考研数学三（无穷级数）模拟试卷4

考研数学三（无穷级数）模拟试卷4

一、选择题（本题共72题，每题1.0分，共72分。）

0VV-•（n=|.2«,,,）

I、设"则下列级数中肯定收敛的是

Z（T）&

B、-«

和向

C、…

D、一

标准答案：D

由知

nn

却「一〃一而XB■收敛，则Z足收敛,即Z（-D,a；绝对收敛，因此应选（D）

知识H解析：*-1

2、设常数>>0,而级数士收敛，则级数i

A、发散.

B、条件收敛.

C、绝对收敛.

D、收敛性与人有关.

标准答案：C

知识点解析：

・身口[武+由原题设可知£出

I+A"TT22"十人公

■

收敛,又g/士收敛，则原级数绝对收敛-

3、下述各选项正确的是

8098

若£比和都收敛，则Z（L+&・）‘收敛・

A、•-1・■]■一।

若正顶级数£u,发散•则u・2L

B、公”

若正项级数发敢照"・2!・

C、Hn

若级数收敛，且u・储=1,2,…）,则级数E>・也收敛，

D、••1

标准答案：A

由于04（u.+v・）’="；+祀+2”.v・42（«44-14）

■388

由原《s设知和X式部收敛,则2>（山+*）收敛.从而X（6+“）’收敛•

知识点解析：-*I—

博与。•则不级数£泉

33

4、设事级数士<“••1的收敛半径分别为7・的收敛半径为

A、5.

旦

B、

1

C、可

1

D、M

标准答案：A

根据以上分析•需假设㈣|广彳|和!叫|六|均存在,在此假设之下

liml-^-■W，Hm|d=-1

•-•«>Ia^i3|b^i

因此

知识点解析：

以，应选A.

。・+1。•:.。・-1。・1_12•••

5、设以2&2,=则下列命题正确的是

人过电心条件收敛，则枳・与•切，心小

A、若W-«都收敛.

0O2”

B、若2。.绝对收敛，则与2”都收敛.

c、若弓°"条件收敛，则与2?'的敛散性都不定.

ry^g.一户.与q%

D、若W绝对收敛，则……的敛散性都不定.

标准答案：B

k”—由于若Z。•绝对收敛,则Zla・I收敛，从而有»・也收做，则»・和»

知识点解析：-I-I—>-•-

都收敛，故应选B.

8B

①X（“zi+uG收敛，则»收敛.

••I•-I

②若£>・收敛,则收敛.

•mI・■!

③若触0>i,则£“•发散.

s,④若£（&+“）收敛,则都收敛.

6、设有以下命题：www则以上命题中正确的是

A①②

、

B②③

、

c③④

、

D①⑷

、

标准答案：B

知识点解析：

令”.=《一1尸，则=o,从而级数£（“，+”〉收敛,但级数£>.-发

・1・・I・-I

般,所以①不正确.

级数£“一8。是级数£“•去抻前】ooo项所得到的•由级数性质可知，若，收敛•莫iSjm如必收

*-1«-1—>・T

敛，则②正确.

由检比法知若I叫于>1.则级数£“・收敛•故⑶正礼

令0,=1,5——1•则级数显然收敛♦但级数”都发故♦则④不正确，故应选（B）.

••1・一］

发散♦士（—

7、设£W收敛，则下列结论正确的是

一■

收敛•>>，・发敦•

A、-1—,

0.

Z。?.收敛，发散.

BA•-*"-I

ee

Z（a1+aG收敛.

c、­

B

2（ai-M）收敛

D、-»

标准答案：D

知识点解析：

w

级数Z（Q，i―八）的部分和数列为

•a1

S"=（5-Q?）+（aj-a«）+…+（。“|—61）

=Qi—a?+a,—a«+•••+—a：.

显然谈S,也就是级数次（一l）-a.的前2”项和,由级数W（_1）IQ.的收敛性知，极限limS.存在，则

■.I

B

级数X（ai-M）收敛.

,-I

8、若级数2°•收敛，则级数

Xla-I收乳

A、•-I

£（一】）、.收敛.

