第十二章 122-高考语文总复习资料-高考数学

§12.2综合法、分析法与反证法

最新考纲考情考向分析

本节主要内容是直接证明的方法一综合法

1.了解直接证明的两种基本方法——分和分析法，间接证明的方法——反证法，它

析法和综合法；了解分析法和综合法的思常以立体几何中的证明及相关选修内容中平

面几何,不等式的证明为载体加以考查,注

考过程和特点.

意提高分析问题、解决问题的能力：在高考

2.了解反证法的思考过程和特点.

中主要以解答题的形式考查，难度中档.

基础知识自主学习

—回扪基础知识训练基础逆目一

f知识梳理

I.综合法

(1)定义：从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理,一步一

步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为继合法一

(2)框图表示：|P=QiI-----(其中L表示已知条件、己有的

定义、公理、定理等，。表示要证明的结论).

2.分析法

(I)定义：从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结

为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等.我们把这样的思维方法称为姬返

(2)框图表示：|0=P11f丽f|22仁P31f…f|得到一个明显成立的条件.

3.反证法

我们可以先假定命题结论的反而成立,在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相

矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成

立，由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.

反证法的证题步骤是：

(1)作出否定结论的假设：

⑵进行推理，导出矛盾;

(3)否定假设，肯定结论.

基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(I)综合法是直接证明，分析法是间接证明.(X)

(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.(X)

(3)用反证法证明结论时，应假设“〃<，.(x)

(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.(X)

⑸在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过

程.(J)

(6)证明不等式g十6(小+\%最合适的方法是分析法.(V)

题组二教材改编

2.若。=而后+，币，Q=[不+亚还SN°)，则夕，。的大小关系是()

A.P>QB.P=Q

C.P<QD.由〃的取值确定

答案A

解析产=方+13+24〃2+]34+42,

^=26/+13+2^/7+137+40.

.才>。2,又•：PX),。>0,；,P>Q.

3.设实数小b,。成等比数列，非零实数x,y分别为。与从b与c的等差中项，则£+；等

于()

A.IR.2C.4D.6

答案B

解析由题意，得工=华，「=空，b2=ac,

.(a+b)(b+c)

••外=J，

/7+ca+b

acap+cx"2「2

-十=

xyxyxy

〃(〃+c)+cm十〃)“沙十讥•十2"c

2xy=2xy

ab+bc+ac+lr(t/+/>)(/?~hc)

2xy=2xy

_m十〃）（。十（、）

一「.,（"+力）s+g―2,

2X4

题组三易错自纠

4.若a,b,c为实数,且〃G<0,则下列命题正确的是（）

A.ad〈bdB.a2>ab>b2

答案B

解析a2—ab=a（a—b）,

'.'a<b<0,Z?<0,.".a2—ab>0,

，决”仍①

又ab—h2=b（a—/?）>0,:.ab>P,②

由①②得a2>ab>b2.

5.用反证法证明命题：“设口，〃为实数，则方程.一+小+人=0至少有一个实根”时，要

作的假设是（）

A.方程r+at+4uO没有实根

B.方程炉+0¥+。=0至多有一个实根

C.方程V+aLH）=0至多有两个实根

D.方程丁+办+6=0恰好有两个实根

答案A

解析方程./+依+8=0至少有一个实根的反面是方程炉+依+方=0没有实根，故选A.

6.在△A8C中，三个内角4,B,。的对边分别为小b,c,且A,B,C成等差数列，a,

b,c成等比数列，则△ABC的形状为三角形.

答案等边

解析由题意得28=4+C,

•.•A+3+。=兀，，8=三，又/=ac,

由余弦定理得序=〃+/—2aecosB=al-¥ci—ac,

（r~\-（r—2ac=0,即（a—c）2=0,.\a=c,

：.A=C,：.A=B=C=j,•••△ABC为等边三角形.

题型分类深度剖析

真就典迪深度剖析重点堆点多维探究

题型一综合法的应用-------自主演练

1.已知“1>1,a\—\[m,b=y[iri—\[nr-\»则以下结论正确的是（）

A.a>bB.a<b

C.a=bD.a,h大小不定

答案B

解析・."师—砺=扁+加

而'/〃+1■+W〃-1>0。〃>1）,

,1%1

小i+1yfni+y[rn—l，

即a<h

2.（2018•大庆质检）如果々W+〃、历>0的+成立，则b应满足的条件是

答案”20,。且aW力

解析,.•6/^+加扬一^/^+人口）

=W（a—〃）+的（〃-a）

=（y[a—y[b）（a—b）

=（皿—扬3+赤）.

