第05讲 概率与统计（教师卷）-【寒假衔接讲义】高二数学寒假讲义练习（人教B用 选择性必修二）

第05讲概率与统计

【易错点总结】

一、条件概率与事件的独立性

i.相互独立事件

一般地，当P(4B)=RA)P(8)时,就称事件A与B相互独立(简称独立).如果事件

A与8相互独立，则彳与百，A与8,无与否也相互独立.

2.条件概率

(1)概念：一般地，当事件B发生的概率大于0(即夕(8)>0)时,已知事件8发生的

p(AC\fi)

条件下事件A发生的概率,称为条件概率，记作P(4|8),而且P(A|8)=p®.

(2)两个公式

①利用古典概型，P(B\A)===；

〃I.，

②概率的乘法公式：P(A8)=P(A)P(8|A).

3.全概率公式

一般地，如果样本空间为。，A,8为事件，则84与8彳是互斥的，且8=8。

=3(A+无)=84+8无，从而P(8)=P(B4+3W)=P(84)+P(8W),当尸(A)>0且

P(7)>0时，有P(B)=a4)P(B|A)+P(齐)户山|不).

二、随机变量及其分布列

1.离散型随机变量

一般地，如果随机试验的样本空间为O,而且对于。中的每一个样本点，变量X

都对应有唯一确定的实数值,就称X为一个随机变量.其所有可能的取值都是可

以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

一般地，若离散型随机变量X的取值范围是{刈，也，…，心},如果对任意&£{1,

2,…，〃},概率2(X=.=〃*都是已知的，则称X的概率分布是已知的，离散

型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率

分布或分布列.

••••••

XXIX2XkXn

••••••

P0P2PkP〃

3.离散型随机变量的分布列的性质

(l)pRO,k=1,2,…，户；

(2)g[/〃=pi+〃2H---\~p,i=1.

4.离散型随机变量的数学期望与方差、标准差

一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示

XXIX2•••Xk♦••Xn

••••••

ppiP2PkPn

⑴均值

称E(X)=Q+X2S+…1M为离散型随机变量X的均值或数学期望(简

称为期望).

(2)方差

D(X)=[xi-E(X)]2pi+[X2-E(X)]2/?2+•••+卬一E(X)Fp〃=如二且201%，能够刻

画X相对于均值的离散程度(或波动大小),这称为离散型随机变量X的方差.

(3)标准差

称，212＞称为离散型随机变量X的标准差,它也可以刻画一个离散型随机变

量的离散程度(或波动大小).

5.均值与方差的性质

(\)E(aX-\-b)=aEQQ±b.

(2)P(aX-}-b)=a2D(X)(a,b为常数).

三、二项分布与超几何分布

1.〃次独立试验与二项分布

(1)〃次独立重复试验

在相同条件下重复〃次伯努利试验时，人们总是约定这〃次试验是相互独立的,

此时这〃次伯努利试验也常称为〃次独立重复试验.

(2)二项分布

一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p,记〃=1一小且〃

次独立重复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围是{0,1,…，k,…,

〃},而且P(X=k)=C%%nk,A=0,1,•••,/n

因此X的分布列如下表所示

X01•••k•••n

，・

P(V尸•••CnDkal~k♦♦C版峭

注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q+p)"=CM°/+d

p［一+…+C加…+CM/中对应项的值，因此称X服从参数为〃，〃的

二项分布,记作X〜8(〃，〃).

2.两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若随机变量X服从两点分布.，则E(X)=pD(X)=p(\~p).

Q)若X〜B(n,p),则E(X)=也，D(X)=np(l-p).

3.超几何分布

一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M<N)，从所有

物品中随机取出〃件(后恒,则这〃件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变

量，X能取不小于，且不天于s的所有自然数，其中s为M与〃中的较小者，/

在〃不大于乙类物品件数(即〃WN-M)时取0,否则/取〃减乙类物品件数之差(即

1=n—(N—M)),而且

…,CU:嗝

P(X=Q==^=,k=t,r+l,•

这里的X称为服从参数为M〃，M的超几何分布，记作X〜”(M〃，M).

4.正态分布

⑴正态曲线

S(x)=”历c———，贝幻的解析式中含有4和。两个参数，其中：〃=E(X),

即X的均值；<7=\/f)(X)~,即X的标准差.Q(X)也常常记为“(X).

