小学数学人教版四年级下册 1.4 解决问题（租船问题）

小学数学人教版四年级下册1.4解决问题（租船问题）小学数学四年级下册知识清单：租船问题优化策略与解决方案【课程标准】★【核心素养导向】★【高频考点】★★【生活应用】★★一、核心概念与基本原理（一）问题的本质【基础】★租船问题，又称“最优方案问题”或“最省钱问题”，是小学数学四年级下册“四则运算”单元中的一类经典实际问题。其本质是在给定总人数、两种或多种交通工具（或船只、房间等）的限乘人数及租金单价的情况下，寻求一种组合方案，使得总租金（或总费用）最低。这不仅是简单的除法应用，更是对数学优化思想的初步渗透。学生需要在众多可能的组合中，通过计算、比较、调整，找到那个符合“性价比”最优且资源利用率最高的方案。这一过程对应了《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域关于“在实际情境中运用数及数的运算解决问题”的要求，重点培养学生的模型意识与应用意识。（二）核心数学模型【重点】★★该问题的数学模型可以抽象为：目标函数Z=a·x+b·y的最小值。其中Z代表总租金，a和b分别代表大船和小船的单价（如大船30元/条，小船24元/条），x和y分别代表大船和小船的条数。约束条件为：A·x+B·y≥总人数，且x,y均为非负整数。A和B分别代表大船和小船的限乘人数（如大船6人，小船4人）。我们的任务就是找到一组非负整数解(x，y)，使得目标函数Z的值最小。（三）两大基本原则【核心策略】★★★解决租船问题，必须牢牢把握两条法则：1.优先选择“性价比”高的船只：即比较人均租金。谁的单价低，就优先考虑大量租用那种船。这是制定方案的大方向，能保证我们不会偏离最省钱的轨道。例如，大船30元可坐6人，人均5元；小船24元可坐4人，人均6元。显然大船更便宜，应优先考虑。2.尽量保证“不留空位”或“空位最少”：在遵循第一条原则的基础上，最终的调整目标是要让所有的座位尽可能被坐满，避免浪费。因为即使大船便宜，如果最后多出一条船只坐了很少的人，造成大量空位，其浪费的费用可能比调整成几条小船更贵。因此，“没有空位”往往是最优方案的标志。当无法做到完全无空位时，要选择空位数最少且总价最低的方案。二、系统性解题方法与步骤【解题通法】★★★（一）五步解题法【高频考点】第一步：比单价，定倾向。★分别计算每种船只的人均租金。通过比较，确定哪种船的租用成本更低，从而明确我们应“尽量多租”哪种船。公式：人均租金=每条船的租金÷这条船限乘人数示例：大船人均：30÷6=5（元）；小船人均：24÷4=6（元）。5<6，所以应尽量多租大船。第二步：全租便宜船，算余数。★★假设所有人都乘坐单价更便宜的船，用总人数除以这种船的限乘人数。算式：总人数÷优先船的核载人数示例：32÷6=5（条）……2（人）结果解读：如果全租大船，需要5条，但还多出2人没船坐。这2人需要再租一条船。这就引出了下一步的调整。第三步：初步方案，计算费用。★★基于第二步的结果，形成第一种可行方案：将余数也租一条船（通常只能租小船，因为大船太浪费）。方案：5条大船+1条小船计算：5×30+1×24=150+24=174（元）此时必须观察：这个方案是否有空位？1条小船能坐4人，而我们只坐了2人，空出了2个座位。有空位通常意味着还有优化空间。第四步：调整优化，减少空位。★★★【难点】这是解题的关键，也是思维拔高的环节。调整的核心思想是：既然有空位，说明我们“少租一条大船”，把大船上的人和之前多出的人（余数）合并，尝试用几条小船来代替，看看是否能更省钱。操作：将大船的数量减少1条（从5条减为4条）。原来这1条大船上的6人，加上之前余下的2人，一共是6+2=8人。这8人去坐小船，需要8÷4=2条小船。新方案：4条大船+2条小船新方案计算：4×30+2×24=120+48=168（元）第五步：对比择优，得出结论。★将所有可行方案的费用进行对比，选出费用最低的作为最终答案。对比：方案一（5大1小）174元vs方案二（4大2小）168元。168<174。结论：租4条大船和2条小船最省钱，最少需要168元。（二）特殊情况的处理【易错点】★★1.刚好整除的情况：如果总人数除以单价便宜船只的核载人数刚好整除，没有余数，那么这个方案就是最优解，无需调整。例如，24人租大船，24÷6=4（条），4×30=120元，这往往比租小船（24÷4=6条，6×24=144元）更省钱。2.调整一次后还有空位的情况：有时调整一次后可能还有空位，或者新方案费用反而更高，这时需要继续调整，即考虑“少租2条大船”的情况，通过列表法将所有可能性列举出来，直至找到最优解。但这种“连续调整”在四年级通常不会太复杂，如果出现，列表法是最佳选择。三、典型例题精析与变式训练【难点突破】（一）课本母题精讲（P10例5）题目：一共有32人租船游玩。