复变函数与积分变换：理论基础与工程方法 课件 第6章 共形映射

CONTENTS目录第6章

共形映射6.1共形映射的基本概念6.2

分式线性映射6.3幂函数与指数函数的映射MATLAB编程练习与演示6.46.5本章小结6.1

共形映射的基本概念6.1.1解析函数的几何意义6.1.2共形映射的定义与局部性质6.1.3共形映射的充要条件6.1.4典型判定例题6.1

共形映射的基本概念共形映射是复变函数理论中的重要概念，其本质是保持角度与局部形状不变的解析映射。共形映射类似于对弹性膜进行拉伸、挤压或平移：图形可以发生形变；但任意两条曲线的夹角保持不变；曲线的局部方向关系保持不变。核心特点保角性：保持交点处的角度大小与方向；局部保形：局部区域内图形形状基本保持；连续变换：不发生撕裂、折叠和重叠。共形映射的价值

共形映射的核心思想是：化繁为简​

即将复杂区域上的数学、物理问题转化为简单标准区域上的问题，从而降低求解难度。典型应用复变函数分析：处理复杂区域上的积分、级数展开和奇点分析；流体力学：将复杂边界流场转化为规则区域流动问题。核心理解共形映射的直观示意图典型应用领域流体力学将复杂边界流场映射为简单边界流场，便于计算流速和压力分布。电磁学将复杂导体边界的电场、磁场问题转化为规则边界问题，简化电势和场强计算。传热学与弹性力学利用共形映射分析复杂边界条件下的热传导和应力分布问题，提高求解效率。→f6.1.1

解析函数的几何意义（1）1.解析函数的伸缩不变性

设w=f(z)在z0处可导,且f'(z0)≠0.对于z0邻域内任意一点z0+Δz,对应的像点为w=w0+Δw,其中,w0=f(z0),且Δw=f(z0+Δz)-f(z0).由导数定义,有因此有

几何意义:在z0处,映射w=f(z)将所有过z0的曲线都以相同的比例|f'(z0)|进行放大或缩小,称为伸缩.因此,称|f'(z0)|为映射在z0处的“伸缩率”.6.1.1

解析函数的几何意义（3）

例如,若f(z)=2z,则f'(z)=2,即|f'(z)|=2,该映射将z平面上的所有曲线沿各个方向均放大2倍;若f(z)=1/2z,则|f'(z)|=1/2z,曲线被按比例缩小为原来的1/2.

导数的模|f'(z0)|实际上是函数w=f(z)映射后在z0处的伸缩率.由于函数w=f(z)可导,因此|f'(z0)|只与z0有关,而与曲线本身的形状和方向无关,因此,称这种映射具有伸缩率不变性.6.1.1

解析函数的几何意义（4）2.解析函数的旋转不变性

当f'(z0)≠0时,导数的辐角argf'(z0)也具有明确的几何意义.设C是z平面上过z0的一条曲线,其在z0处的切线与实轴正方向的夹角为θ0.映射后,曲线C在w平面上的像曲线Γ=f(C)在w0=f(z0)处的切线与实轴正方向的夹角为φ0,则φ0=θ0+argf'(z0).

这表明,过z0的任意一条曲线,在映射后都会绕w0点旋转一个固定角度argf'(z0).该角度与曲线的形状无关,因此称为“旋转不变性”.6.1.1

解析函数的几何意义（5）由导数幅角的几何意义：其中：θ0​：曲线C在z0处切线与实轴正方向的夹角；φ0​：映射后曲线f(C)在w0处切线与实轴正方向的夹角。这表明：映射引起的旋转角=argf'(z)，且该旋转角与曲线本身无关。若另一条曲线也经过z0​，其切线夹角为θ1​，映射后在w0处夹角为φ1，则：argf(z0)=φ1−θ1​因此：φ1−φ0=θ1-θ0​几何意义两条相交曲线经过解析映射后：夹角大小保持不变；方向关系保持不变。因此称解析函数具有保角性6.1.1

解析函数的几何意义（6）3.解析函数映射的局部特征

综合上述两点,当f(z)在z0处解析,且f'(z0)≠0时,映射w=f(z)在z0的邻域内是“局部保角且保伸缩率”的,即z0附近的小图形,经映射后只会发生整体旋转和均匀伸缩,不会产生扭曲变形.这种局部性质是解析函数区别于一般复变函数的重要特征,也是共形映射的基础.

