"'则在x=a的右侧去心邻域，存在X”使得f(x1)>

f(a).又由'‘⑷，呼号三R在x=b的左侧去心邻域，存在X2,使得

f(X2)>f(b).所以f(b)与f(b)均不是f(x)在［a,b］上的最大值，因此必存在x()6(a,

b),使得"吧朴"所以的)是f(x)的一个极大值，从而f,(xo)=O.故C正

确.A,B,D的反例:f(x)=x(l-x)oxG［O,1］,f(O)=f(l)=O,当x&0,1)时，

f(x)>0.故知A,B,D均不正确.

5）|min<l,，｝df=（）

2

3

'Y,1X1.

x4~~♦x>l.

C、

.r-y,x<-1

"y•l«I《1

cZ一”>1.

D、

标准答案：B

_•/a!f.I/Kl

知识点解析：将min{l,t2}写成分段函数mm'1.M>1当x<—I时,

mini1>dr=jr<l/4-ldr=一■,

3当一1<X<1时，

故应选B.

6、设A是4x3矩阵，B是3x4非零矩阵，满足AB=O,其中［*则必有()

1r

9t3

|7/187-2/1

L9+，1+f4.

A、当t=3时，，r(B)=l.

B、当日3时，r(B)=l.

C>当t=3时，r(B)=2.

D、当f3时,r(B)=2.

标准答案：B

知识点解析：由题设AB=O,知r(A)+r(B)W3.(3是A的列数或B的行数)又B是非

零矩阵，有r(B)。,从而有1夕(B)W3,r(A).又

I]1-n

r.<-t-2r,19-3/

9，31n-ri9-3/L30/-30

■

7/-187-2/6,786-2,ori-r：|00(»*

.9+/1+/产9-3f/-3().I00d当t=3时,

r(A)=l,thl<r(B)<2.r[B)=l或r(B)=2,r(B).C不成立.当学3时,r(A)=2,故

l<r(B)<l,故r(B)=l.故应选B.

7、设A是3阶实对称矩阵，入I，九2,七是A的3个特征值，且满足

a>X]>X2>X3>b,若A—是正定矩阵，则参数p应满足()

A、|i>b

B、p>a

C、p<a

D^p

标准答案：D

知识点解析：A有特征值X1,入2，入3，则A—|1E有特征值X1一|4九2一卜小3—1且

满足a一层入1一陀:入2一度入3一NNb一山A—1正正定，全部特征值应大于0,当

b—N>0即b>p时，A—pE正定。故应选D.

二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

,1-/2—sinT—

8、⑴(E

标准答案：e'

|irn(2z^!l^铲町而

知识点解析：…

处息小(卜匕

1+1

1+彳

济必达法则..sinJT-cosx—1

■5一百名一所以原式F-2.

9、设依)为连续函数，且jm-岫・为”+而・m)・i则0G出

3

标准答案：4

知识点解析：作积分变量变换，令2x—t=u,即t=2x—u,原式化为

2

P、«(、(/、1.z.._2x2J-|/(w)dtt-fuf(uhlu=Jln(l+X).

2

-«)/(«)(-d«)»yln(14-J)g|jLJ，2两边对x

求导，得可:"八"+"[2"2"-/(1)]一[2"(2"・2-"")]=7^?即

0:八")必一"⑺=j力俎21c=1+1=等〃⑺匕=|

..(142J)^

lim------：-----

10、1,,心=

标准答案：e2

../1I/11ov2\ln(I+2r)-2)

《】卜〉r：

h■•m7八(r.1ln2/1fl-lim-------J-'-------

2—9.4/

……^^.回一Hlim注红二-2.”，，HIX?

知识点解析：吧匕;21所以原式:

11、微分方程"子=”门的通解是y=.

标准答案：

-L_,。vC，4V+LcV=.

知识点解析：将•/.,化为山/

即^"十!。’=八c'='"+(')=[；](|riJ-.dr+(')

当了>0时,e，=十(j/clrI「)/：(《•「’+()；

当」‘<.()时,e=.十(一产a,+r)=二一•；(一^+r).

合并可写成c、=±(>p+r).即产

12、设y=y(x)是由方程x2+y=tan(x—y)确定的函数,且满足y(0)=0.则

y"(o)二.

标准答案：一1

知识点解析：2x+y=sex2(x—y).(l-y'),以x=0,y=0代入，得丫'(0尸1—y(0),所

、,夕(0)一”

以*2再求,2+y=2sec(x—y)sec(x—y)tan(x-y).(l-y)2+scc2(x一y).(y)以

x=0,y=0代入，2+y(0)=~*y(0),所以y(0)=—1.

13、设与二[1,3,一2『，々=[2,—1,3『是Ax=0的基础解系，Bx=0和Ax=0是

8x=0,

同解方程组，口=[2,a,b]T是方程组力+"?+4=一2的解，则川=.

标准答案：[2,—6,8]T

!Bx-0.

知识点解析：因r)是5+。户——-2的解，故p应满足XI+2X2+X3=—2,代入T)，

得2+2a+b=・2,2a+b=~4o得『⑵a,-2a-4]T.又Ax=O和Bx=0是同解方程

组.n满足Bx=o,即满足Ax=O,n应可南Ax=O的基础解系线性表出，即方程组

122•21

扁《：I|J—3-1

XI&+X242F有解.L-230一&一6」

由r(。，Q尸r(M，《2，11)=2,得a二一6,故r)=[2,—6,8]丁.

三、解答题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

14、设f(x)在x=0处存在二阶导数，且吧/〜求f(O),f(0)及

f,(0).