大船限乘6人，租金30元/条；小船限乘4人，租金24元/条。怎样租船最省钱？【考点】★运用优化思想解决实际问题。【分析】按照上述五步法。【解答】（1）比单价：大船人均30÷6=5元；小船人均24÷4=6元。大船便宜，优先租大船。（2）全租大船：32÷6=5（条）……2（人）。需租5条大船，剩余2人。（3）初步方案：租5条大船和1条小船。费用：30×5+24×1=150+24=174（元）。观察：小船有4个座位，只坐2人，空2座。（4）调整方案：减少1条大船（51=4条），将这1条大船上的6人和剩下的2人合并共8人，改租小船：8÷4=2（条）。新方案：4条大船和2条小船。费用：30×4+24×2=120+48=168（元）。（5）对比择优：168元<174元。因此，租4条大船和2条小船最省钱。答：租4条大船和2条小船最省钱，最少需要168元。（二）变式训练1：有余数但无需调整的情况题目：师生共28人去划船。大船每条坐6人，租金30元；小船每条坐4人，租金24元。怎样租船最省钱？【易错点】★★学生可能会机械地套用“少租一条大船”的思路，导致多此一举甚至算错。【分析】（1）比单价：大船人均30÷6=5元；小船人均24÷4=6元。优先租大船。（2）全租大船：28÷6=4（条）……4（人）。剩余4人。（3）初步方案：租4条大船和1条小船。观察：1条小船刚好坐4人，没有空位！费用：30×4+24×1=120+24=144（元）。（4）验证调整：如果强行减少1条大船（租3条大船），则3条大船坐18人，剩余2818=10人，需租小船10÷4=2（条）……2（人），需3条小船，有空位。费用：3×30+3×24=90+72=162（元）。162>144。【结论】当初步方案已经坐满无空位时，该方案就是最优解，无需调整。（三）变式训练2：车船搭配与购票问题【拓展应用】★★题目：实验小学四年级有12名老师和328名学生去春游。大客车限乘40人，租金800元/辆；中巴车限乘20人，租金500元/辆。怎样租车最省钱？【考点】★将租船问题的思想迁移到租车问题，体会数学模型的普适性。【分析】总人数：12+328=340（人）。（1）比单价：大客车人均800÷40=20（元）；中巴车人均500÷20=25（元）。大客车便宜，优先租大客车。（2）全租大客车：340÷40=8（辆）……20（人）。余20人。（3）初步方案：租8辆大客车和1辆中巴车。观察：1辆中巴车刚好坐20人，无空位！费用：800×8+500×1=6400+500=6900（元）。（4）验证：如果租7辆大客车，可坐7×40=280人，剩余60人，需租中巴车60÷20=3（辆）。费用：800×7+500×3=5600+1500=7100（元）。7100>6900。（5）全租中巴车：340÷20=17（辆），500×17=8500（元），更贵。【结论】租8辆大客车和1辆中巴车最省钱，最少需要6900元。四、考点、考向与解题策略【应试指南】★★★（一）常见考查方式1.基础计算型：直接给出总人数和两种船只的价格、限乘人数，要求计算最省钱的方案及总价。（如课本例题）2.表格信息型：以表格形式呈现多种船只或车辆的参数，需要学生先提取信息再计算。3.综合方案型：结合购票优惠（团体票、个人票）进行综合考量，需要比较多种方案。4.开放性设计型：只给出总人数和可选择的交通工具，让学生自己设计并对比方案。（二）高频考点与易错点【重中之重】★★★1.【高频考点1】人均单价的计算与比较。这是解题的第一步，也是决定方向的一步。计算一定要准确，单位要写清楚（元/人）。2.【高频考点2】余数的处理与调整。这是区分学生是否真正理解优化思想的关键。不能简单地“进一法”租船（即余数不管多少都加一条大船），而要考虑是否可以通过调整用更便宜的小船替代。3.【易错点1】忽略空位成本。很多学生会认为“全租大船”最便宜，算出32÷6≈5.33，于是租6条大船：6×30=180元，却没有发现174元和168元的方案更省钱。他们没有意识到“空位”也是一种浪费。4.【易错点2】机械套用“少租一条大船”。在变式训练1（28人）中，如果机械地认为必须“少租一条大船”，就会得出错误的方案。必须结合“是否有空位”来判断是否需要调整。5.【易错点3】计算粗心。在计算总价时，特别是混合运算中，容易出现乘法加法混合错误，或者忘记写单位和答语。（三）解题技巧与策略【提分秘籍】1.列表法辅助思考：当调整一次后仍有疑惑，可以列出所有可能的整数组合（如大船从0条到最多条），计算对应的小船数和总价，通过对比找出最优解。虽然繁琐，但能保证不遗漏。2.验证法确保正确：算出初步方案后，不要急着下结论，问自己一句：“这个方案有空位吗？如果有，有没有可能调整得更满一些？”3.