当a20,620且（学b时，（g—也户（也+福）>0.

：.小口+b\JZ前立的条件是a20,b20且aWb.

3.（2018・武汉月考）若a,。，c是不全相等的正数，求证：

a+〃b+c.c+a

lg~y+lg~3一+]Q">lg6/4-1gZ?+lgc.

证明•・•〃，b,cR（0,+8）,

/-Z?+t-।-a+c—i-

..2>0，~2~^y[bc>0,~^~^y[ac>0.

由于a,h,c是不全相等的正数，

I.上述三个不等式中等号不能同时成立，

.a+〃〃+cc+a、

/.-5-—~>abc>0成立.

上式两边同时取常用对数，得

（a+bb-\-cc+G

馆L-.2.2广电心,

a+b,〃+c,c+a

•'•lg-J-+lg—2-big—5—>lga+lg力+lgc.

思维升华（I）综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知（从题设到结论）的

逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断（命题）出发，经过一系列中间推理,

最后导出所要求证结论的真实性.（2）综合法的逻辑依据是三段论式的演绛推理.

题型一分析法的应用--------师生共研

典例（2018•长沙模拟）已知函数/（x）=tanx,号，若占，乃丘卜，号，且片力必求证:

证明要证;［/（xi）+人*2）］才"乂），

用、干m1,X|+%2

即证明5（1anxi+tanx2）>tan-、一,

口小、T*J/sinxisin<21.x\+x

只需证明於cos.n+cosJ>lan-T"2，

□雷讦明sin（f+x2）sin（f+汹）

'、"2COS%ICOS%214-COS（X|4-X2）,

由于xi,X2£（0，2）,故M+.Q£（0,兀）.

所以cosxicos*2>0,sin（xi+x2）>0,l+cos（*i+M）>0,

故只需证明1+COS（A14-.V2）>2COSAICOSA-2，

即证1+cosxicosX2-sinr）sinX2>2cosxicosX2.

即证COS（X1—A-2）<1.

由莺，也€（0，9，X1WX2知上式显然成立，

因此去做）+"2）］乂然可

引申探究

若本例中人幻变为凡目=3、一2x,试证：对于任意的Xi,X2eR.均存A"）"<"）?彳",

证明要证码抖驶用，

（3*一20）+（3”一2切

即证明，23空-2.审

2

r

3i+3x2演+修

因此只要证明~~一一（即十12）232一（即+心），

2

Qri+-+M

即证明——>32,

2

3演+3*2I------

因此只要证明~~一2,37・3必，

2

由于当Xi,X2ER时，3AIX）,3.V2>0,

39+3电1------

由基本不等式知一--与J33•3中显然成立，当且仅当片=①时，等号成立.故原结论成

立.

思维升华（1）逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分

条件.正确把握转化方向是使问题顺利解决的关键.

（2）证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充

分）的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.

跟踪训练已知非零向量b.ILaJ.b,求证：⑷|啦.

I。十勿

证明由。_Lb得，ab=G,要证再的W#,

十回

只需证⑷+网W，5|a+b|,

只需证ld+2同步|+陶2忘2（02—20协+乃,

只需证⑷2+2⑷步|+制2W却+2b2,

只需证⑷2+1那一2⑷族仔0,

即（⑷一步|）220,

上式显然成立，故原不等式得证.

多维

题型三反证法的应用

探究

命题点I证明否定性命题

典例（2018•株州月考）设｛小｝是公比为q的等比数列.

（I）推导｛”“）的前〃项和公式；

（2）设gWl,证明：数列S”+l｝不是等比数列.

⑴解设伍“｝的前〃项和为S,则

当夕=1时，S”=m+mH------F«I=；Z6/I；

当qHl时，S“=ai+〃q+0/H------卜。蚂"一\①

1

qSli=a\（i+a\q-\------Fa”,②

①一②得，(1—g)S尸m一

.s"心一心

・•>一1_q，

na\,q=1,

•*.SM=<(/i(l-(f)

.♦gWL

I1一g”

(2)证明假设｛如+1｝是等比数列，则对任意的AEN+,

3+1+1)2=3+I)(恁+2+1),

加+|+勿氏+1+1=。4/2+念+8+2+1，

,.&wo,・,.时=夕取|+小|.

・.q2-2g+l=O,

:・q=l，这与已知矛盾.

・•.假设不成立，故团”+1｝不是等比数列.

