考研数学一（解答题）模拟试卷176

考研数学一（解答题）模拟试卷"6

一、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

1+1+…+:

证明：lim=1.

1、aln(〃+I)

标准答案:当x€[l,2]时有住1/x,则1斗A/xdx,当xW[2,3]时有1/22/

x,则I/2对2，1/xdx,...当x€[n,n+l]WW1/n>l/x,则l/n/n+1"

xdx,从而有1+2+n>J|n+ll/xdx=ln(n+l).又当x€[l,2]W,1/2<1/x,

则1/24/1/xdx,当x€[2,3]时，1/301/x,则1/3431/xdx,……当

xG[n—1,n]时，1/n<l/x,贝U1/nsfn-门/xdx,从而有1+2n<l+jnl

/xdx=l+lnn,故ln(n+l)

41+:+…41+Inn,于是1<---pr---.WCryMrTT*..

2nln(n+Dln("+D由夹逼定理得

1+£+…+:

㈣-ln(n+l)-=L

知识点解析：暂无解析

r3xj♦2町-29+*4=0,

6«1+4X2♦5X3+2X4♦3打=0,

2、19M+6X2+3X4+2Z5=0,求此齐次方程组的一个基础解系和通

解.

标准答案：①用初等行变换将系数矩阵化为阶梯形矩阵

32-2101「32-210-

64523-0030i.

032」L。0

■96°0°」则系数矩阵的秩为2,小于未知数

个数5,此齐次方程组有非零解.进•步把阶梯形矩阵化为简单阶梯形矩阵：

003010010±

L。0000」3

Loooo°」②选定自由未知量殍，％4,X5,用

212

X।二-一与""•

1

它们表示出待定未知量，得到同解方程组：1七二一丁巧'③对

自由未知量赋值，决定基础解系.一般做法为让自由未知量轮流地取值1(其他未

知量取值0),这样得到的一组解为基础解系，如本题的一个基础解系为：m=(-

2/3,1,0,0,0)T,32=(—1/3,0,0,1,0)T,H3(-2/9,0,-1/3,0,

1)T»④写出通解C]T||+c2r12+c3r|3，其中Cl，C2，C3可取任意数.

知识点解析：暂无解析

3、为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口，设井深30m,

抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗盛污泥2000N,提升速度为3m/s,在

提升过程中，污泥以20N/S的速度从抓斗中漏掉.现将抓斗从井底提升到井口，

㈤30

x+dx

问克服重力做功多少?

标准答案：设拉力对空斗所做的功为W1，则W尸乙00x30=12000。).设拉力对绳

所做的功为W2，任取[x,x+dx]U[0,30],dW2=50(30—x)dx,则

3O

W2=fodW2=22500(J).设拉力对污泥做功为W3,任取[t,t+dt]U@io],

dW3=(2000—20t)x3dt,则W3=Jo1°dW3=57000(J),拉力克服重力所做的功为

30

x+dx

W=Wi+W2+W3=91500(J)O

知识点解析：暂无解析

TV

4、⑴设f(x)连续，证明Jo兀xf(sinx)dx=2J。吁(sinx)dx；(2)证明

咨2这网W

।，其中曲线1为y=sinx,xG[0,九]。

标准答案：(1)设X=TI—t,则dx二一dt,且当x=0时，t=g当x=7i时，1=0.于是

fo；rxf(sinx)dx=一]兀°(九一t)f[sin(n一t)]dt=Jo'(兀一t)f(sint)dt=nfoJIf(sint)dt—fo7Itf(sint)dt

nJiJo'Rsinxjdx—foKxf(sinx)dx,

所以[小sinx他=y^/(sinx)dx.

(2)因为jxdS=0+cos%dx，由(1)得

/

JxdS=*J\+cos^xdx=-j-JJ(&-sinx)(6+sinx)dx.