B、■■1

ga/E收敛.

c、■-I

玄叱卢1收敛

D、

标准答案：D

知识点解析：

令。・=匕芦显然£三匕收敛.

asi-.i-s:发散S-】）k=£+发散一£学中发散

IvFl.一|■,[vfl••IvHvnT1/

«（A）（B）（C）均不正确•故应选（D）.

9、设｛Un｝是数列，则下列命撅正确的是

aoab

若X“・收敛•则2（如1+小・）收敛.

A、・・I—I

8，

若+“?・）收敛•则X小收敛.

B、•TLI

若X”收敛•则X（“g-%・）收敛•

c、••I

告-%）收敛,则收敛•

D、•-Iwl

标准答案：A

知识点解析：根据级数的性质，收敛级数加括号仍收敛，故应选A.

£（一】尸石sir）e绝对收敛•级数Z匚二

10、已知级数w1-n条件收敛，则

D、等<。<2.

标准答案：D

知识点解析：

(―1)"\47sinI=Sisin上■.且当”-*•8时.sin工

X|十if

则级数£；(-D'V^sinA.与级数£自=£」丁同效散.而由火一1r收敛知

»->小•->n-i尸T--)rfT

a-y>1

BPa>-1-

a*•

又由?*二条件收敛知

0<2-<r<l

则】aaV2

故等VaV2,应选(D).

11、设匕力为正项数列，下列选项正确的是

।若a.收敛.

A、

若£(-1)1%收敛，则Q・>af.

B、

,、若£明收效,则存在常数P>1,使limM明存在，

C、frflb

若存在常数/>>】，使存在•则£>・收敛・

D、…->

标准答案：D

Iimn*a,=hm+存在

■•一—1

知识点解析：若存在常数p>l,使献由于an>0,且

£/收敛，财£a・收敛，故应选口.

12、下列级数中发散的是

D、­“

标准答案：c

ymi=y（一1）"+yJ-

知识点解析：WlnnWlnn・・3M由交错级数的莱布尼兹准则知，级

数金FT'而;「发散，故级数WInn发散，选c.

二、填空题（本题共3题，每题1.0分，共3分。）

V

13、某级数一不予1的收敛域是____________

标准答案；［-1，1）.

知识点解析：该事级数的收敛半径为

R=lim=lim

r-*M=如濡…

当工=】时，原级数为£是发敢的.

■-0/%+1

当工・一1时，由交错级数的莱不尼兹准则项级数£（一1）•去亍收敛•则原级数收敛域为

yi（1一2产

14、级数4W的收敛域为.

标准答案：（0,4）.

g....<2...（”+1乂1/

W•hm-----=lim---------------=4

）♦bQL1714

R=C=2

则原幕级数在一2Vx-2V2处收敛，即在0VnV4内收敛.

当工=0时,原级数为*上发般，当“=4时，原级数为土工发散.

知识点解析：£“…”

15、级数点—L的和为

标准答案:2—In3*

1_=2

I_ln32—ln3

知识点解析:

三、解答题（本题共3题，每题1.0分，共79分。）

X。•与£瓦£Q.+瓦）

16、若级数・7­••'均发散，则级数W必发散.

标准答案：“非”.

例如工:发散,£《一*!）也发第

知识点解析：但玄云丁+1）收敛•

17、将函数=7—L+2展成x的幕级数,并指出其收敛区间.

1_]____1______1_

代工）=」一3Z+2=（l-x）（2-x）=1-x-2^x

士=£/一1■小尹

1工41__£.・-0'・・。4

12

=■/（1一^jn~）P-€（—1,1）

标准答案：W

知识点解析：暂无解析

18、讨论级数昌(n+D!

产’的敛散性.

lim咏=lim-%-.（告尸・啥

a.1«（卸+1）（n4*1）!—it+1勿+1

=Hm-----—•（“；]）=^-<1

标准答案：一"+G）・"e则原级数收敛.

知识点解析：暂无解析

19、设级数与第与W均收敛，求证，卒,绝对收敛.

标准答案：由不等式-b2可知，应考虑级数却

知识点解析：

因为|。力,|&)(加+兄)

而三山和Sj比郡收敛•则玄■!■&+阳收敛，由比较判别法知WIa.6.收敛.即fa.6•绝对收敛.