规范书写步骤：在考试中，建议按照“①比单价→②假设全租便宜船→③计算初步方案→④调整优化→⑤对比结论”的步骤书写，即使最后算错，步骤分也能拿到。五、跨学科视野与深度学习【思维拓展】（一）与“运筹学”思想的衔接租船问题其实是“运筹学”中线性规划问题的雏形。运筹学是现代管理学的重要组成部分，主要研究如何在有限资源下做出最优决策。从古代的“田忌赛马”到现代的高铁调度、物流配送，都蕴含着运筹学的思想。通过租船问题，学生实际上是在进行一场微型的“运筹帷幄”。（二）德育渗透：节约意识与环保意识在探究如何最省钱的过程中，我们实际上也在培养一种“成本意识”和“节约意识”。同时，如果结合现实情境，引导学生思考：如果船没有坐满，是不是也浪费了能源？是不是增加了碳排放？从而将数学问题与环保理念相结合，培养学生节约资源、绿色出行的意识。（三）与语文、综合实践活动的融合可以设计一个“小小旅游规划师”的项目式学习活动。给定一个班级春游的总预算、人数，要求学生上网查询景点门票、租车费用、餐饮费用等，设计一套完整的、最经济的出游方案。这不仅要用到数学中的优化思想，还要用到语文的写作能力（写方案报告）、信息技术的搜集能力，实现多学科的融合。（四）数学文化拓展介绍中国古代的“运筹思想”。例如，北宋时期丁谓修复皇宫的工程，通过挖沟取土、引水运材、填沟处理垃圾的一体化方案，一举三得，极大地节约了时间和成本。这就是中国古人在大型工程中的“优化”智慧，与今天学习的租船问题异曲同工。六、分层练习与自我检测【巩固提升】（一）基础层（全员达成）1.有40名同学去划船，大船每条坐6人，租金30元；小船每条坐4人，租金24元。怎样租船最省钱？最少需要多少钱？2.某旅行团共50人，需租车去机场。大巴车限乘18人，租金160元；中巴车限乘12人，租金120元。怎样租车最省钱？（二）提高层（能力进阶）3.星星小学四年级150名师生去参观科技馆。大客车限乘40人，租金500元；小客车限乘25人，租金350元。请设计三种不同的租车方案，并找出最省钱的一种。4.假期里，小华和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一起去公园划船。大船限乘5人，每小时30元；小船限乘3人，每小时21元。如果他们想划1小时，怎样租船最省钱？最少要花多少钱？（三）拓展层（挑战思维）5.某校14名教师带领326名学生去春游。大车可坐40人，租金900元；小车可坐20人，租金500元。怎样租车最省钱？6.三（1）班28人去划船。如果大船限坐6人，小船限坐4人。你能找到几种租船方案正好坐满？在这些方案中，哪一种最省钱？（大船30元/条，小船24元/条）【参考答案与提示】1.租5条大船和3条小船（或通过调整得出最优）。需计算人均单价，然后调整。关键点：40÷6=6（条）……4（人），可租6大1小，有空位；调整：5大，剩余10人需3小（坐12人），有空位；比较后应是最优为5大3小，或4大4小，具体需计算。根据常规思路，40人，尽量大船，6大1小：6×30+24=204元；调整：5大，余10人需3小（12座）：5×30+3×24=150+72=222元；4大，余16人需4小：4×30+4×24=120+96=216元。经比较，6大1小204元是最优？不对，有陷阱。5大3小150+72=222，反而贵。7大？7×30=210元，但7大能坐42人，空2座，210元比204元贵。所以6大1小似乎最优，但6大1小有空位2个。再试试5大2小？5大坐30人，余10人需3小，不是2小。所以此题经典解法应是：人均大船5元，小船6元，尽量大船。40÷6=6……4，即6大1小（但小船空2座）。考虑减少大船，5大，余10人，10÷4=2.5，需3小船（空2座），总价222元。4大，余16人，需4小船，刚好坐满！无空位。4大4小：4×30+4×24=120+96=216元。216>204。3大，余22人，需6小船（空2座）：3×30+6×24=90+144=234元。因此，本题最优解应为6大1小（204元），虽然有空位，但因大船性价比高，强行调整成无空位反而更贵。这提示我们：原则是“尽量多租便宜船”且“尽量无空位”，当二者冲突时，要计算比较，不能简单认为无空位就一定最省钱。这是四年级学生最难理解的点。所以本题答案是6条大船1条小船，共204元。2.50人，大巴160/18≈8.89元/人，中巴120/12=10元/人，优先大巴。50÷18=2（辆）……14（人）。方案一：2大+1中（中巴坐14人，空？中巴12座，需2辆？）错了，剩余14人需中巴：14÷12=1……2，需2辆中巴。即2大2中：2×160+2×120=320+240=560元，空2座。调整：1大巴，余32人，需中巴32÷12=2……8，需3辆中巴：1×160+3×120=160+360=520