命题点2证明存在性命题

典例已知四棱锥S-A6C。中，底面是边长为1的正方形，又SB-SD-®SA-\.

(1)求证：S4_L平面A8CO：

(2)在棱SC上是否存在异于S,。的点凡使得8尸〃平面SA。？若存在，确定产点的位置:

若不存在，请说明理由.

⑴证明由已知得SA2+A》=SD2,.,.SA_LAD

同理S4_LA及

又A8CAO=A,AB平面ABC。，AD平面人8C。，

平面ABCD.

(2)解假设在棱SC上存在异于S,C的点F,使得8尸〃平面S4D

\'BC//AD,3cz平面SAD.

，8。〃平面SAD而BCCBF=B,

；・平面/8C〃平面SAD.

这与平面S8C和平面SA。有公共点S矛盾,

二.假设不成立.

，不存在这样的点凡使得8F〃平面SAD

命题点3证明唯一性命题

典例(2018•宜昌模拟)已知M是由满足下列条件的函数构成的集合：对任意①方

程」(x)—x=0有实数根；

②函数7U)的导数/(x)满足(x)vl.

(1)判断函数贯x)=5+竽是不是集合M中的元素，并说明理由：

⑵集合M中的元素贝外具有下面的性质：若人x)的定义域为。，则对于任意［m,n］^D,都

存在xo£(/〃，〃)，使得等式JS)-/(，〃)=(〃一〃/(沏)成立.试用这一性质证明：方程J(x)—x

=0有且只有一个实数根.

(I)解①当x=0时，40)=0,所以方程人幻一x=0有实数根0;

©f⑶中等

所以/㈤十，I］,满足条件0</(x)<l.

由①②可得，函数以r)=^+竽是集合M中的元素.

(2)证明假设方程式划一工=0存在两个实数根a,B<a大为,则/(〃)一&=0,/(£)—£=0.

不妨设。<从根据题意存在c£(a,份,

满足1/3)-/(a)=3—W©.

因为贝a)=a，财=£,且aW“，所以，(c)=l.

与已知(x)<l矛盾.

又“r)—x=0有实数根，

所以方程贯x)-x=0有且只有一个实数根.

思维升华应用反证法证明教学命题，一般有以下几个步骤：

第一步：分清命题“pnq”的条件和结论；

第二步：作出与命题结论q相反的假设

第三步：由〃和睇g出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果：

第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不兵，于是原结论q成立，从而

间接地证明了命题为真.

所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，

与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果.

跟踪训练若於)的定义域为［a,b］,值域为［a,句(。询,则称函数凡。是S，司【•的”四维光

军”函数.

(1)设g(x)=#—是［1,3上的“四维光军”函数，求常数b的值；

(2)是否存在常数”，。3>—2),使函数力(工)=木是区间［小例上的“四维光军”函数？若

存在，求出小人的值：若不存在，请说明理由.

解(1)由题设得gCr)=g(x—1-+1,其图像的对称轴为x=l,区间［1,3在对称轴的右边，

所以函数在区间［1,切上单调兔增.由“四维光军”函数的定义可知，g(l)=l,g(b)=b,

1、3

即于2—6+3=儿解得。=1或〃=3.

因为历>1,所以6=3.

(2)假设存在常数a〃(〃>—2),使函数/心・)=壬是区间［a,b：上的“四维光军”函数，

因为力(外=%在区间(-2,+8)上单调递减，

h(a)=b,

所以有

h(b)=a.

解得〃=。，这与已知矛盾.故不存在.

-----------------■思想方法■-----------------

反证法在证明题中的应用

典例(12分)(2018•衡阳月考)直线产"+皿〃层0)与椭圆W：5+产=1相交于人，C两点，

O是坐标原点.

⑴当点8的坐标为(01)，且四边形OA8C为菱形时，求AC的长：

(2)当点8在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形.

思想方法指导在证明否定性命题，存在性命题，唯一性命题时常考虑用反证法证明，应用

反证法需注意：

(I)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法

的基本手段，得到矛盾是反证法的目的.

(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只

有一种或较少时，常采用反证法.

(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去.

规范解答

(1)解因为四边形OA8C为菱形，

则AC与OB相互垂直平分.

由于0(0,0),8(0,1),

所以设点A(l,，，代入椭圆方程得争5=1,

则/=地，故HC|=2，1[4分]

(2)证明假设四边形048。为菱形，

因为点8不是W的顶点，且AC_L0&所以々W0.