(2)正态曲线的一些性质

①正态曲线关于以_对称(即〃决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两

边低的特点；

②止态曲线与X轴所围成的图形面积为L

③。决定正态曲线的“胖瘦”；<7越大，说明标准差越大,数据的集中程度越弱，

所以曲线越「胖”；。越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线

越「瘦”.

(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

P(〃一CWXW〃+O)Q68.3%；

P(/I-+2㈤%95.4%；

P@~3。W+3299.7%.

(4)正态分布的均值与方差

若X〜M〃，『)，则E(X)=w，D(X)=(r.

四、独立性检验

1.变量的相关关系

(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定

另一个的程度，这种关系称为相关关系.

(2)相关关系的分类：正相关和负相关.

(3)线性相关：如果变量x与变量y之间的关系可以近似地用二来刻画，则

称x与y线性相关.

2.相关系数

£(XLx)(y—y)

(l)r=—/「〃—n_

A/L(x,-x)2E(j,-j)2

1=11=1

n

_________xy________________

I«zz«*

、(Lx?-nx2)(SJ?-WJ2)

\l<=iI=I

(2)当/>0时，成对样木数据正相关;当YO时，成对样木数据负相关.

(3)|"W1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当H越接近0

时，成对样本数据的线性用关程度越弱.

3.一元线性回归模型

⑴我们将知源+2称为)，关于X的回归直线方程，其中

6n__n

£(斯-X)(y-y)£x»­〃„

A_j=l___________________i=l"J

b=7i-=-n~~~»

<Z(.Xi-X)2Ex?-/ix2

/=1i=l

AAA—

、a=y-bx.

(2)残差：观测值减去预测值,称为残差.

4.2X2列联表和/

如果随机事件A与B的样本数据的2X2列联表如下.

AA总计

Baba+b

Bcdc+d

总计b+d

记〃=a+b+c+d,则

1_________________〃(ad-be)2______________

(。+〃)(c+d)(〃+c)"+(/).

5.独立性检验

统计学中，常用的显著性水平a以及对应的分位数攵如下表所示.

a=P(/2^k)0.10.050.010.0050.001

K2.7063.8416.6357.87910.828

要推断“A与8有关系”可按下面的步骤

⑴作2X2列联表.

⑵根据2义2列联表计算亡的值.

(3)查对分位数上作出判断.如果根据样本数据算出/的值后，发现/三攵成立,

就称在犯错误的概率不超过a的前提下，可以认为A与8不独立(也称为A与B

有关)；或说有上工的把握认为A与8有关.若片4成立，就称不能得到前述结

论.这一过程通常称为独立性检验.

★【重难点剖析】

考点一：条件概率与事件的独立性

.从编号为1-2。的20张卡片中依次不放|叫地抽出两故，记A：第一次抽到数字为

6的倍数，B：第二次抽到的数字小于第一次，则P（8|A）=（）

8「11「8c7

A.—B.—C.-D.—

19191119

【答案】B

【详解】记事件A：第一次抽到的数字为6的倍数；事件5：第二次抽到的数字小于第一次：

则数字为6的倍数的数有：6」218,所以P（4）=《，

第二次抽到的数字小于第一次的情况分为：

第一次抽到的数字为6,第二次则抽到1,23,4,5,共5种；

第一次抽到的数字为12,第二次则抽到1~11,共11种：

第一次抽到的数字为18,第二次则抽到1〜17,共17种.

5+11+1733

则尸（A8）=

20x19380

33

..)(用力=以绊=孚J

I/人)A19

20

故选：B.

2.某地区气象台统计，该地区下雨的概率4是刮风的概率为2尚，在下雨天里，刮风的

概率为则既刮风又下雨的概率为（）

O

31

AB.C.—D.

-751020

【答案】C

【详解】记人=“下雨”，？=“刮风”，A8="刮风又下雨”,

则P(A)=［，P(B)=WP(则4,

1D1Do

所以P（A8）=P（A）P（8|A）=24=L.