需要补充的是,若f'(z0)=0,则上述保角性和伸缩率不变性不再成立.例如,设f(z)=z2在z=0处的导数是0,映射将z平面上的角形域的角度放大2倍,失去了保角性.1.共形映射的定义

定义6.1(第一类和第二类保角映射)

若映射w=f(z)在区域D内任意一点都具有保角性和伸缩率不变性,则称w=f(z)为第一类保角映射;若它在D内任意一点都保持曲线交角的大小不变但方向相反和伸缩率不变,则称w=f(z)为第二类保角映射.定义6.2(共形映射)

设w=f(z)是区域D内的第一类保角映射.若当z1≠z2时,1有f(z1)≠f(z2),则称w=f(z)为共形映射.6.1.1

解析函数的几何意义（7）共形映射的直观解释:6.1.1

解析函数的几何意义（8）共形映射的基础是映射函数的解析性，其几何本质表现为保角性与保定向性。关键条件若f'(z0)≠0，则函数在z0点具有：保角性：保持曲线交角大小不变；保定向性：保持旋转方向不变。若f'(z0)=0，则z0为映射的临界点，保角性失效。几何意义共形映射可理解为：将复平面区域D映射到另一复区域G时，区域内任意两条曲线在交点处：夹角大小保持不变；旋转方向保持不变。特殊情况若映射仅保持夹角大小不变，但旋转方向相反，则称为：第二类保角映射6.1.2

共形映射的定义与局部性质2.共形映射的局部性质(1)局部保角性

设f(z)在z0点解析,且f'(z0)≠0,则对于过z0点的任意两条光滑曲线,它们在z0点的夹角与映射后得到曲线在w0=f(z0)点的夹角大小相等、方向相同.(2)局部保域性

设f(z)在z0点解析,且f'(z0)≠0,则存在z0的邻域U,使得f(U)是w0=f(z0)的邻域,且f(z)在U内是单射.6.1.2

共形映射的定义与局部性质(3)局部近似线性

在z0点充分小的邻域内,共形映射f(z)可以近似看作线性映射,即w-w0=f'(z0)(z-z0),误差项可以忽略不计.(4)局部伸缩率一致性

设f(z)在z0点解析,且f'(z0)≠0,则对于任意过z0点的光滑曲线在z0点切线方向上的线元长度,经过映射后被伸长了|f'(z0)|倍,且这一伸缩率与曲线的方向无关6.1.3共形映射的充要条件

从复变函数的分析性质与几何性质双重角度,可给出共形映射的充分必要条件,这是判断一个解析函数是否为共形映射的关键依据.（2）对任意(x,y)∈D,f(z)的雅可比行列式J(x,y)≠0,且雅可比行列式（1）f(z)在区域D内解析,且其偏导数

在D内连续;

定理6.1(共形映射的充要条件)

设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在区域D内的复变函数,当且仅当以下两个条件同时成立时,则f(z)是区域D内的共形映射.6.1.4典型判定例题【例6.1】试判定线性函数f(z)=az+b

