角学的起源与发展

壹角学的起源与发展

三角学之英文名称Trigonometry,约定名於西元1600年，实际导源於希腊

文trigon。(三角)和metrein(测量)，其原义为三角形测量(解法)，以研究平

面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学

科。早期的三角学是天文学的一部份，彳爰来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为

主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限於三角形，且为数理分析之基

础，研究实用科学所必需之工具。

(-)西方的发展

三角学(Trigonometry)创始於西元前约150年，早在公元前300年，古代埃

及人已有了一定的三角学知识，主要用於测量。例如建造金字塔、整理尼罗河泛滥

彳友的耕地、通商航海和观测天象等。公元前600年摆布古希腊学者泰勒斯(pl3)利

用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。公元前2世纪彳麦

希腊天文学家希帕霍斯(HipparchusofNicaea)为了天文观测的需要，作了一个

和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，

他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。

公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)

继承希帕霍斯的成就,加以整理发挥，着成《天文学大成》13卷，包括从0

0到90。每隔半度的弦表及若干等价於三角函数性质的关系式,被认为是西方第

一本系统论述三角学理论的看作。约同时代的梅内劳斯(Menelaus)写了一本专

门论述球三角学的着作《球面学》，内容包球面三角形的基本概念和许多平面三

角形定理在球曲上的推广，以及球面三角形许多独特性质。他的工作使希腊三角

学达到全盛时期。

(二)中国的发展

我国古代没有浮现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的

实际问题。据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量

太阳的高度，其方法彳菱来称为「重差术」。1631西方三福净首次输入，以德国传

教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启(p20)合编的《大测》为代表。同年徐光启

等人速编写了7W全义》，其福萍面三角和球面三角的论述。1653年颓祚

与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以「三角」取代「大测」，确立了「三

角」名称。1877年华衡煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨。

现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等,

多发展於20世纪中。

贰、三角函数的演进

正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数统称为三

角函数(Trigonometricfunction)。

尽管三角知识起源於远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉三角)

(1707-1783)在《无穷小分析引论》一书中首次给出的。在欧拉之前,研究三角

函数大都在一个确定半径的圆内进行的。如古希腊的托初密定半径为60；印度人

阿耶波多(约476-550)定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯(1436-1476)

