线性规划题型总结

线性规划题型总结

知识点

(1)在坐标系中画不等式加+8y+C>0(或<0)所表示的区域时，把直线Ax+8y+C=0画成

虚线以表示区域不包括边界直线；而画不等式4x+8y+CN0(或W0)所表示的平面区域时，

要把直线画成实线以表示区域包括边界直线.

用二元一次不等式表示平面区域可分为如下四种情形：

元

二

一

不

次

等

式

说明对于二元一次不等式不带等号时，其表示的平面区域，

_________应把边界直线画成虚线______________________________

(2)简单线性规划问题是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以

仆么实际问题提出，其解题步骤为：一是寻求线性约束条件与线性目标函数；二是由二元

一次不等式表示的平面区域作出可行域；二是在可行域内求目标函数的最优解.

(3).确定不等式Ax+By+C>0(<0,20,W0)表示直线Ax+By+C=0的哪一侧时，常用

下面的方法：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取一点(xo,"),把它代入Ax+By

+60,假设不等式成立，那么和％,yo)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否

那么，直线的另一侧区域为不等式4x+8y+C>0所表示的区域，当CW0时，常取特殊点(0,

0)为代表，当C=0时，直线过(0,0),常选(1,0：或(0,1)加以判断.这种方法可

称为“直线定界，特殊点定域”.

(4).求在线性约束条件下的线性目标函数t=ox+by的最值问题时，应先作出线性约束

条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线ax+by=O,平移直线ax+by=O,此时，在

经过可行域内的点且平行于。x+by=O的直线中，找出对应于t最大(或最小)时的直线,

最后求其最值.生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题来求解.

题型一：给出具体的变量%)，满足约束条件，求线性目标函数的最值。常用的

方法：(1)画出变量所满足的可行区域，将目标函数变形，平行移动找出目

标函数的最值；(2)直接找出这几条线的的交点，直接代入即可，这个方法

只适用于封闭区域，假设非封闭区域，只能采用第•用方法，画图。

例1、变量乂y满足约束条件<x+y24,那么z=3x+y的最大值为()

x-y<[

(A)12(B)11(C)3(0)-1

【解析】选B约束条件对应AABC边际及内的区域：A(2,2),B(3,2),C(-,-)

22

那么Z=3X+），£[8,11]

A>()

例2、假设X,)，满足约束条件：卜+2”3；那么x—y的取值范围为

2x+y<3

【解析】x-y的取值范围为1-3,0J

3

约束条件对应AA8C边际及内的区域：A(0,3),B(0L),C(1,1)

2

那么/=不一>c[-3,0]

练习题：

x-y<\Q

1、设变量满足<OWx+yW20,那么2x+3y的最大值为(D).

0<y<15

A.20B.35C.45D.55

x-y+1>0

2、假设满足约束条件<x+)，-3W0,那么z=3x—y的最小值为0

x+3y-3>0

答案：一1

'x+2y>2

3、【2012高考山东理5】变量满足约束条件(2x+y<4,那么目标函数

4x-y>-1

z=3x-y的取值范围是

33

(A)[--,6](B)[--,-1]

22

(C)[-1,6](D)[-6,当

2

【答案】A

fv<2

4、变量x、y满足约束条件•卜+)，N1,那么z=3x+y的最大值为

x-y<\

A.12B.11C.3D.-1

5、(2012年高考(课标文))正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,假设点(x,力在AABC

内部，那么z=「r+)，的取值范围是()

A.(1^/3,2)B.(0,2)C.(73-1,2)D.(0,1+/)

6、设函数=X>°,。是由x轴和曲线y=/(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的

-2x-l,x<0

封闭区域，那么z=x-2y在。上的最大值为一2

非线性目标函数的的求法：

(1)距离型目标函数：目标函数形式为“Z=/+V，z=Qy2,z=*i)2+()，-〃)2"。

x+y<4

例1、点P(x,y)的坐标满足条件，y2x,点。为坐标原点，那么|P。|的最小值等于

”1，

最大值等于.

X>1,

例2、,x-y+1W(),那么x'y?的最小值是.

2x-y-2<0,

x>1,

解析：<x・y+1W0,画出可行域,得交点A(1,2),B(3,4),那么x2+y?的最小值是5.

2x-y-2<0,

答案：5

x+yW3

练习题：1、设X、y满足条件1，那么z=(x+l)2+)，2的最小值

y20

x+2y<W

2.设。是不等式组J2x+y-3表示的平面区域，那么。中的点尸(苍)，)到直线x+)，=10距离的最大

0<x<4

值一.

x>\

y>1

3.假设知,"是・,一表示的区域内的不同两点，那么|MN|的最大值是______

x-y+\>0**

x+y<6

2x-v+2>0

4、如果点P在平面区域<x+y—2W0上，点Q在曲线/+()，+2-=1上，那么|PQ|的最小值为

2y-l>0

X>1,

5、<x-y+1<0,那么/的最小值是.

2x-y-2<0

[2]斜率型目标函数：目标函数为工匕工型的，几何意义是可行域内的点与定点〔0,

xx-x}

0〕，(*,y)连线的斜率

x-y—2<0

例4.设实数x,y满足,x+2)，-4>0,则上的最大值是

x

2y-3<0

x>0

练习题：1、设X,)，满足约束条件•yNx那么"+2)'+3取值范围是

X+1

4x+3y<12

y<x

y>2,那么)十।最小佳为.

