考研数学二模拟412

考研数学二模拟412

一、选择题

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.设f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且

/(z)=lncosz+jg(i—z)dz,lim2

Jol。1,则___

人人0)为£&)的极大值

8.1(0)为1«)的极小值

C.(0,£(0))为尸一想)的拐点

D.f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是y二fix)的拐点

正确答案：C

.这=-2

［解析］显然f'(0)=0,由l。x得g(0)=0,g(0)=-2.

由

、X****If「X

g(z-Odz=g(〃)d〃得/'Q)=lncosx+Jcg(M)clw.

/(x)=-皿+g(z)/(0)=0.

JCOST

-典+g(力

/(0)=Hm=lim^2=lim——=—l—2=—3<。,

J£_oXXx-0I

故(0,f(0))为y=f(x)的拐点，选C.

f(lnx)==—zf'(z〉dz

2.当x>0时，丘,贝"t」为

2

A.7

2

B.一三

4

C.K

4

D.e

正确答案：C

/(Inx)=占得f(/=e-7

［解析］由G，

r22

xd/(x)=/(x)dx

J—2.-2

2

=xe2

则

选C.

3.设z=z(xy)由F(az-by,bx-cz,cy-ax);0确定，其中函数F连续可偏导

9z.dz

c--Fa—=

且afi=cf旦0,贝lj0y------.

A.a

B.b

C.c

D.a+b+c

正确答案：B

［解析］F(az-by,bx-cz,cy-ax)=0两边对x求偏导得

dz_af'Lbf,

af冷+K(6_c多)_Qf；=0,解得"一af-cft.

dX。工

dz_-cf'3

F(ax-by,bx-cz,cy-ax)=0两边对y求偏导得力afcf^,

dz,dz_af3-bfz।bfi-cf,=°

故c石+0石=一彳口7十°矛=乃，选B.

4.设函数f(x)在(-8,+8)上连续，其导函数的图形如下图所示，则f(x)

有.

A.一个极小值点和两个极大值点

B.两个极小值点和一个极大值点

C.两个极小值点和两个极大值点

D.三个极小值点和一个极大值点

正确答案：c

［解析］设与函数的图形与Z轴的交点从左至右依次为A,B,C,在点A左侧

f'(x)>0,右侧f'(x)<0.所以点A为f(x)的极大值点，同理可知点B与C都

是f(x)的极小值点.关键是点。处，在它左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,而

f(x)在点0连续，所以点0也是f(x)的极大值点(不论在x=0处f(x)是否可

导，见极值第一充分条件)，选C.

arclanycLrd,=

5.设D为y=x,x=0,y=1所围成区域，则D

n,1

A.T+2

一n—"一1…

B.42

7t

c.T

1

D.2

正确答案：B

［解析］

llarctanydxdy=farctanydydx=f1yarctanydy

JJJ0J0J0

D

jfl］fi1

=arctanyd(>2)---y2arctan.yIo----；-(1一1z)dy

ZJo4/5J01+y

=1•一今选B•

a%=

6.设函数u=f(xz,yz,x)的所有二阶偏导数都连续,贝四处------

A.0

B.xzfn+yzf22+z2f12

C.z2f12+zf32

D.xzfn+yzf22

正确答案：C

石=〃+八，五%=z九+以3

［解析］选C.

7.设矩阵B的列向量线性无关，且BA二C,则.

A.若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的列向量线性相关

B.若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的行向量线性相关

C.若矩阵A的列向量线性无关，则矩阵C的列向量线性相关

D.若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的列向量线性无关

正确答案：D

［解析］设B为mXn矩阵，A为nXs矩阵，则C为mXs矩阵，且r(B)=n.

因为BA=C,所以r(C)Wr(A),r(C)^r(B).

若r(C)=s,则r(A)^s,又r(A)Ws,所以r(A)=s,A的列向量组线性无

美,A不对；

若r(C)=s,则r(A)=s,所以A的行向量组的秩为s,故n2s.若n>s,

则A的行向量组线性相关，若n=s,则A的行向量组线性无关，B不对；

若r(A)=s,因为r(C)Ws,所以不能断定C的列向量组线性相关还是无

关，C不对；

若r(C)=s,则r(A)=s,选D.

8.设n阶方阵A的n个特征值全为0,则.

A.A=0

B.A只有一个线性无关的特征向量

C.A不能与对角阵相似

D.当A与对角阵相似时,A=0

正确答案：D

［解析］若A的全部特征值皆为零且与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P,使得

K［AP=・・

°),于是A=0,选D.

二、填空题

lim(cosH+zsin十)1一=

1.L0

正确答案：

e

［解析］

lim(cos^+xsinx)1=lim｛［l+(cosz-1+心山文)］皿；+*石

x-*0

1—一工2〜-r-'

因为2,所以

lim晔三担粤cos%-1+zsirp:

P=2皿艺』学上

…1-八一1*

故limlosz+zsim)；?方#=如

x-*0

Han(x-f)2dz

xsin(7一r)2dz

2.