为了精密地计算三角函数值曾经定半径600,000；彳发来为制订更精密的正弦表又

定

半径为107。因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长。

意大利数学家利提克斯(1514T574)改变了前人的做法，即过去普通称AB

为泰的正弦，把正弦与圆牢牢地连结在一起(如下页图)，而利提克斯却把它

称为NA0B的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆0成为从属地位了。

到欧拉(Eulor)时,才令圆的半径为1,即置角於单位圆之中，从而使三角函数定

义为相应的线段与圆半径之比。

L正弦、余弦A

在AABC中，a、b、c为角A、B、的对'边，R为4ABC的外接圆半径，则有

D

abp

sin4sinB°sinC

称此定理为正弦定理。「

正弦定理是由伊朗着名的天文孽家阿布尔・威发(940-998)首先发现与证明

的。中亚细亚人阿尔比鲁尼(973-1048)(pl5)给三角形的正弦定理作出了一个证

明。也有说止弦定理的证明是13世纪的那希尔J在《论彻底四边形》中第一次

把三角学作为独立的学科进行论述，首次清晰地论证了正弦定理。他还指出，由

球面三角形的三个角，可以求得它的三个边，或者由三边去求三个角。这是区别

球面三角与平面三角的重要标志。至此三角学开始脱离天文学，走上独立发展

的道

路。

托勒密（ClaudiusPtolemy）的《天文学大成》第一卷

除了一些初级的天文学资料之外，还包括了上面讲的弦表：

1

它给出一个圆从（一2）°到180°每隔半度的所有圆心

角所对的弦的长度。圆的半在被分为60等分，弦长以每一等分为单位，以六十进

位制表达。这样，以符号crda表示圆心角a所对的弦长，例如crd36°=

37

37P4'55〃，意思是：36°圆心角的弦等於半径的⑹厂（或者37个小部份），加

之

455

一个小部份的60，再加之一个小部份的3W0,从下图看出，弦表等价於

正弦函数表，因为

公元6世纪初，印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限内间隔3°45'的正

弦表，依照巴比伦人和希腊人的习惯，将圆周分为360度，每度为60分，整个圆

周为21600份，然彳笈据2nr=216000,得出13438（近似直，，然彳爰用勾股定理

先算出30；45；先。出正弦之彼，再用半角冷式算出「引角1次正弦值，从而

获得每隔3°45'的正弦长表：其中用同一单位度量沙不着最早的弧

度制概念。他在计算正弦值的时候，取圆心角所对版的与长/匕起筝腊人取全

弦长更近於现代正弦概（）

念。印度人还用到正矢和余弦，并给出一些三角函数的近似分

数式。

2.正切、余切

着名的叙利亚天文学、数学家阿尔―巴坦尼（850-929）於920年摆布，制成为

了____________

自0°到90。相隔1°的余切［cotangent］表。

公元727年，僧一行受唐玄宗之命撰成《大行历》。为了求得全国任何一地方

一年中各节气的日萩凄,一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的口影长度对应

表，而太阳天顶距和日影长廊关系即为正切（tangent）函数。而巴坦尼编制

的是余切函数表，而太阳高度（角）和太阳天顶距（角）互为余角，这样两人的

发现实际上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。

14世纪中叶，中亚细亚的阿鲁伯(1393T449),原是成吉思汗的彳麦裔,他组

织了大规模的天文观测和数学用表的计算。他的正弦表精确到小数9位。他还制

造了30°到45。之间相隔为1',45。到90。的相隔为5'的正切表。

在欧洲，英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁(1290-1349)首先把正切、

余切引入他的三角计算之中

3.正割、余割

正割(secant)及余割(cosecant)这两个概念由阿布尔

一威发首先引入。sec这个略号是1626年荷兰数基拉德

(1595T630)在他的《三角学》中首先使用，彳爰经欧拉采用

才得以通行。正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的。

欧洲的「文艺复兴时期」，(14世纪-16世纪)伟大的天文学家哥白尼

(14737543)提倡地动学说，他的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密,认

为推算更精确的三角函数值表刻不容缓。於是他定圆的半径为10.5,以制作每隔

1C〃的正弦、正切及正割值表。当时还没有对数，更没有计算机。全靠笔算，任务

I分繁重。利提克斯和他的助手们以坚毅不拔的意志,勤奋工作达12年之久，遗

憾的是，他生前没能完成这项工作,直到1596年，才由他的学生鄂图

(1550-1605)完成并发布於世，1613年海得堡的彼提克斯(156匚庙13)乂修订

了利提克斯的三角函数表,重新再版。彳爰来英国数学家赧尔发现了对数,这就

大大地简化了三角计算,为进一步造出更精确的三角函数表创造了条件。

4.三角函数符号

毛罗利科早於1558年已采用三角函数符号，但当时并无

函数概念，於是只称作三角线(trigonometriclines)o他以sinuskarcus表

示正弦，以sinus2marcus表示余弦。

而首个真正使用简化符号表示三角线的人是T.芬克。他於1583年创立以

"tangent"(正切)及“secant”(正割)表示相应之概念,其彳及他分别以符号

“sin.","tan."，“sec."，“sin.com”,“tan.com",“sec.com”表

示正弦，正切，正割，余弦，余切，余割，首三个符号与现代之符号相同。彳灸来

的符号多有变化，下列的表便显示了它们之发展变化。

使用者年代正弦余弦正切余切正割余割备注

罗格蒙格斯1622•T.(Tang)T.cjplSec

吉拉尔1626tansec.