标准答案：用皮亚诺余预泰勒公式，将f(x)展开至

:

2=lim1/

_4__一4____0J

•r，

/C/w—1]+"八0)++]+信八0)—9卜十。吐)

=lim

可见/(0)=l/(0)+3——}rr(0)—=2=>r(0)=浮.

n=2."ZZ33

知识点解析：暂无解析

15、计算定枳分岛水”(常数(a>0).

标准答案：法一由分部积分，则

原式==iarcianJ'一1---•尸患飞

a十工2#4

知识点解析：暂无解析

16、设z=z(x,y)是由方程”+2y—z=e，所确定，求山谊丫’

标准答案：将x?+2y—z=ez两边对x,y分别求偏导数，得

I__a~x

c。，一】-lar?，a+zx,

cos2t-[-丁j-----«.r-<2cos2n/.

1Itanz,,g-ra

a+«r

原式二/d(acos2f)=urcos2tcos2/山_dz

2x2—杀二小也

air-ardydy

1cos2zdf=z*sin2t玄=2xdz2•dz

oZ

o即也1+/'&y-l+e『将W/

Srz

求偏导数，其中z应看做X,y的函数，有不必（1+/）2力（1+一尸

知识点解析：暂无解析

17、⑴设k为正整数，-I证明F（x）存在唯一的零点，记为

Ilim£」

xk；（口）证明一y'存在，且其极限值小于2.

r

F（o）=['ym&vo.F（m=「厂'由+「y7TTdz>o,I,‘

标准答案：⑴八"'Jo''故至少存

在一个零点.又下匕）=…“*+】•/AOkeGo,故至多存在一个零点，所

以有且仅有一个零点，定为Xk，且

加（冬2=1+]―n"冬岛T）<2,由单调有界

lim—jj

定理知一•白存在，且极限值小于2.

知识点解析：暂无解析

18、设f（u）具有连续的一阶导数，且当x>0,y>0时，5*"；）满足‘£T

2y歙=（卫y

9求z的表达式.

家口（少/”右），

啮+噫=/（»）+纱（/+行⑷

标准答案：

=+"+打（少原给方程化为加沙+（»/'（»（*•记“4是上

式成为常微分方程/'")'T""解得

/(«)=-e]、d”+r)=J+(、)

知识点解析：暂无解析

19、设f(x)在⑶b]上存在一阶导数,且|f'(x)l$M,"二°证明:当

行’「/⑺叫”M.

xe[a,b]时，IL>&

标准答案：令⑺"故在缶，b)内l(p(x)l存在最大值点x=xo.若I

(p(xo)I=0,则(p(x)I=0,结论自然成立.若I(P(xo)I翔，则(p(xo)总是(p(x)的极值

(极大值或极小值)，于是(p(xo)=O.由泰勒公式，

冈r)=+卜%“心一/以蛇尸。，Q(a)=o分别代入上式，

并且注意到<p(x())=0,(p(x)=f(x),于是有

0—夕《八，十3/'(&)《。一4”尸・

0=W(*>+g，Xo)'.

I夕(n)-J/'(&>《"一/>2W4-M(d-J”尸•上曰

乙4JTH

W《_r“)|=|.无论是:a4.r"还是

+(a+〃)V「V氏总可得“5，>1V.M于是有

中(才)|=j[/⑺山《看M(b-

知识点解析：暂无解析

,、lim।i/sin/；d/.

tsin』i也其中

20、⑴计算J"n为正整数;(口)求一「」。

/isinrId/一/i(k=5(-1)*|rsin/dr

37~Z•»*«

Q+l3

.I)*(­/cosf「sin/)

(2£十I)x1+2M—I-n2x.

标准答案：⑴(n)设n<x

<n+l,有rurWx兀V(n+1)兀,于是

-—^-r-rzjW/1sin/1d/<-^rI?|sinfd/<4r|/Isinhd/

(w+l)-J<.I*Ja//,jo即

一1f”,[•,11,(〃+1)7

mjr、了Id--r,当n一8时，由夹逼定理得

limjy|t!sin/1d/-it.

知识点解析：暂无解析

设A3x3=[ai,ct2,a3],方程组Ax=p有通解k4+r|=kEl,2,一3],+[2,—1,1『，其

中k是任意常数.证明；

21、方程组(ai,a2)x=B有唯一解，并求该解；

标准答案：由题设条件(c”,a2,a3)x都有通解k[l,2,一3]丁+[2,-1,1]T,知

r(ai,a2,a3)=r(ai,a2,a3，份=2,(*)ai+2a2-3。3=0，(**)P=(k+2)ai+(2k—Ig+L

3k+l)a3.(**衿其中k是任意常数.⑴由(**)式得°•2%),知川用线性无

关(若ai,a2线性相关，又如';2a2),得r(a102,013)=1,这和关系式(*)矛

盾).由(*)式知山,。2是向量组011,012,(X3及011,012,(X3,003，P的极大线性无关组，从而

有r(cq,a2)—r(a(,a2，。)=2,方程组(ai,a2)x=。有唯―a解.由(***)式取s的系数一

3k+l=0,即取”=不得(ai,a2)x=。的唯一解为三明一?“即唯一解

丁〔孑・7丁・

知识点解析：暂无解析

22、方程组[ai+a2+a3+p，aj,g,a3lx邛有无穷多解，并求其通解.

标准答案：因r(ai,a2,a3)=r(ai,(X2,a3,p)=r(ai+a2+a3+p,ai,a2,a3)=r(ai+a2+a3+B，

ai,012,(13，P尸2,故方程组(ai+a2+ct3+p,ai,a2,a3)x邛有无穷多解，且其通解形式为

k]&+k2及+/，其中Y为方程组的特解.由式(**)

-1'

a+2«2-3«3=(<11.a?・a)2=0

「3」得

-1-•1

一]-1

（«i+。2+&+#必・aa=p,即小=

-1-1

观察--1-