正确答案:

L

T

xsin(x-^)2dr=xsinu2du9

L，—MfXfx

ttan(x-tYAt=xItan/d”一Jutanu2du»

［解析］0

则

Jtanu'dw

Ztan(x-z)2dztanu2du

xsin(x-tYdlsinu2d«+xsinx"Isintt2d«,

Jo.sinr

一P―十字

tanu2d«isin/d〃2,

2rJoi.sinj：1

由lim-----J-----=lim旺=—,limJ=lim<一1=—

X-0Xx-06X3iz，x>o3x3

IHan(x-£)z市

得］im--------------------=±.

…卜sinGr-,)z市4

3.设f(x)为连续函数，且

x2+y2+==j/Q+y—八市,则+言)=

正确答案：

-—f(y)J—(x+j)

x2+y1+z2=j/(n+y—c)dz

［解析］两边对x求偏导得

2z+2z普=一/(x),

ox

y

x2+y2+/=fCx+y-t)dt

两边对求偏导得

再将J’y

2y+2z=f(y)9

z(卫+卫)=

_y[/(x)—/(y)]—(x+y).

两式相加得焉工可乙

X=a(t-sin/)，

i.……(y=a(l-coG(a>0,0<tW23i)绕x轴旋转一周所成曲面的表面

积为-

正确答案：

64穴/

3

[解析]对

[m+di]C[0,2女々],#=2ny+y2dz,

于是s=J20y/1+y\dx=2T[a(l—cosO\/az(l-cos^)2+a2sin2rdr

=2^7ta21(1-cosZ)7dz=2A/27ca2J(1—cos/)^dt

・32算小叫》d传卜笔1.

JoZ\Z/3

x=a(t~sin/),

〜(^=a(l-cosz)(>0,0<<2冗)的通解为

a

正加答纂

arcsin—=Inx+C

x

[解析]由.得

dy="一、：

dxx日或今二产可+3

2〃+-1+〃或=也

令Z,则dX,解得

arcsinu=lnx+C,原方程的通解为'“,山1lnx+C.

6.设A为三阶矩阵，其特征值为人尸-2,入2二入3=1,其对应的线性无关的特

征向量为Qi,。2,a3,令P=(4Q”a2-a3,a2+2a3),则P］(A*+3E)P为

正确答案：

r)

i

L

［解析］因为A的特征值为入尸-2,入2二人3二1,所以A*的特征值为u尸1,P2=p

3=-2,A*+3E的特征值为4,1,1,又因为4a”a2-a3,&2+2&3。也为A的线

性无关的特征向量，所以4a”a2-a3,Q2+2a3也是A*+3E的线性无关的特征

向量，所以

4

2«A・+3£)P=1.

L

三、解答题

其94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

lim二产)=0

设y=y(x)(x>0)是微分方程2丫〃+丫'-丫=(4-6*)0、的一个解，且「。i.

1.求y(x),并求尸y(x)到x轴的最大距离.

正确答案：

［解］2丫〃+丫'-产(4-6*)h的特征方程为2入2+入一1=0,特征值为人尸-1,

)=L-

2-T,得2y〃+y'-y=0,通解为，=+C?叫

2-x

令2y〃+y'-y=(4-6x)e「、的特解为y0=(ax+bx)e,代入得a=l,b=0,

2

原方程的通解为、=Ge-，+G/+xe-\

1而晔=09

由一。x得y(0)=0,y(0)=0,代入通解得3二C2R,故y=xe\

由y，=(2x-x2)e-x=0Wx=2,

当x£(0,2)时,y>0；当x>2时,y'VO,则x=2为y(x)的最大点,

故最大距离为cU=y(2)=4e-2.

■卜8

y(x)dx.

2.计算Jo

正确答案:

C48

°y(i)dz=J。X2e-xdx=f(3)=2(=2.

[解]

fg(x)-cosx,A

/(x)=vx

设g(x)二阶可导，且a，N=0.

3.求常数a的值，使得f(x)在x=0处连续；

正确答案：

[解]当f(x)在x=0处连续时,g(O)=l,

lim/(x)=lim应匕CQSH=[加修一心)+1-=1^〕=/(0),

6

*-°LQN■T--。LxX

当f(x)在x=0处连续时，a=g,(0).

4.求f,(x),并讨论f(x)在x=0处的连续性.

正确答案：

f=z[g'(z)-sinr]-[g(i)—cos工]

[解]当xWO时，〃5

当x=0时，

g(z)-C0S1/小

limZ(x)--/(0)=|im_x_摩

XX-0X

=limg'(7)­g'(0)+sinx

x-o2x

7呵F—@+等卜知+g〃(。)1，

乙L0LzXJc

z[g'(z)+siar]-[g(z)-cosx],

214~1#0A,

X

则/a)=4

如+g〃(0)],0.