I

令a=及一sinx>0,6:+sinx>0,则由

当WGw号,

a+o2

有

1+cos，)Wv1+cosxW72,

于是

亨((1+cos2x)dxW!Jl+cos-d#W1依也,

因为/+。°『4)山=乎"，所以

A2

乎/WfxdSW

oJ万“,

知识点解析：暂无解析

ms八％)<_L

5、设f(x)在[a,h]二阶可导，f(x)>0,f'(x)<0((xF(a,h)),求证：uV：'<b-

fabf(x)dx.

标准答案：联系f(x)与f"(x)的是泰勒公式.Bx()e[a,b],f(x())=巴，f(x).将f(x())

1

在Vxqa,b]展开，有氏x())=f(x)+「(x)(x()—x)+Tf«)(x()—xy鱼在x()与x之间)V

f(x)+f(x)(xo-x)]](VE[a,b],x^xo).两边在[a,b]上积分得af(xo)dxV

bbbbb

faf(x)dx+Jaf(x)(xo-x)dx=faf(x)dx+Ja(xo一x)df(x)=Jaf(x)dx一(b—xo)f(b)—(XQ—

bb

a)f(a)+faf(x)dx<2faf(x)dx.因此f(xo)(b—a)V21abf(x)dx,即

f(x)dx.

知识点解析：暂无解析

^8亍-3y2+z?=6上点P(l,1,1)处指向外侧的法向量为n,求函数u=

在点P处沿方向n的方向导数.

标准答案：首先求出方向n及其方向余弦.曲面F(x,y,z)=2x2+3y2+z2-6=0,在

/d£dFd£\

p处的两个法向量是Ja-z)

IP=±(4X,6y,2z)IP=±2(2,3,1),点P位于

第一卦限,椭球面在P处的外法向的坐标均为正值，故可取n=(2,3,1).它的方

向余弦为

J-?“邑，［)--=——(2,3,1)=(cosa,cos°,cosy).

,2+3272714

646du8

又

z/6#+8y2町p布

/6%2.8y2

dua加

因此=---cog♦把COSB+-cosy

dxbyp产dt

683

=・・X…r♦■―・X・…一・I・X

/14/14/14/14/14

11

=>・

知识点解析:暂无解析

小制=产，。。＜】八。，

7、已知总体X的密度函数为1°，其他，

X1，…，Xn为

简单随机样本，求。的矩估计量.

标准答案：

E(X)=(婷"=&=言护1=七，所以。的矩估计量”占

知识点解析：暂无解析

8、若函数f(x,y)对任意正实数t,满足f(tx,ty)=F(x,y),(*)称f(x,y)为n次齐

次函数.设f(x,y)是可微函数，证明：f(x,y)为n次齐次函数=

dxdy(*衿

标准答案：设f(x,y)是n次齐次函数，按定义,得f(tx,ty)=Pf(x,y)(V〉o)为恒

等式.将该式两端对t求导，得凶令日，贝y)=nf(x,y).现设上式成

立.考察(p(D=t>0)，由复合函数求导法则可得即(p⑴为常数，(p(t)=(p(l)=f(x,y),

即f(tx,ty)=tnf(x,y).

知识点解析：将题设等式(*)对t求导，由(东)可导出题设等式(**).而由(**)导出

d[/(—Jy)]

(*),即证L对1>0为常数，亦即证dJ/J=0,其中关键是应用复合函

数求导法则.

7T

sin一

n

T

9、求n

标准答案:由于

1,2,3,・・・，儿

因此

.in

.».»sin—1.

-----7,一sin-<〉----r<—Xsin—.

n+1几占nSlc.-L几片n

而lim-•——Vsin-=1•[sinirxdx=—.

---n+1n占几xir

lim上Vsinsinirxdx=—.

-nfrlTT

因此根据夹逼定理可知，原式=2.