是否为复平面ℂ上的共形映射.其中a≠0,且a,b为复常数.解(1)判定解析性:给定函数的导数f'(z)=a,由解析函数的定义,f(z)在复平面内处处可导,因此在复平面内解析.(2)验证导数非0条件:由f'(z)=a≠0知,对复平面内任意一点z0,均有f'(z0)≠0.(3)结合充要条件判断:根据共形映射的充要条件,解析且导数处处非零的函数为对应区域内的共形映射.因此,f(z)=az+b,a≠0是复平面上的共形映射.6.1.4典型判定例题【例6.2】判定函数f(z)=z2在复平面及区域D:Rez>0内是否为共形映射.解(1)解析性判定:其偏导数为满足柯西-黎曼方程，故在复平面内解析。(2)分析导数非0条件:导数f'(z)=2z,令f'(z)=0,解得z=0.因此,在复平面内,存在点z=0使得f'(z)=0,不满足“任意点导数非0”条件.(3)判定区域D:Rez>0内的共形性:在右半平面内,任意一点z的实部x>0,因此z≠0,进而f'(z)=2z≠0.结合解析性可知,f(z)=z2在D:Rez>0内解析且处处非零.(4)结论:f(z)=z2不是复平面上共形映射;但在右半平面D:Rez>0内是共形映射.6.2

分式线性映射6.2.1分式线性映射的概念6.2.2分式线性映射的分解6.2.3分式线性映射的性质6.2.4分式线性映射的应用6.2.1

分式线性映射的概念1.分式线性映射的定义

定义6.3(分式线性映射)设复常数a,b,c,d,满足ad-bc≠0,则分式线性映射定义为

上式中,ad-bc≠0是映射非退化的关键.若ad-bc=0,则分子与分母的线性组合成比例,映射会退化为常数函数,从而失去映射的基本特性.分式线性映射的定义域为复平面除去分母零点的区域.当c=0时,分式线性映射退化为线性映射,从而其定义域扩展至整个复平面.分式线性映射的逆映射仍为分式线性映射.6.2.3分式线性映射的性质分式线性函数

可改写为：(1)当时，(2)当时，6.2.2

分式线性映射的分解

任何复杂的分式线性映射都可分解为四类基本映射的复合,分别为平移映射、旋转映射、相似映射和反演映射.通过分解,可清晰揭示分式线性映射的几何本质,简化其性质分析与计算过程.(1)w=z+a(a为复常数)确定了一个平移映射;(2)w=zeiθ(θ为一实数)确定了一个旋转映射;(3)w=rz(r为一个正数)确定了一个以原点为相似中心的相似映射;(4)是由映射

及关于实轴的对称映射

复合而成的.6.2.2

分式线性映射的分解【例6.3】对分式线性映射

进行分解.

解首先把

变形为

，则分解过程为

平移：反演：旋转+平移：

通过上述分解，可直观看出该映射的几何变换过程，为后续分析其对区域的映射效果提供便利。6.2.3分式线性映射的性质1.保角性

分式线性映射在其定义域内是共形映射。几何特征任意两条曲线经过映射后：交角大小保持不变；旋转方向保持不变。即：6.2.3分式线性映射的性质2.保圆性分式线性映射保持：其中直线可看作经过无穷远点的圆周。几何直观为后续区域映射提供基础。圆周与直线的映射规律原图形映射后图形不过原点的圆周不过原点的圆周不过原点的直线过原点的圆周过原点的圆周不过原点的直线过原点的直线过原点的直线6.2.3分式线性映射的性质为什么具有保圆性？分式线性映射可分解为四类基本映射：其中：平移、旋转、相似保持圆和直线形态；反演实现圆与直线之间的相互转换。因此，分式线性映射继承保圆性质应用意义利用保圆性，可以快速判断区域映射关系：上半平面→单位圆盘复杂边界区域→规则圆形区域平移+旋转+相似+反演6.2.3分式线性映射的性质3.保对称性

若两点z1,z2关于圆周Γ对称,则映射点w1=f(z1)，w2=f(z2)