乙

Hm/[g'(z)+sin/]-[g(z)-cosz]

2

LOx

「|Ng'(«r)一欢'(0)।sinz」xg(O)—[g(x)—cosx]

=^|―P----------+V+12

=/(0)+l+lim⑹一电了一,。回

LOX

因为=1""(°)+口=八°)'

所以f'(x)在x=0处连续.

5.讨论方程lnx=kx的根的个数.

正确答案：

[解]情形一:当k=0时，方程只有唯一实根x=l；

情形二:当k>0时，令f(x)=lnx-kx(x>0),

=——々=0得z=4",

xk

1]

因为/(幻一<°,所以"一E为""的最大值点，最大，直为

M=/(])=In上

kke9

i=—

当e时，方程只有一个根x=e；

当7e时，方程没有实根；

0々々_Llim/(x)=-8,lim/(x)=-8

当好、e时，M>0,由一。卜"I"得方程有且

仅有两个实根，分别位于(°,千)与(三'+8)之间.

八>)=_L—上>o

情形三：当kV。时，JH/,f(x)在(0,+8)内单调增力口，

lim/(x)=-8,lim/(x)=+8

由'is得方程有且仅有一个实根.

6.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a>0),f(a)=f(b)=l.证明：

存在g,ne(a,b),使得abe「'=n2[f(口)_『(0)].

正确答案：

［解］令6(x)二屋f(x),F(工)一］］(工)由柯西中值定理，存在

3⑹一Ma)=仆)即e=e。，仃(加一八遍

F(6)-F(a)-F(rf)91_1_1’

ne(a,b),使得ba72

e：—c11=rfe叱八―)一/(办］

整理得b—aab'

e"——=_-<

由微分中值定理，存在g£(a,b),使得一ae'

所以abe"Jn2［f(n)-f'(n)］.

7.设函数f(x)(x》O)连续可导,且f(O)=l.又已知曲线尸f(x)、x轴、y轴

及过点(x,0)且垂直于x轴的直线所围成的图形的面积值与曲线尸f(x)在［0,x］

上的一段弧长值相等，求f(x).

正确答案：

［解］曲线尸f(x),x轴，y轴及过点(x,0)且垂直于x轴的直线所围成的图形

的面积为1。1/(01R曲线尸f(x)在［0,x］上的一段弧长为

5/1+/，2(x)dx

。，根据题意得

"|f(i)|山=『yi+/z(x)dx,

JoJ)

两边对X求导得

If(H)1=+尸⑺或f2(x)=i+f2(x),

则/=±石=T,解得

lnC(y+Vy21)=±N，

再由f(o)=i得01,所以—1=］：解得

一、ex+「

y=f(1)=-0—•

8.计算也，其中D是由x?+y2=4与x2+(y+l)2=l围成的区

域.

正确答案：

［解］由对称性得

22

（，工2+»2+力）2）&=jjyX+ycb,

D

令Do：x"+（y+l）2^l,

/=jjYW+»2m-J

Jf+y2心,

D+%DQ

0y/x2+y2da=（d4/dr=华

册。

_______ror-2mnfforo

A/X2+y2da=d。r^dr=-yjsin*d6

3Jo6JoJJJ

所以[=]J（/**+3+卬2）&=^^—普=学（37r—2）.

则

9.设函数f(t)在(0,+8)内具有二阶连续导数，函数一=/(/储+3)满足

叱+也=0

3x2"，若f(l)=0,F(1);1,求f(x).

正确答案：

察=产「八〃+一)，

"心十—

会=-^4^r<+---------…—(y?T7),

a#工+y(xz+j2)，工+y”

同理答=+,2,—+a?)，

3y+y(x2+/)vP+y

1

Mz.a2z=r（“+9）+/„,_z（"+丁），

唠+品。得MK)+得/G)=。，

[解]

「曰/〃(力+工,口)=o,故r(幻=6对物=?，

J*zeX]

由f，(l)=l得O1,于是'x,故f(x)=lnx+&,

又由f⑴=0得C2=0,故f(x)=lnx.

10.当a,b为何值时,P不可由Q1，a2,。3线性表不;

正确答案：

11-3111-31

1-1-130-222

A

4-2a100—6a+126

2b-9a+6,0b—2-3a+6-2.

rl1-31

o1-1-1

00a+60

［解］006-5a+2。-4,

（1）当a力-6,a+2b-4W0时、因为厂（A）Hr（A）,所以B不可由1»a2,

Q3线性表示；

11.当a,b为何值时，。可由a”a2a3线性表示，写出表达式.

正确答案：

［解］当aW-6,a+2b-4=0时,

1-311002

1-1-1010-1

0100010

06—5Q+26—410000

B可由。”a2

Q3唯一线性表不，表达式为8=2a「a2+0a3;

当a二一6时,

11-3101-31

1-1-1301-1-1

—►

4-2a10006-526-10

2b-9a+6、0000

rioo6

0101

0012

当a=-6,bW5时，由100o0J,B可由a”a2,a3唯一线性

表示，表达式为B=6Qi+la2+2Q3；

10-22

一01-1-1

Af

0000

当a二-6,b二5时，由卜。0