考研数学三（随机变量及其分布）模拟试卷5

考研数学三(随机变量及其分布)模拟

试卷5

一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)

1、设随机变量X的概率密度为f(x),且有f(一x尸f(x),F(x)为X的分布函数，则

对任意实数a,有()

F(-a)=1-f/(x)dx.

BF(-a)=-jy(x)dx.

C、F(—a)=F(a).

D、F(-a)=ZF(a)-I.

标准答案：B

左n、□上砂M⑴J/人4)&=//(x)dx=-y.

知识点解析：因为J。2IIIJ

F(-a)=J/(x)dx=(4)&♦Jo>x)dx,令则

fj(X)(ix=-"*(-)力/⑴出=-〃>(、)&，所以

F(_0)=/,十向…少心

2几故应选(B).

2、设X服从NR,o2),且P{XVG}>P{X>G},则()

A>g<o.

B、p>o.

C^p=o.

D、|i,。的大小关系不能确定.

标准答案：A

知识点解析：【解法1】

P""{督T}"{督用可阁•

*X><r|・5XW小1-P{ywf}=l-P{普<1吟卜1-叩啕,由己

知条件叩-中-哈/故叩*4•，由例。)斗得"A即”

3=P\X>u\

o.【解法2】正态分布概率密度曲线关于x=p对称，故"“

由P{XVo}>P{X>。},可得RVQ.

二、填空题(本题共4题，每题7.0分，共4分。)

3、设随机变量X在区间[a,b](a>0)上服从均匀分布，且

P|0<X<3|=：,P|X>4|=4-,nI

4''2'则P{-1VXV5}=_______

3

标准答案：4'

P\X>41=—P0<X<3'^^=—

知识点解析：由I।2'得b>4,且24又由口。<*<川一4'得6-a4'

3

两式解得a=2,b=6,从而中

4、设随机变量X的概率密度为〃*)=Ae-(丁)，且ax+b服从N(0,l)(a>0),则

常数A=.a=,b=.

/11.1

A=~—.a=~,6=—.

标准答案：26々戊

511\2・〔S-(T)】2

知识点解析：由己知，/(X)=4c仇R唧X服从N(—l,2),故

4=一产・1、a=b=±・

2/P又aX+b-N(—a+b,2a~),得一a+b=0,2a'=l,从而&

5、设随机变量X服从N(2,a2),且P{2VXV4}=0.3,则P{XV

0)=.

标准答案：0.2.

P\2<X<4\=^<^^1=0(-)-0(0)=0.3,

知识点解析：因为10°°/1a)又因为

②(0)4u@住)二68,咐”

2从而\(rJ所以

P|X<01=p{9<等卜陪同="功目=0.2.

6、已知随机变量X的分布函数F(x)是连续的严格单调函数，Y=1-2X,

F(0.25)=0.75,P{Y<k}=0.25,则k=.

标准答案：0.5.

,、…一,1P{ywA|=PH-2A/|二p|xm^J=0.25.

知识点解析：因为I2/

Ll^-n75

F(0.25)=P{X<0.25)=0.75,从而2-'解得k=O.5.

三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共74分。)

7-.设随机变量X的概率密度为“(1+4)-01Vxe+8,求丫=2皿匕1!乂的概

率密度.

标准答案：【解法1】公式法.如果X的概率密度为f(x)，产g(x)严格单调且连

续，反函数为x=h(y),则Y=g(X)的概率密度

/r(y)={A[人⑺]WG)|,

0,其他,其中［a,0］为g(x)的值域.因为y=arctanx

/_JT_JT

是单调增加函数，值域为「彳'5'反函数为x=tany,由公式得

宣，,IT•IF,

-T<y<T嬴7r7.三勺<三，=7，FF

46)=

0,其他0.其他o.其他.

【解法2】分布函数法.Y=arclanX的取值范围为卜设Y的分布函数为

JT

开勺<妻时,

Fv(y)=P{Y<y}=P{arctanX<y}.当2时，Fv(y)=0；当2

/y(y)=P|Xwtan»=ff(x)dx=「,1一石下

)-■J••IT\1+X)当'"T时，FY(y)=b放

(----r~7(tany)\lyl<-y,3吟，

46)=/；(y)二M(1+加川2=•n

to.其他0,其他.

知识点解析：暂无解析

8、设连续型随机变量X的概率密度为f(x),分布函数为F(x),当x>0时满足

xf(x)=(l-x)f(x),当烂0时，f(x)=0.问常数a为何值时,概率P{aVXVa+l}最

大.

标准答案：由xf(x尸(l—x)f(x),解得f(x)=cxex,K>0,再由/一I'得

日、fxe'*,x>0,

=

/(%)L八P\a<X<a+=xe-1(k.

c=l.所以S，X0又设

(p(a)=/xe,dx,，(a)=(a+1)e-(a4,)-ae°

令d⑶=0,得°

--—)=——<0,a=---

又\e-1/e-1即e-1时，p{ovx〈a+l}最大.