『+4)2=4,

由

y=kx+m,

消>'并整理得(1+46r2+8hnr+4〃p-4=0.[6分]

设A(X[,>,!),C(A-2，)力则

XI+.04十〃X+3,M+尤2.m

2=-1+4P2=二2+6=]+4.

(—4k,[[\

所以AC的中点为吠中"，不"1‘8分】

因为M为AC和08的交点，且小手0,kKO,

所以直线03的斜率为一士，

因为。(一£)=一寺/一1,所以4C与08不垂直.[10分]

所以四边形O4BC不是菱形，与假设矛盾.

所以当点8在W上且不是W的顶点时，四边形0A3C不可能是菱形.[12分]

课时作业

▽基础保分练

1.(2017・绵阳周测)设f=a+2As=a+〃+1,则下列关于/和S的大小关系中正确的是()

A.t>sB.t^s

C.t<sD.fWs

答案D

解析s-t=b2-2b+\=(b-\)2^0,

：.s^t,故选D.

2.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a»>c,且a+〃+c=O,求证后大小

/'索的因应是()

A.a-b>0B.a-c>0

C.(«—/?)(«—c)>0D.(a—/>)(«—c)<0

答案C

解析由题意知木匚羡<小曲扶—ac<3a~

十C）2一4“3万

tap+2ac-\-（r—ac—3a2<0

c—加2+知+。2<0

u2a—ac-/>0

u（a-c）（2a+c）X）%—c）（a—〃>0.

3.（2018•太原模拟）设儿0是定义在R上的奇函数，且当xNO时,./（x）是减少的，若由十也>0,

则危1）+及2）的值（）

A.恒为负值B.恒等千零

C.恒为正值D.无法确定正负

答案A

解析由｛x）是定义在R上的奇函数，且当x20时，八外是减〃的，可知“t）是R上的单调

递减函数，由X1+,口>0,可知Xl>—也，J（X\）<J1—X2）=-J（X2）,

则/R）+於2）<0.

4.①已知p3+/=2,证明：p+gW2.用反证法证明时，可假设p+422；

②若a,/>GR,间+|切<1,求证：方程/+依+）=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证

明时可假设方程有一根箱的绝对值大于或等于1,即假设四|21.以下结论正确的是（）

A.①与②的假设都错误

B.①的假设正确；②的假设错误

C.①与②的假设都正确

D.①的假设错误；②的假设正确

答案D

解析对于①，结论的否定是〃+必>2,故①中的假设错误；对于②，其假设正确，故选D.

5.（2017.上饶质检）设x,y,z>0,则三个数计年沼，升（）

A.都大于2B.至少有一个大于2

C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2

答案C

解析因为©+9+（H）+（H）

=（泻）+C旬+C+0&

当且仅当x=y=z时等号成立.

所以三个数中至少有一个不小于2,故选C.

6.（2018・济宁模拟）设小〃是两个实数，给出下列条件：

①a+Z»I；②。+〃=2：③a+〃>2；®a2+b2>2；⑤">1.

其中能推出：“小。中至少有一个大于1”的条件是（）

A.②③B.够③

C.③D.③④⑤

答案C

I2

解析若a=5，b=Q,贝比＞1,

但b＜\,故①推不出；

若以=〃=1,则”+%=2,故②推不出；

若。=—2,b=—3,则〃2+从＞2,故④推不出；

若。=一2,6=-3,则H»l,故⑤推不出；

对于③，即”+力＞2,则“，方中至少有一个大于1,

下面用反证法证明：

假设aWl且。W1,

则a+bW2与°+/»2矛质，

因此假设不成立，出〃中至少有一个大于1.

7.（2018届湖南益F口桃江一中月考）用反证法证明“若x+）《0：则入W0或）《0”时，应假

设.

答案A＞0且＞》0

8.（2018.邢台调研班+市与2啦+小的大小关系为.

答案网+市＞2近+小

解析要比较加+S与2夜一小的大小，

只需比较（加+巾产与（26+小产的大小，

只需比较6+7+2寸石与8+5^1■外国的大小，

只需比较播与2标的大小，只需比较42与40的大小，:工2*。，・•.加+币＞2小+木.

9.已知点4”（〃，a”）为函数y=d/+।图像上的点,d）为函数y=x图像上的点，其中

〃£N卜，设c〃=a“一〃“，则C”与金+1的大小关系为.

答案c"+i＜c”

解析由条件得

c=a—b=)\ln24-1—n=

nnn、层+i+//

则c”随〃的增大而减小，••・c,.+1＜cn.