2、设变量X、y满足约束条件

y>3x-6

例2、x,y满足"2「：咒那么上的最大值为___________，最小值为_____________.

x>1,j>0X

X+2)，-3之0

题型二：求可行域的面积：关键是准确画出可行域，根据其形状来计算面积,

根本方法是利用三角形面积，或切割为三角形

x+y-2>0,

例1、不等式组(工一)，+220,表示的平面区域的面积是()

x<2

(A)4G(B)4(C)2及

解：可行域是A(0.2),B(2,4),C(2,0)构成的三角形，易得面积为4

x-y20.

例2、假设不等式组,+yW2,表示的平面区域是一个三角形，那么。的取值范围是

y.0,

x+ySa

例3、设二元一次不等式组卜+2y-所表示的平面区域为M,使函数)，="(〃>0,。上1)的图象

<x-J+830,

2x+y-14WO

过区域M的。的取值范围是()A.[1,3]B.12,710]C.[2,9]D.[Vio,9]

x+j-3<()

例4、假设直线)，=2、上存在点(x,y)满足约束条件<x-2y-3W0,那么实数〃?的最大值为()

x>m

I3

A.—B.1C.-D.2

22

x+y-3<0

所以，假设直线y=2x上存在点",)，)满足约束条件・x-2)，-3W0,

x>m

那么3—〃z22'",即m工1。

2x+3y<6,

练习题：1、不等式组r-)，20,表示的平面区域的面枳为o

y>0.

x>0

4

2、假设不等式组+>4所表示的平面区域被直线y=/cc+-分为面积相等的两局部，那么k的

3x+y<4

值是

x+y-l>0

3、在平面直角坐标系中，假设不等式组<W0(。为常数)所表示的平面区域内的面积等

av-y+1>0

于2,那么。的值为

y<x

4、使函数/(©=<3y>x的目标函数z=ax+by(abw0),在x=2,y=2取得最大值的充要条件是

x+y<4

A\a\<bB\a\<\b\C\a\>bD\a\>\b\

题型三：假设可行区域或者目标函数含有参量的情况，

(1)、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

^>0

例1、在约束条件合0下，当3WSW5时，目标函数z=3x+2)，的最大值的变作范围是0

y+xMs

V+2.r<4

A[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]

(2)、最优解成立条件，探求目标函数参数的值或范围问题。

1<X4-V4

例1、变量X,)，满足约束条件4",一。假设目标函数z=GT+y(其中。>0)仅在点(3,1)

-2<x-y<2

处取得最大值，那么。的取值范围为0

例2、实数x,y满足y〈2x-l,如果目标函数z=x-y的最小值为-1,那么实数也等于—

x+yW

x-4y+3<0

练习题：1、如果实数%,)，满足3x+5y-254(T目标函数z=履+)，的最大值为12,最小

x>\

值为3,那么实数%为—

x+y-3<0

2、假设直线)，=2x上存在点(3,)，)满足约束条件Jx-2y-340,那么实数加的最大值为()

x>m

隐形线性规划问题

例1、在平面直角坐标系平面区域A={(x,y)|x+yW1,且20},那么平面区域

B={(x+y,x-y)|(x,j)w4}的面枳为[JA.2B.1C.—D.—

u+v

x=------u<\

w=x+y7

解析：令<，=><2,.-J«+v>0,作出区域是等腰直角三角形，可求出面积

v=x-yu-v[w-v>0

V=2

5=—x2x1=1

2

例2正数〃，£c满足：

那么2的取值范围是\\|//

5c-3aW〃W4c-a,c、lnZ?2a+clnc,.\厂

▲_.

【答案】[e，7]„

【考点】可行域。

/Os(x)=5-3f\\

3上+35

cc

ab,A

【解析】条件5c-3。W4c-a,c\nb^a+c\nc可化为：，-+-<4

cc

c

设@=&y=2,那么题目转化为:

3A+>5

x+y<4

“y满足，,求上的取值范围。

y>exX

x>0,y>0

作出y）所在平面区域（如图）。求出产，的切

线的斜率e,设过切点。（孙光）的切线为）="+帆（帆之0），

那么也二也士生二e+二，要使它最小，须"『00

•%玉）玉）

・・・工的最小值在尸（玉），％）处，为e。此时，点P（x），%）在产,上A3之间。

x

y=4-x5y=20-5x

当（x,y）对应点C时,ny=7x=>—=7,

y=5-3x4y=20-12%

・••2的最大值在。处，为7。

X

・•・2的取值范围为［e,7］,即2的取值范围是上7］。

JCCl

x>0,

练习艇：假设。之0/N0,且当，y>0,时，恒有ar+Z?），Vl,那么以〃，b为坐标点P（。，b）

x+y<1

所形成的平面区域的面积等于。

题型四：知识点交汇问题:与不等式，函数，向量等知识进行综合命题

x-4j+3<0,

例1、：点。的坐标5,田满足：hx+5y<25,及4（2,0）,那么|OP|・cos/AOP（。为坐标原

x-\之0.

点）的最大值是.

解：IOPMosNA”即为。户在04上的投影长，由［：一?+3二0,NM（5,2）,故所求最大值为5

3x+5）=25

例2、设不等式组I。**'?，，表示平面区域为口，在区域D为随机取一个点，那么此点到坐标原点的

0<y<2

距离大于2的概率是

、冗,./r—2,、714一万

(A)—(B)-----(C)—(D)

426~7~

0<x<2

【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的

()<j<2

位置为正方形面积减去四分之一圆的面积局部，因此

2x2-，万"A七

______4—二

P=U应选D,