关于像圆周Γ'=f(Γ)仍保持对称关系.即：几何意义分式线性映射不仅保持：角度关系（保角性）圆周与直线关系（保圆性）还保持：点与边界之间的对称关系应用价值保对称性可用于简化复杂边界问题：不规则对称区域→规则对称区域​例如在电磁场分析中，可利用该性质将复杂边界区域映射为规则区域，从而简化电场分布计算。6.2.3分式线性映射的性质4.保交比性交比是复平面上四点关系的重要不变量。设扩充复平面上有四个不同点：z1,z2,z3,z4其交比定义为：基本概念分式线性映射的不变量对于任意分式线性映射：w=f(z)四点映射后仍保持交比不变：（涉及无穷远点时，按极限规则处理）几何意义交比保持性说明：分式线性映射保持四点之间的相对位置关系；可利用三个对应点唯一确定一个分式线性映射。即：三点对应→唯一确定映射应用价值利用交比不变性，可构造满足特定边界条件的映射：已知区域变换→确定分式线性映射为复平面区域映射提供通用构造方法。6.2.4分式线性映射的应用1.在流体力学中的应用基本思想在不可压缩流体的无旋流动分析中，需要求解特定区域内的：流速势函数流函数当流动区域边界形状复杂时，直接求解较为困难。分式线性映射方法利用分式线性映射的：保角性保圆性将复杂区域映射为规则区域：不规则区域→规则区域求解过程1.在规则区域内利用标准方法求解流动问题；2.通过逆映射将结果恢复到原区域。例如，对于绕圆柱的无旋流动，可通过分式线性映射将圆柱面映射为单位圆，求解单位圆内的流动后再还原，从而简化求解过程。6.2.4分式线性映射的应用2.在静电场分析中的应用基本思想静电场的电位分布满足拉普拉斯方程，其求解结果与区域几何形状密切相关。当导体边界形状复杂时，直接求解较为困难。分式线性映射方法利用分式线性映射的：保对称性、保角性将复杂导体边界映射为规则边界：求解过程1.在规则区域内求解电位分布；2.利用逆映射得到原区域电位；3.进一步确定电场强度分布。例如,求解两个偏心导体圆柱之间的静电场时,可通过分式线性映射将两圆柱面映射为两个平行直线,从而简化电位的计算.6.2.4分式线性映射的应用在几何建模与计算机图形学中的应用基本思想分式线性映射可用于复杂图形的：变形拼接形状控制通过调节映射参数，实现对图形的：伸缩、旋转、对称变换应用特点利用分式线性映射的几何变换能力，可以：精确控制图形形态；实现复杂曲面的构造；满足个性化建模需求。6.3

简单区域的映射构造的概念及工程案例6.3.1幂函数的映射6.3.2指数函数的映射6.3.3分式线性映射的性质6.3.4分式线性映射的应用6.3.1

幂函数的映射

幂函数映射w=zn是复变函数中一类典型的多值函数诱导映射,其主要作用是实现复平面上扇形区域到角形区域的变换,在工程领域的电磁场分布、流体力学势流分析中有着广泛应用.

从几何意义来看,设复变量z的极坐标形式为z=reiθ,则幂函数映射可转化为极坐标下的运算:w=rneinθ.这一变换包含两个独立的几何操作:模的伸缩与辐角的放大.模长r被映射为rn,当r>1时,模长被拉伸,当0<r<1时,模长被压缩;辐角θ被放大为nθ,这是幂函数映射的关键特征.6.3.1

幂函数的映射

基于辐角放大的特性,幂函数映射对复平面区域具有明确的变换规律:若原区域为以原点为顶点、辐角范围为α<θ<β的扇形,且满足β-α≤2π/n,则该扇形区域会被一一映射为辐角范围为nα<argw<nβ的角形区域.特别地,当原区域为右半平面的一部分0<θ<π/n时,映射后会得到上半平面0<argw<π;当原区域为单位圆内的扇形0<θ≤2π/n,|z|<1时,映射后会得到单位圆内的全平面区域|w|<1.