10.（2017・武汉联考）己知直线/_L平面a,直线机平面缶有下列命题:

①a〃夕②a_L夕=＞/〃〃”③/〃/〃0④/，〃0a〃0

其中正确命题的序号是.

答案①③

/1«

解析①引邛，

a〃夕J

又•.加3：八%①正确；

/±«

②(\^i//p或I3

・•./,"?平行、相交、异面都窄可能，故②错误；

l/Jm

③(=>;;/±a,

lA.a

又，〃4，.“_La,故③正确；

/±a

④今〃，a或/〃〃a.

Id-in

又加B，：.a,6可能相交或平行，故④错误.

11.(2017•东北三省三校模拟)已知a,h,cX),a+/)+c=l.求证：(I即+市小;

3

-

⑵3a+1+3〃+l+3c+l

2-

证明(l);(g+V^+,)2=(a+/>+c)+2A/^+2V^+2^^W3+〃+c)+(a+〃)+9+c)

+(c+a)=3,

•••W+5+/W#(当且仅当a=b=c时取等号).

(2)\\z>0,，3a+l>0,

**3«+1+(3"+1/2^^3〃+1)=4,

••.看士7上33a(当且仅当a=|时，取等号)，

3。+1kJ/

44

同理得而'23—3儿/F3—3c,

以上三式相加得

4(3n+*7+5n)》9—3(O+〃+C)=6,

・.・占+*7+占可当且仅当a=gc=W时取等号).

12.(2017•北京)设｛«“｝和(瓦｝是两个等差数列,记c“=max｛8-6”,岳一…，hn—a„n｝｛n

=1,2,3,…),其中max｛xi，必…，片｝表示即，及，…，H这s个数中最大的数.

(I)若%=〃，兀=2〃-1,求Cl，C2,C3的值,并证明｛扇｝是等差数列：

⑵证明：或者对任意正数M,存在正整数/〃，当〃》/〃时，号M；或者存在正整数〃?，使

得G”，C/M+1,Cm+2，…是等差数列.

⑴解C|=/?i—«|=1—1=0,

C2=max{/?i-2«),历—2s}

=max{l-2X1,3-2X2)=-1,

C3=max{〃|-3m,bi-3ai,6―3/}

=max(1-3X13-3X2,5-3X3)=-2.

当〃23时，

(bzi-nat*.1)—(hk—iuik)=i—bt]—।一公)=2­〃V0,

所以bk-mik在&CN+上单调递减.

所以G?=max出i—历一〃”?，•,,,bn-unn}=b\—a\n=I

所以对任意"21,金=1-〃，于是c”+|—c”=—1,

所以{c“}是等差数列.

(2)证明设数列{斯}和{〃“}的公差分别为力，击,

则bk~ncik=b\-\-(k—1)小一[ai+(k—

=b\—a\n-\-(di-nd\)(k—\).

b\~ain+(n—\di>nd\,

所以c=

nb\—a\n,di&ndi.

①当Q>0时，

取正整数，心今，则当心/〃时，/以]>小，

因此，c„=b}—amt

此时，cmtCm+\,g+2,…是等差数列.

②当4=0时，对任意“N1,

c“=b|-0〃+(M-l)max{“20}

=〃]—+l)(max{d2。}一①).

此时，Cl,C2，门，…，C”，…是等差数列.

③当Ji<0时，

当〃时，有ndiVdz,

七zbi—am+(n—l)(d2—ndi)

所以G=H

^b\-ch

=〃(-di)+di-m+d2

n

2〃(一di)+di—m+必一l〃i—41.

对任意正数M,

用工妹如、JM十|。1一一十〃1一力一心出

取正整数〃〉maxj,疝j,

故当时，5M.

力技能提升练

13.(2018・长行模拟)若二次函数1Ax)=4/—2(〃一2次一2〃2一〃+1,在区间内至少存在

一点c,使人。乂)，则实数〃的取值范围是.

z

答案(-3

\

解析若二次函数人r)W0在区间内恒成立,

M-l)=-2p2+p+lW0,

则1/U)=_2/_3p+9W0,

3

-

2

故满足题干要求的〃的取值范围为(一3,I).

14.设321,)，21,证明x+y+±W9+千+外・

证明由于1,)21,

所以要证明x+)，+9V+;+孙

人)人y

只需证x.y(x+y)+1Wy+.r+sR

将上式中的右式减左式，得

[)，+叶(冷，月一[不。+,,)+1]

=g)2_1]-sa+