2027山东专升本高数一 无穷小无穷大与等价无穷小替换专项练习（含解析）

山东专升本高数一无穷小无穷大与等价无穷小替换专项练习（含解析）前言本套习题严格依据2027山东专升本高等数学Ⅰ考试大纲原创编写，聚焦高频核心考点：无穷小与无穷大的定义、无穷小的阶数比较（高阶、同阶、等价、k阶无穷小）、常用等价无穷小公式、等价无穷小替换求极限，适配专升本基础、中档考题，无超纲题型。所有题目均搭配逐题详细答案+步骤解析，适配刷题纠错、考点巩固、考前冲刺。附录：专升本必考等价无穷小公式（x→0）1.三角函数类：sin2.指数对数类：ln3.幂函数根式类：(1+核心解题规则：等价无穷小仅可替换乘除因子，严禁直接替换加减项！一、单项选择题（共8题，每题5分）1.【专升本高频】当x→0时，下列变量中为无穷小量的是（）A.1xB.sin⁡1x答案：C解析：无穷小定义：极限为0的变量。

A：x→0时，1x→∞，为无穷大；

B：sin⁡1x在[-1,1]震荡，极限不存在，非无穷小；

C：无穷小乘有界函数仍为无穷小，x→0，sin2.当x→0时，1-cos⁡2xA.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶非等价无穷小D.低阶无穷小答案：C解析：由等价无穷小公式，u→0时，1-cos⁡u∼12u2，令3.【易错题型】当x→0时，与x等价的无穷小是（A.tan⁡x-sin⁡x答案：B解析：直接对照必考等价无穷小公式：x→0时，ln⁡(1+x)∼x。

A：tan⁡x-sin⁡4.当x→∞时，下列变量为无穷大量的是（A.x2+1x3B.x答案：B解析：x→∞时，多项式分式无穷大判断：分子次数＞分母次数为无穷大。

A：分子2次、分母3次，极限为0（无穷小）；

B：分子3次、分母2次，极限为∞（无穷大）；

C：有界函数除以无穷大，极限为0；

D：分母趋于无穷大，整体极限为5.设x→0，若(1+ax)2-1与xA.1B.2C.12答案：B解析：由幂函数等价无穷小：(1+u)α-1∼αu(u6.当x→0时，1+x-1是A.等价无穷小B.同阶非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小答案：B解析：x→0时，1+x-1∼7.下列说法正确的是（）A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小的数

C.有限个无穷小的和仍为无穷小D.无穷大的倒数仍为无穷大答案：C解析：专升本概念必考辨析：

A：0是无穷小，0无倒数，错误；

B：无穷小是极限为0的变量，不是固定小数，错误；

C：无穷小运算性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小，正确；

D：无穷大的倒数为无穷小，错误。8.当x→0时，下列最高阶无穷小是（A.x2B.1-cos⁡x答案：D解析：统一换算阶数：

A：2阶无穷小；B：1-cos⁡x∼12x2，2阶；

C：tan⁡x二、填空题（共6题，每题5分）1.x→0时，e2答案：2x解析：核心公式：u→0,eu-1∼2.limx→0答案：3解析：x→0时，ln⁡(1+3x3.x→0时，1-cos⁡答案：9解析：u→0,1-cos⁡u∼4.limx→0答案：5解析：乘除因子可直接替换：tan⁡5x∼5x5.x→0时，若31+kx-答案：3解析：(1+u)α-1∼αu，α=16.当x→1时，x-1是无穷小，1(x答案：无穷大解析：x→1时，(三、计算题（共4题，每题10分，专升本大题题型）1.求极限：lim答案：1解析：x→0，乘除因子全部等价替换：1-cos⁡x∼2.求极限：lim答案：3解析：等价替换：e3x-1∼3x，ln⁡3.求极限：li答案：2解析：根式等价公式：1+u-1∼12u，令4.【拔高易错题】求极限：lim答案：2解析：第一步等价替换：arcsin⁡2x∼2x(x→0)

原式=limx→0四、易错总结（专升本必考避坑点）1.等价无穷小只换乘除，不换加减，加减项替换会导致结果错误；2.无穷小是变量，不是