故选：C

3.某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是男孩，则另外两个都是女孩的概率为（）

A3口3I3

A.—B.—C.-D.—

7824

【答案】A

【详解】解：由题意，某家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是男孩，

基本事件有：(女女男)，(女男女)，(男女女)，(女男男)，(男女男)，(男男女)，(男男男)，

共有7个，

其中另外两个都是女孩包含的基本事件有：

(男女女)，(女男女)，(女女男)，共有3个，

则至少有两个孩子是女孩的概率是P

故选：A.

4.某人外出出差，委托邻居给家里植物浇•次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8,浇水,

植物枯萎的概率为0.15.邻居记得浇水的概率为0.9.则该人回来植物没有枯萎的概率为()

A.0.785B.0.845C.0.765D.0.215

【答案】A

【详解】解：记A为事件“植物没有枯萎”，W为事件”邻居记得给植物浇水”，

则根据题意,知。(M=09,W)=().l,P(4|1¥)=l-0.8=0.2,P(A|W)=1-0.15=0.85,

因此P(A)=P(AIW)P(W)+P(AIW)P(W)=0.85x0.9+0.2x0.1=0.785.

故选：A.

1-?1

5.若尸(A3)=§,P(A)=-,P(8)=§,则事件A与A的关系是()

A.事件A与A互斥B.事件A与B对立

C.事件A与3相互独立D.事件A与3既互斥又相互独立

【答案】C

_21

【详解】•••P(A)=I—P(A)=I—§=3，

P(AB)=P(A)P(B)=^0,

，事件A与8相互独立、事件A与4不互斥，故不对立.

故选：C

考点二：随机变量

［、］6.下列说法正确的是()

A.离散型随机变量的均值是［0』上的一个数

B.离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平

C.若离散型随机变量X的均值七5)=2,则E(2X+1)=4

D.离散型随机变量X的均值凤X)=内

【答案】B

【详解】对于A,离散型随机变量的均值是一个常数，不一定在［0』上，

故A错误，

对于B,散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，

故B正确，

对于C,离散型随机变型X的均值E(X)=2,

贝|JE(2X+1)=2E(X)+1=5,

故C错误，

对于D,离散型随机变量X的均值E(X)=£X,P,,

/=|

故D错误.

故选：B.

7.已知随机变量X服从正态分布N(〃,")，若P(X>-2)+P|：X24)=l,则〃=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】B

【详解】由于随机变量X服从正态分布N(〃,『)，且p(x>-2)+P(XN4)=l,

而P(X>—2)+P(XK-2)=l,

所以P(X")=P(XW—2),

所以〃=上写1=1.

故选：B

8.为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格

才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为"，第二轮检测不合

格的概率为两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利

40元，若产品不能销售，则每件产品亏•损80元，已知一轮中有4件产品，记一箱产品获利

X元，则P(XA-80)等于()

96°256〃608「209

A.-----B.-----C.-----D.-----

625625625625

【答案】C

【详解】由题意得该产品能销售的概率为=g,

易知X的取值范围为{-320,-200,-80.40,160},

设。表小箱产品中可以销售的件数，则

所以尸(g=2)=C：••G)J,%=o,1,2,3,4,

所以尸(x=

256

P(X

625

P(X=

故P(XN-80)=P(X=-80)+P(X=40)+P(X=160)=^

625

故选：c.

9.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4

个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是(〉

A.P(X-l)--B.随机变量X服从二项分布

D.E(X)=g

C.随机变量X服从几何分布

J

【答案】C

【详解】解：由题意知随机变量X限从超几何分布，故B错误，C正确;

「41C］「3Q

X的取值分别为0,I,2,3,4,则P(X=0)=k=7rP(X=D=-^=-

Jo14J。21

“唔9"唔g"X…*击,

E(X)=0x—+lx-+2x—+3x-+4x-^—=-

故A,D错误.

故选：C.

10.在某校的一次化学考试中，全体考生的成绩近似地服从正态分布N(8O,1(X)),已知成绩

在90分以上(含90分)的学生有32名.则参加考试的学生总数约为()

(参考数据：P(^-a<X</j+a)=0.6827,P(//-2CT<X<p+2(T)=0.9545,

P(〃一3。WXW〃+3b)=0.9973)

A.202B.205C.206D.208

【答案】A

【详解】因化学考试的成绩X服从正态分布N(80400),显然期望〃=80,标准差

<T=J100=10»

于是得P(x>90)=-P(70<X<90)］=i-1P(//-o-<X</z+o-)«0.1587,

所以参加考试的学生总数约为32+0.1587~202.