在工程应用中,幂函数映射常用于角域问题的简化.例如在求解金属导体夹角处的电场分布时,夹角区域可视为扇形区域,通过w=zn映射为半平面或全平面,利用半平面上的已知电场解反推原角域的电场分布,大幅降低偏微分方程的求解难度.需要注意的是,当扇形的辐角范围超过2π/n时,映射会出现重叠,此时需引入黎曼面来构建单值映射分支.6.3.1

幂函数的映射【例6.4】

区域，求一共形映射，将D变为上半平面。解如图所示,先由幂函数映射z1=z2将D变为上半单位圆域;其次由分式线性映射将其变为第一象限;最后由映射

将其变为上半平面.因此,所求映为6.3.1

幂函数的映射【例6.5】求一共形映射,将区域

共形映射为单位圆域.解如图所示,首先由幂函数映射的逆映射,即根式映射

将区域D变为角形域

,再由

将指定区域变为上半平面,最后由

变为.因此,所求映射为6.3.2

指数函数的映射

指数函数映射w=ez是复变函数中单值解析映射的典型代表,其主要功能是将复平面上的水平带形区域映射为角形区域,在热传导、静电场边值问题中发挥着关键作用.

设复变量z=x+iy,则指数函数映射可分解为w=exeiy.从几何变换角度分析,这一映射包含两个部分:实部主导的模长变换与虚部主导的辐角变换.模长|w|=ex仅由z的实部决定,当x增大时,模长呈指数增长;当x减小时,模长趋近于0;辐角argw=y

完全由z的虚部决定,虚部的变化直接对应辐角的线性变化.6.3.2

指数函数的映射

指数函数映射的区域变换规律针对水平带形区域:若原区域为a<y<b(x∈ℝ)的水平带形,且满足0<b-a<2π,则该带形区域会被一一映射为辐角范围为a<arg

w<b

的角形区域.特别地,当带形区域为0<y<π时,映射后得到上半平面Im(w)>0;当带形区域为-π<y<π时,映射后得到除去负实轴的全平面.这一特性的本质是虚部的周期性,即由于ei(y+2π)=eiy,指数函数以2πi为周期,因此带形区域的高度超过2π时会出现映射重叠.

在工程实践中,指数函数映射常用于带形区域的边值问题求解.例如在求解无限长平行板电容器之间的电势分布时,极板之间的区域可视为水平带形,通过w=ez映射为角形区域,将复杂的带形边界条件转化为简单的角形边界条件,结合保角映射的不变性快速求解电势函数.此外,在流体力学中,指数函数映射可将平行流场转化为径向流场,用于分析绕圆柱的流动问题.6.3.2

指数函数的映射【例6.6】求一共形映射,将带形区域

映射为上半平面。解如图所示。首先由

平移映射将带形域D变为带形域

，再由相似映射

变为带形域

，最后由指数函数

变为上半平面。因此所求映射为6.3.3简单区域的映射构造的概念及工程案例1.简单区域映射构造的概念核心：将复杂区域→上半平面/单位圆等标准区域应用：电磁场、流体力学、热传导什么是简单区域映射构造？选取基本映射，设计复合变换步骤将复杂目标区域转化为标准区域（上半平面、单位圆等）核心目标将复杂边界区域（扇形、带形、多边形）→上半平面利用标准区域的已知解，反推原区域的物理量分布本质:问题的降维简化6.3.3简单区域的映射构造的概念及工程案例基本原则利用基本映射的复合变换映射符号主要功能幂函数映射w=zⁿ角形区域↔

扇形区域根式映射扇形区域↔

角形区域指数函数映射w=ez带形区域↔

角形区域分式线性映射w=(az+b)/(cz+d)圆域↔

半平面常用基本映射6.3.3简单区域的映射构造的概念及工程案例典型构造示例（一）角形区域→上半平面问题：顶点在原点、辐角范围

0<argz<π/3的角形区域步骤幂函数映射w₁=z³辐角放大3倍转化为上半平面0<argw₁<π典型构造示例（二）带形区域→单位圆（两步复合）问题：带形区域

0<Imw₁<π步骤指数函数映射w=ez，转化为上半平面0<argw₁<π分式线性映射w=(w₁-i)/(w₁+i)，转化为单位圆|w|<1两步复合→带形区域到单位圆的映射6.3.3简单区域的映射构