知识点解析：暂无解析

p\r=-iI—1-p\v-ii

设随机变量X的绝对值不大于1,且‘8'''4'在事件{凶<1}

出现的条件下，X在(一1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正

比，求

9、X的分布函数F(x)；

标准答案：X可能取值范围为[—1,1].当xV—1时，

F(x)=PIJf^x|=P|01=0；当xNl时，F(x)=l；当一l%vl时，F(x)=P{X二一

i}+p{-i由已知，2从而

尸l-iwx。！=P|X=-I|+P[-I<XW3=.岩.2,

绿上

0,x<-l«

节2,-1^«<1,

I,JCNL

知识点1解析：暂无解析

10、P{X2=1}.

2

标准答案：P{X2=1}=P{X=-11+P{X=1}=F(-1)-F(-1-0)+F(l)-F(l-o)=8

知识点解析：暂无解析

11、设随机变量X的分布函数为F(x),如果"°)=彳’概率密度

f(x)=afi(x)+bf2(x),其中f](x)是正态分布N(0,C?)的密度函数f2(x)是参数为入的指

数分布的密度函数，求常数a,b.

坪湖冬安nJ/(幻&=1，/.。//i(*)dx+bfA(”)dx=a+6=L

标准答案：由有注意到

fi(x)是N(0,J)的密度函数f^x)是EQ)的密度函数，从而

尸(0)=P|Xw01=afJ(幻dx+6jjG)dx=&=y=y,即

知识点解析：暂无解析

/(*)=1T

12、设随机变量X的概率密度为•°，其他•求Y=sinX的概率密度.

标准答案：Y=sinX的取值范围为(0,1).设Y的分布函数为

FY(y)=P{Y<y}.P{sinX<y}.当y<0时，FY(y)=0：当gyVl时，如图2-2,

Fy(y)=(OwXWarcsiny)U(-ir-arcsinywXWir)|

当y三时，Fv(y)=l»故

2

f-----;,0<y<1,

/r(y)=F;G)=

Lo,其他.

知识点解析：暂无解析

-4=,1WkW8

2)=,3行，

13、设X的概率密度为°，其他，F(x)是X的分布函数，求Y=F(X)

的分布函数和概率密度.

标准答案：由已知条件：当xVl时，F(x)=0；当1WXV8时，

F(x)—f*~=y/x-1;

13"当近8时，F(x)=l；综合上述讨论，可得

x<l,

F(x)=g,1W4<8,

,1.28.Y的取值范围为[0,I],当y<0时，Fy(y)=0;y>l

时，Fy(y)=l;OSyVl时,Fy(y尸P{YSy}=P{F(x)Wy}=P/—Wy}

［0,”0,

尸«)=：。父，富,

=F((y+l)3)=y.综上U,户1.即10,其他.

知识点解析：暂无解析

14、设随机变量y在［0,1］上服从均匀分布，F(x(gF(x)W)是严格单调递减且连续

的函数，则由关系式Y=F(X)定义的随机变量X的分布函数是()

标准答案：C

知识点解析：设X的分布函数是Fx(x)=P{X<x}=P{F(X)>F(x)}=P{Y>F(x)},由于

Y在［。，I］上服从均匀分布，故&(小叩"⑺⑷'因此选

(C).

1

--1<z<2,

/(x)=J2,.

八'—k,3<x<A4.

J

设随机变量x的概率密度10.其他•求

15、常数k；

ff(x)dx=1,f+f/Adx=■+京A=1,

标准答案：由人・有J751555从而k=l.

知识点解析：暂无解析

16、若使P{XNa}=0.4.求常数a的取值范围;

P\X^a\=C/(x)dx,

标准答案：可用图形分析，如图2-3所示，表示以f(x)为曲

y

尸{x》a}=,

i厂夏…

-IO2k34x

边的曲边梯形面积，可用39s4.图2-3

知识点解析：暂无解析

17、求y=|X|的概率密度fY(y).

标准答案：Y二|X|的取值范围为|0,+oo).设Y的分布函数为Fy(y尸P{Ygy}.当y

V0时，FY(y)=O；当gyV1时，

尸式y)二P||力=P|-ywxw川=(+&=当；

,1J.,55当WyV2时，

F式，)=[f(x)dx=(+1);

%人55当”yV3时，

Fy(y)=f/(x)(k=f

儿几55当3gyV4时，

6(y)=f/(4)曲=fty<i«++£-plx=y+y(y-3)=yy-y;

A(y)=^(x)=<5<y<2,

234

—,3<r<4t

当y%时，FY(y)=l.故Y的概率密度10,其他.

知识点解析：暂无解析

■X2,-1<X<1,

/(*)=4-»2<X<3,

18、设随机变量X的概率密度1°，其他,求Y=X2的概率密度.

标准答案：随机变量Y=x2的取值范围是[0,+00).当产0时，FY(y)=O；当OVy

VI时，有

f'y(y)=P|yW"=P\x2£y|=p\-6WX[L

V4时，有

22

FY(y)=P|XWl|4P|1<X<y|=P|-1WXW1|+0=f/市=~

凡(,)二尸|f&1|+。|1<^石4|+84<¥2£”

=-j-+0+P|2<X<^r|

=2+「4=2+

当4WyV9时，有3人3333当代9时，

(0,y<0

2yl

手，ow”i.

/式>)二|于,iwy”,

冬4wy<9,

1,yN9.

FY(y)=I.综合上述讨论，可得