故选:A

考点三：统计模型

［、一］1.某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地

3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得*=7.326,则根据这•数据以

及临界值表，判断育龄妇女生有意愿与家庭年收入高低有关系的可信度()

参考数据如下：P(Z2之10.828)®0.001,P(/227.879)«0.005,P(/>6.635)«0.01,

P(/2>3.841)»0.05,P(x222.706)=0.1.

A.低于1%B.低于0.5%C.高于99%D.高于99.5%

【答案】C

【详解】由于/=7.326w(6.635,7.879),

而P(#2之7.879)x0.005,P(x226.635卜0.01,

所以可信度高于99%.

故选:C

12.通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有。的男

O

大学生“不看”，有g的女大学生“不看”，若有99%的把握认为性别与是否看营养说明之间有

关，则调杳的总人数可能为()

A.150B.170C.240D.175

【答案】C

【详解】设男女大学生各有“人，根据题意画出2x2列联表，如下图：

看不看合计

51

男—ni-mm

66

21

女—m—mm

33

31

合计—in—m2m

22

"5112Y

2ni\—mx-m—m>—tn

所以/=_^_i_g__网，因为有99%的把握认为性别与对产品是否满意

，，心心加27

22

有关，所以”>6.635,解得2〃A179.145,所以总人数2m可能为240.

27

故选：C.

13.关于线性回归的描述，下列命题错误的是（）

A.回归直线一定经过样本点的中心B.残差平方和越小，拟合效果越好

C.决定系数2越接近拟合效果越好D.残差平方和越小，决定系数配越小

【答案】D

【详解】对A,回归直线一定经过样本点的中心正确：

对B,残差平方和越小，拟合效果越好正确：

对C,决定系数齐越接近1,拟合效果越好正确；

对D,残差平方和越小，拟合效果越好，决定系数正越接近1,故D错误；

故选：D

14.由样本数据（%,）。（工22），…，（王，工），对两个变量"IM进行回归分析，则下列说法

错误的是（）

A.由样本数据得到的回归宜线$，=八-4必过点（元月

B.残差平方和越小的模型，以合的效果越好

C.用决定系数R?来刻画回归效果，川越小，说明模型的拟合效果越好

D.若变量），和工之间的相关系数为,=0.95,变量》和x之间具有较强的线性相关关系

【答案】C

【详解】回归方程必过样本中心（只到，A正确：

残差平方和越小，代表估计值和测量值越接近，即拟合的效果越好，B正确；

R2越接近1,模型的拟合效果越好，C错误：

若，20.75,则变量'和1之间具有较强的线性相关关系，D正确；

故选：C.

15.对具有线性相关关系的变量x,），有一组观测数据（4其）（，=1,2,18）其回归直线方程是

y=-x+a,且玉+电+…+/=2（），］+%+…+然）=6,则当*=三时，5的估计值为（）.

c-i

AB-iD.

-444

【答案】A

【详解】因为内+受+…+玉=2(y+A+…+”)=6,

%+汽+…+/=6=3亍=乂+丫2+…+%=3

所以元=

88-8

11313A1

因为回归直线方程是y=+Q,所以所以?=：x=+a,解得：a=g,

33o34o

所以，所以当*•=-=时，y的估计值为：S'=|x(-

3o43\47oo

故选:A.

【基础过关】

一、单选题

1.随机变量X服从正态分布N(〃,〃)，且P(X>-1)=P(X<5),则下列说法一定正确的是

()

A.〃=3B.〃=2C.cr=3D.cr=2

【答案】B

【详解】因为P(X>—1)=P(X<5),

由正态分布的对称性可得〃===2,故B正确，A错误，

而正态分布的方差无法确定，故C,D均错误.

故选：B.

2.针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗.已知甲、乙两个机构

各自研制成功的概率分别为!和1，而且两个机构互不影响，则恰有-个机构研制成功的概

率为()

A.4B.Ac.2D.1

20122012

【答案】B

【详解】依题意，有一个机构研制成功的概率为软1-£|+(1-：卜；吟.