杰克1696S.cos.t.cot.sec.cosec.

欧拉1753sin.cos.tag(tg).cot.sec.cosec

谢格内1767sin.cos.tan.cot.I

「巴洛1814sincos.tan.cot.seccosec•

施泰纳1827tgII

皮尔斯1861sincos.tan.cotallseccosec

奥莱沃尔1881sincostancotseeCSC~I-

申弗利斯1886tgctgII

万特沃斯1897sincostancotsecCSC

舍费尔斯1921sincostgctgsecCSCII

注：I-现代（欧洲）大陆派三角函数符n-现代英美派三角函数符号

我国现正采用I类三角函数符号。

1729年，丹尼尔.伯努利是先以符号表示反三角函数,如以AS表示反正弦。

1736年欧拉以At表示反正切，一年彳麦又以AsinL表示於单位圆上正弦值相

c

等於£"的弧。

b

1772年，C.申费尔以arc,tang.表示反正切；同年，拉格朗日采以

,1

肛$叱R表示反正弦函数。1776年，兰伯特则以arc.sin表示同样意思。1794

年，邂到以表示反正弦函数。其接这些记法逐渐得到普及，去掉符号中之小点，

便成当今通用之符号，如arcsinx,arccosx等。於三角函数前加arc表示

反三角函数，而有时则改以於三角函数前加大写字母开头Arc,以表示反三角函

数之主值。

另一较常用之反三角函数符号如sinix,tana等，是则筌於1813年开始

采用的，把反三角函数符号与反函数符号统一起来，至今亦有应用。

参、三角函数的和差化积公式

下列公式

称为三角函数的和差化积公式。

法国着名数学家玉达（1540-1603）（pl8）在他的着名的三角学着作《标准数学》

中采集并整理了菽三角公式并赋予补充，其中就有他给出的恒等式：

..4+5,A-B

sinA4-sin5D=2ncos——sin——

22

【彳爰记】三角函数名称的由来和补充

想知道为何三角函数要叫做sin,cos这些名字吗经过了多方的查取资料•，找到

了下图：

上面这个图称为三角圆［半径=1）,是用图形的方式表达各函数。其中我们

可以看到，sin。为PM线段，也就是圆中一条弦（对20圆周角）的一半，所以

称为「正弦」。而cos。是0M线段，但OM=NP,故我们也可以将cos0视为NOP

（90°-0）的正弦值，也就是。的余角的正弦值，故称之为「余弦」。其余类推。

此外，除了课本中教的六种三角函数外，我们还查到了其他的三角函数，如

上图中的vers（）、covers。和exsec。。事实上，在历史上曾经浮现过的三角函

数种类超过十种呢!但最彳发只剩卜这六种常用的。其他的还有如半止矢（have）

古德曼函数和反古德曼函数等。

【补充：小历史】

大部份的三角函数一开始都是由於天文上的需要而造出来的。在三角函数传入中

国时，正、余矢函数还未废弃，故徐光启将八种三角函数称为「八线」。彳发来因为

矢类函数废弃不用，故八线之名渐被「三角」取代，但统一的名称还是到了民国

以彳发才确立的。

参考资料：

1.梁宗巨（1995）,《数学历史典故》（九章出版社）

2.王怀权《几何发展史》（凡异出版社）

参考网站:

泰勒斯(TalesofMiletus)