TT

知识点解析：暂无解析

d2z.d2zU

-2+-2=eZ,

10、设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=fdsiny)满足所dy求心)。

标准答案：由复合函数求导法则，

/xf

乎=/'(〃)•~=/(u)esiny,-=/(u)e*cosyo

dxdxdy故

土|=fM(uje^sin27+//(u)e3siny,

dx

w2

=/(uje^cos/~f'(u)e*siny0

⑦代入原方程，得f"(u)e2x=e2xf(u),即

有F(u)—f(u)=o,其特征方程为九2—1=0,特征根为九1,2=±1，因此其通解为

uu

f(u)=Cie+C2e,其中Ci，C2为任意常数。

知识点解析：暂无解析

II、设曲线C：x2+y2+x+y=0,取逆时针方向，证明：

£《'NCOSydy-jsinz2cL4声.

标准答案：关于第二型曲线积分的估值问题，一般是先考虑用格林公式将其转化为

、，一

一重积分，然后对一重积分进行估值.由格林公式，有抡xcosy~dy—ysinx~dx二JD

(cosy2+sinx2)do,(*)其中D={(x,y)Ix2+y2+x+y<0}=

卜3)|卜+；)?+(、+打〈加

,是由c围成的圆域，横坐标最小为

1=-y(V24-1),且根据轮换对称性,Jcosy2da=JcosM为，代人式(*),得

jReosyzdy—ysinx:dx一口(。。§彳?+sinx2)cb=q&sin[?+:jda.

由于在D上，孑&/+孑&[一/(&+1)1+?于是李&-+孑4冬故

¥4加卜2+彳)4],即]《其也伊+孑)&&.

J4小jrcosy2dy—ysinz2dz4三.

由积分的保号性得，2y/2

知识点解析：暂无解析

co

Xsin(»7v+

12、判断级数”=2的敛散性，若级数收敛，判断其是绝对收敛还

是条件收敛.

标准答案：

级数£皿加+看）=£（一1尸sin七是交错级数，

OO.

因为卜in专）单调减少且limsin在=0,所以£sin（nn+嬴）收敛.

因为…8时，向加+马|=sin高〜在，沙且£十发散,所以

Wsin（rm+W）发散，即级数，sin（〃7t+高）为条件收敛.

凝点解析：暂无解析

13、求幕级数在i4x111的和函数.

标准答案：

Ehlim况得收敛半径为R=4,当1=士4时，因为〃一8时薪（+4）

»r-U„44

所以募级数的收敛域为（-4,4）.

令SCr）=S，令（一，

”】**»*=1

则SCr）=1=/（£'"）'=4?T^77,

于是S（z）=,4~~高，l6（4,4）.

（4—x）

知识点解析：暂无解析

14、设A是mxn实矩阵，人丁是A的转置矩阵，证明方程组（I）：Ax=0和（口）：

ATAX=O是同解方程组.

标准答案：如果a是（I）的解，那么Aa=0,而ATAa=AT0=0,可见a是（II）的

解.如果a=（a］，a2,…，a/是（口）的解，即人丁人,庆01=0,（Aa）T（Aa）=0.不妨

设Aa=（b”b2，…，b，，贝iJ（Aa）T（Aa尸\♦口♦•”.4=0.从而

bi=b2=...=bm=0,即Aa=0,所以（口）的解必是（I）的解.因此，（I）与（II）是同解

方程组.

知识点解析：所谓方程组同解即（I）的解全是（n）的解，（n）的解也全是（I）的解，

显然本题的难点是如何证（口）的解必是（I）的解.

15、设X,Y相互独立，且X〜N(l,2),y〜N(0,1),求Z=2X—Y+3的密度.

标准答案：因为X,Y相互独立且都服从正态分布，所以X,Y的线性组合仍服从

正态分布，即Z=2X—Y+3服从正态分布，由E(Z)=2E(X)—E(Y)+3=5,

---

D(Z)=4D(X)+D(Y)=9,则Z的密度函数为fz(z)=3J^

知识点解析：暂无解析

16、设A是mxn矩阵，r(A)=n,证明人丁人是正定矩阵.

标准答案：由(AT)T=A%AT)T=ATA,知ATA是对称矩阵.又r(A)=n,▼*(),恒

有A芹0.从而aT(ATA)a=(A