故选：B

3.“五一”劳动节放假期间，日、乙、丙去北京旅游的概率分别为:，7,假定三人的

345

行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为()

A.B.?C.iD.±

6052GO

【答案】B

【详解】•••甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为!，

345

・••他们不去北京旅游的概率分别为32,43,74-

345

•.•至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人去北京旅游，

・••至少有1人去北京旅游的概率为：12-=34=3

3455

故选：B

4.某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩〈服从正态分布N(90,cr2),

己知PW)“Vioo)=o.4,若按成绩采用分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，则应从100

分以上的试卷中抽取的份数为()

A.60B.40C.30D.15

【答案】C

【详解】P(^>100)=lx(i-0.4)=0.3t100x03=30.

故选：C

5.某工厂生产的零件的尺寸：单位：cm)服从正态分布/V(5O,O.I52),任选一个零件，

尺寸在50~50.3cm的概率为()

附：若X〜N.,/),则

尸(〃一bWXW〃+b)a0.6827,尸(〃-2crWXW〃+2a)a0.9545,P(〃-3crWXW〃+

3。)。0.9973.

A.0.34135

B.0.47725

C.0.6827

D.0.9545

【答案】B

【详解】由零件的尺寸(单位：cm)服从正态分布N(5O,O』52),

可知〃=50。=0.15,故50.3=50+2x0.15,

由-+%）力0.9545可得4XW〃+2。）。=0.47725,

故尺寸在50~50.3cm的概率为0.47725,

故选：B

6.某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比

赛一局胜的概率为小平局的概率为乩负的概率为claAcwQl））,已知他比赛一局得分

b

的数学期望为1,则，山的最大值为（）

A.-B.—C.JD.一

31226

【答案】B

【详解】解：由题意，比赛一局得分的数学期望为3xa+lx0+0xc=l,故M+力=1,

又。力,问0,1）,故3〃+心痂，解得时当且仅当MM,即4="=；时等号成

立.

故选：B.

7.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如

图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中

21

的概率分别为每人每次投壶相互独立.若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数

多者胜，则甲最后获胜的概率为（）

D*\

【详解】由题意可得，甲最后获胜的情况有3种

①甲投中1次，乙投中。次，则概率为

②中投中2次，乙投中1次，则概率为

③甲投中2次，乙投中。次，则概率为

C同xC；x(l—=1,

1315

所以甲最后获胜的概率为高+%+白二2，

Io1o1818

故选：B

8.甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局(必

须分出胜负)，且每一局甲癌的概率都是〃，随机变量X表示最终的比赛局数，若0<〃匕!，

4

则X的数学期望的取值范围是()

A.(2用B.[2,—]C.D」*

18」L8JI2」2j

【答案】A

【详解】随机变量X可能的取值为2,3.

0(X=2)=*+C；(l-〃『=2〃2-2〃+1.

P(X=3)=C；p(l-p)p+C^(l-p)(l-p)=2p-2p2,

故X的分布列为：

X23

p2P2—2p+l2/"2P2

故E(X)=2x(2〃2_2p+l)+3x(2〃-2叫=-2〃2+2〃+2=-2(〃一目+1.因为0<”(,

、IQ

故2vE(X)«?.故选：A.

O

二、多选题

9.设X是随机变量，那么()

A.若乂~8(4.；)则E(2X+3)=5

B.若:X-P(XW4)=0.79,则P(XW-2)=0.21

C.若X~N(3,22),X=2Y+3,则。(丫)=1

D.若X—则0(2X+3)=等

【答案】ABC

【详解】对于A,因为'~可4,；),所以E(X)=〃p=4x：=l,所以

E(2X+3)=2E(X)+3=5,所以A正确，

对于B,因为X-N(IQ),P(X忘4)=0.79,所以

P(XW-2)=P(XN4)=l-P(XW4)=l-0.79=0.21,所以B正确，

对于C,因为X~N(3,22),所以5X)=4,因为X=2Y+3,所以O(X)=22Q(y),所以

£>(r)=i,所以c正确,

对「D,因为X-所以O(X)=4x；x0_；)=:，所以b(X)=J5QQ=等，所

以b(2X+3)=2b(X)=2x¥=Q,所以D错误，

故选：ABC

10

10.对具有线性相关关系的变量X，)'有一组观测数据(七，X)(i=123,…,10),己知Z芍=20,

1-1

10

2>=10,贝I」()

/=1

A.数据受-2y+1(i=1,2,3,…,10)的平均数为0

B.若变量孤y的经验EI归方程为>2X+心则实数,=-3

C.变量x，y的样本相关系数，越大，表示模型与成对数据x，y的线性相关性越强

D.变量乂丁的决定系数六越大，表示模型与成对数据xy拟合的效果越好

【答案】BD

10M)

【详解】解：因为£茁=20,工>,=10.所以工=2,予=1.