约公元前625-前547,古希腊

古希腊哲学家、自然科学家。生於小亚细亚西南海岸米利都，早

年是商人，曾经游历巴比伦、埃及等地。泰勒斯是希腊最早的哲

学学派一伊奥尼亚学派的创始人，他几乎涉猎了当时人类的

全部思想和活动领域，被尊为「希腊七贤」之首。而他更是以

数学上

的发现而出名的第一人。他认为处处有生命和运动，并以水为万

物的本源。

泰勒斯在数学方面的划时代贡献是开始引入了命题证明的思想，它标志着人们对

客观事物的认识从经验上升到理论。这在数学史上是一次不寻常的飞跃，其重要

意义在於：

L保证命题的正确性，使理论立於不败之地；

2,揭露各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展

打下基础；

3.使数学命题具有充份的说服力，令人深信不疑。

数学自此从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，逐渐形成一门独立

的、演译的科学。

证明命题是希腊几何学的基本精神，而泰勒斯是希腊几何学的先驱。在儿何学

中，下列的基本成果归功於他：

1.圆被任向来径所平分；

2.等腰三角形的两底角相等；

3.两条直线相交，对顶角相等；

4.已知三角形两角和夹边，三角形即已确定；

5.对半圆的圆周角是直角；

6.相似三角形对应边成比例等等。

泰勒斯在埃及时还曾经利用日影及比例关系算出金字塔的高，说明相似形已有初

步

认识。在天文学中他曾经精确地预测了公元前585年5月28

日发生的日蚀，还可能写过《航海天文学》一书，并已知按春分、夏至、秋分、

冬至划分四季是不等长的。

阿尔-比鲁尼al-Biruni(973-1050)

比鲁尼生於今乌兹别克的一个城市，毕生从事科学研究和写作，共写了大约146

部着作，但留传至今的惟独22部。按已知其页数的着作估算，比鲁尼写出的手稿

当有13000页之多，之中几乎涉及到当时所有科学领域，如天文学、历史学、地

理学、数学、力学、医学、药物学、气象学等。比鲁尼特殊偏重於那些易受数学

影响的学科，其大部份之着作均是天文学和占星术有关。他在数学的应用，特别

在数学的传播、东西方数学的交流方面，做出了突出的贡献。

欧拉(EulerLeonhard,1707-1783)

欧拉，瑞士数学家及自然科学家。在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，

1783年9月18日於俄国的彼得堡去逝。欧拉出生.於牧师家庭，自幼已受到父亲

的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。

欧拉的父亲希翼他学习神学，但他最感兴趣的是数学。在上大学时，他已受

到约翰笫一.伯努利的特殊指导，专心研究数学，直至18岁，他彻底的抛却当

牧师的想法而专攻数学，於19岁时(1726年)开始创作文章，并获得巴黎科学

院奖金。

1727年，在丹尼尔.伯努利的推荐下，到俄国的彼得堡科学院从事研究工作。

并在1731年接替丹尼尔第一・伯努利，成为物理学教授。

1735年，他因工作过度以致右眼失明。在1741年，他受到普鲁士腓特烈大

帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职。他在柏林期间，大大的扩展了

研究的内容，如行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与

他的数学研究互相推动着。与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其他数学

领域均有开创性的发现。

1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在1771年，一场重病

使他的左眼亦彻底失明。但他以其惊人的记忆力和心算技巧继续从事科学创作。

他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成为了大量的科学着作，直至生命

的

最彳灸一刻。

欧拉是数学史上最多产的数学家，我们现在习以为常的数学符号不少都是欧

拉所发明介绍的，例如：函数符号f(x)、圆周率1、自然对数的底e、求和符号

2、logx、sinx、cosx以及虚数单位i等。乔治西蒙曾经称他为数学界的莎

±

比亚。

韦达FrancoisViete(1540-1603)

法国数学家。亦译维埃特。因其着作均用拉丁文发表，故名字当用拉丁文拼

法，译为韦达（Vilta）。1540年生於普瓦图地区丰特奈一勒孔特，1603年12月

13日卒於巴黎。早年在普瓦捷大学学习法律，1560年毕业彳爰成为律师，彳爰任过

巴黎行政法院审查官，皇家私人律师和最高法院律师。1595-1598年对西班牙战

争期间破译截获的西班牙密码，卓有成效。他业余研究数学，并自筹资金印刷和

发行自己的着作。

主要着作有：《应用三角形的数学定律》（1579），给出精确到5