片IM

对于选项A,Xj-2y+l(i=l,23,…,10)的平均数为了-2了+1=2-2+1=1,故选项A错误：

对于选项B,若变量乂丁的经脸回归方程是2=2%+心则&=手-21=1-4=-3,故选项B

正确：

对于选项C,当变量为负相关时，相关性越强，相关系数/•越小(越接近于T),故选

项C错误；

对于选项D,变量”，F的决定系数R:越大，残差平方和越小，则变量匹丁拟合的效果越好,

故选项D正确.

故选：BD.

三、填空题

11.甲乙参加某个力.局三胜的比赛，每局他们获胜的nJ能性相同，最终胜者将获得2000兀

奖金，前两局甲获胜后，因为其他要事而中断了比赛，则甲应噜元奖金才公平.

【答案】1750

【详解】因为该五局三胜的比赛每局两人获胜的可能性相同，

所以在前两局甲获胜后，甲获胜的概率为=甲应得2000x(=1750元.

故答案为：1750.

12.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取，并测

零件的直径尺寸，根据长期生户经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件直径尺寸

«〃?)服从正态分布M1&4),若x落在［20,22］内的零件个数为2718,则可估计所抽取的这

批零件中直径x高于22的个数大约为.(附：若随机变量4服从正态分布

则尸(〃一哪〃+b)=0.6827,尸(〃一2■听〃+2cr)。0.9545,

P(〃-3碘//+3<T)«0.9973.)

【答案】455

【详解】解：由1F态分布N(18.4)可知：“=18.<T=2..•.〃+b=20.〃+2b=22.

P(20WxW22)=.0954当0.6X27=01359,p(A^22)=上。产1=0.02275,

门.径x高于22的个数大约为2718+0.1359x0.02275=455.

故答案为：455

四、解答题

13.某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A8,C的测试，如果通过两个或

三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A8,C每个项目测试的概率都是g.

(1)求甲被录用的概率：

(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的分布列.

【答案】(1)卷⑵分布列见解析

【详解】(1)由题意得甲通过两个项目测试的概率为

通过三个项目测试的概率为c：(：)，；1=，，

所以甲被录用的概率为

(2)由(1)得每个人被录用的概率为三，X的所有可能取值为0,1,2,3,

所以p(x=o)=0T343

二19683,

980

656?

由2y倒正第嗡

8000

P-3)唱)

19683

所以X的分布列为:

X0123

34398028008000

P

196836561656119683

14.为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下:

未发病发病合计

未注射疫苗20XA

注射疫苗30yB

合计5050100

现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为L

⑴求2x2列联表中的数据X,y,A,3的值：

(2)能够有多大把握认为疫苗有效？

2

P(K<K0)0.050.010.0050.001

K。3.8416.6357.87910.828

n(ad-bc:

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(1)丁=10,5=40,x=4O,A=60

(2)彳］.99.9%的把握认为疫苗有效

（1）

设”从所行试验动物中任取一只，取到“注射疫苗''动物”为事件A,由已知得

P（A）=Zi22=2,所以）,=K）,代入可得8=40，x=40,/l=60.

1005

（2）

k2_100（20x10-30x40/=1000000=50g1667>1OR?s

50x50x40x6050x20x603

所以有99.9%的把握认为疫苗有效.

15.5G技术对社会和国家十分重要.从战略地位来看、业界•般将其定义为继蒸汽机革命、

电气革命和计算机革命后的第四次工业革命.为了解行业发展状况，某调研机构统计了某公

司五年时间里在通信5G技术上的研发投入x（亿元〉与收益V（亿元）的数据，结果如下：

研发投入X（亿元）12345

收益）’（亿元）4556646872

（1）利用相关系数〃说明是否可以用线性回归模型拟合V与x的美系（当旧£［。-755时，可以

认为两个变量有很强的线性相美性）:

（2）求V关于*的线性回归方程.

参考数据：g（凹-y「=460,自卜,7）（£-））=66,746«6.78.

W（），T

参考公式：相关系数r=〃f'-----二，线性回归方程§，=菽+4中,

1-11-1

ft_____.____

,28凹-〃》Z(a-H(x-y)

1)=上-------------/-Ia=y-hx,其中尤，y为样本平均值.

MM

【答案】⑴答案见解析（2）3'=6.6X+4I.2

（1）

,...u।r/M-1+2+3+4+5c—45+56+64+68+72

由表中数据可得］=-----------=3,>'=--------------------------=61,

.♦・2（七一行=10,又—汾2=460,Z。一元）（,一用=66,

,期—二午―0.75

冉—咚(H-刃21°a

，y与x两个变昂:高度相关，可以用线性回归模型拟合.

(2)

Ar)r)

由表中数据可得〃=上J----------=—=6.6,

Z(­)2

J=l

则力=y—=61—6.6x3=41.2,

.,.y=6.6x+41.2,

故丫关于x的线性回归方程为»=6.6x+41.2.

【能力提升】

一、单选题

I.为落实疫情防控“动态清零”总方针和“四早”要求，有效应对奥密克戎变异株传播风险，

确保正常生活和生产秩序，某企业决定了每周的周二、周五各做一次抽检核酸检测.已知该

企业组装车间的某小组有6名工人，每次独立、隙机的从中抽取3名工人参加核酸检测.设

该小组在一周内的两次抽检中共有4名不同的工人被抽中，下列结论不正确的是()

A.该小组中的工人甲一周内被选中两次的概率为，

4

B.尸(g=3)v3((=6)

3

C.该小组中的工人甲一周内至少被选中一次的概率为:

4

D.P«=4)=P«=5)

【答案】B

£1.1

【详解】依题意每次抽取，工人甲被抽到的概率P=,所以工人甲•周内被选中两次

C：2

的概率为(；)=；，故A正确;

依题意S的可能取值为3456,则。=3,意味着第一次从6人中选中的3人，第二次仍然

为这3人，则%=3)=3*/，

同理可得：*=6)=条•m=1，所以p(4=3)=0(4=6),故B错误：

。620

对于C,工人甲一周内两次均未被选中的概率为(l-gj=：,

所以工人甲一周内至少被选中一次的概率为=',故C正确：

4=4,意味着第一次先从6人中选中3人，第二次抽到的3人中，含有第一次抽到的3人

中的2人，另外一人从没有抽到的3人中抽取，

故概率为：%=4)春爸吟’

同理可得：%=5)、=百C?.C'备C2而9,

所以尸(g=4)=p(g=5),故D正确.

故选：B.

2.甲、乙两人弈棋，根据以往总共20次的对弈记录，甲取胜10次，乙取胜10次.两人进行

•场五局三胜的比赛，最终胜者赢得200元奖金.第•局、第一局比赛都是甲胜，现在比赛

因意外中止.鉴于公平，奖金应该分给甲()

A.100元B.150元C.175元D.200元

【答案】C

【详解】依题意知：甲乙胜负的概率都是最假设比赛继续，甲只需场中赢得一场即获得

全额奖金，

甲获胜的概率0=1fl[=7,.•.200x7=175(元)

(2)88

故选：C

3.一个笼子里关着7只猫，其中有3只黑猫、4只白猫.到了给猗喂食时间时，把笼子打开一

个小口，使得每次只能钻出1只猫.猫争先恐后地往外钻，如果？只猫都钻出了笼子，事件A

表示“第攵只出笼的猫是黑猫”，k=l,2…7,则下列结论错误的是()

A.尸(44)=3B-P(A+4)=(

C.gD.=(

【答案】B

A1A61

【详解】由题意，可得尸(A)=+=：,

A,7

对于A中，事件A，&表不第1,2只出笼的猫都是黑猫，

A2AsI

则P（A&）=TA=7,所以A正确；

A?7

对于B中，事件A+4表示第I只或第2只出笼的猫是黑猫，

3315

则P（A+A2）=P（A）+P（4