It*1■.j.7G[

f(1)=(*’04X&】jp

20、已知函数I-12-X,若］〈］《2】试计算下列各题：(i)&二JJ(z)er<k(2)

B

-,S

S|=1/(x-2)e<LrcS.=2n)e~*dx(n-23,-)4-2s.

八⑶J”(4)

(I)So=dx+((2一1)『dx«(1-e》

(2)Si=J：/Cr-2)b出=L.〃*T市=e-iSo

(3)S.=J：'〃工一2”)©［亚，二人「，(/(，)<*-,•&=e-1-So

2

』一、-“)S=SS.-Ss0e«-=Se2(e-)"=7

标准合案：ii—•1

知识点解析：暂无解析

21、将函数y=ln(l—x—2x?)展成x的基级数，并指出其收敛区间.

ln(l-x-2y)=ln(l-2x)(14-x)=ln(1+x)4-ln(1-2x)

标准答案3rlg5手+1_…+1尸?+…其收敛域为(一

((

ln(l-2J)=(-2工)-，二袈-…+<-I)**1~2--+…

-4y--+Jn

其收敛域为［一/小

于是，有ln(lr-23)=土[(-1尸?十(-1尸(一尸口

■-I

知识点解析：暂无解析

22、从点P[(l,0)作x轴的垂线，交抛物线y=x2于点QW，1)；再从Q]作这条抛

物线的切线与x轴交于P2.然后乂从P2作x轴的垂线，交抛物线于Q2,依次重复

上述过程得到一系列的点P，Qi;P2,Q2；…；Pn，Qn；…求""undefined

：QR+QA+…+Q・P«+…undefined环环

标准答案：(1)由y=x?得，y,=2x,对于任意a(OVaSl),抛物线y=x?在点(a,a?)处的

切线方程为y-a2=2a(x-a)且该切线与x轴的交点为俘故由西=1可见

西7西7

西=/若=/乂/一：

*■

国=*⑵由于际=(酝):弓尸可见

笈防=£4一存"

知识点解析：暂无解析

23、设有两条抛物线，="'+：和，=(”+】++毋记它们交点的横坐标的绝对值

y»S.

为an⑴求两条抛物线所围成的平面图形的面积Sn；(2)求级数W二的和

标准答案：

由于图形关于V釉时称・则

&=2J："+=-+1)/-占]Ck=2J：[7nT]dx

=±________1

3”(”+1)4(n+1)

=

因此!?T^dn)

从而£兴，叫七意,如[等(一房15)卜母

知识点解析：暂无解析

•尸=______.

24、£2

标准答案：4

SQ)=(£1・)，N(F-----l)，=7T-^V£n(4-)=S(；)=4

知识点解析：解W”7(…)'则\2，

<M»

sin,xcoju-dj,n=0.1.2.…，求》L.

25、设■―，

由『sin"xcosjrclr=|*sin'xdsinr—“：】(sinj)."

t摩r04

有加

■

令S(x)=y3广、则其收敛半径R=1.在(-1.D内有

£"十】

一存八士

于是S(”)=|£^也■-InI1一1|

标准答案:

令”=冬则s(亨卜£占(岑r=-In|l-4

从而

•gL=»[^sin"xcosxdx=ln(2+低)

知识点解析：暂无解析‘…

c

26、已知fn(x)满足fn，(X尸力(x)+xn-g(n为正整数)，且>(D=G求函数项级数

8

Xf-")

W之和.

n，X

标准答案：由原题可知fn'(x)—fn(X)=x-e由一阶线性方程通解公式可知

f.(工)=Ja[»"e-kdx+C]=-(5+C)

由条件。(1)=士，得c=0,故f.Gr)«在

Hn

从而(工)=2"e'W二

•-1nn

•o

记Su)-£互，成收敛域为[-l.D,当工w(—1,1)时，有

•>1n

8

W(工)=Vx-1=1-i-

公】一工

故S(x)■[：色——ln(l—1).

Jo1-f

8

当工■一1时X/.Cr)=-e-"n2

■,1

于是.当一14IV1时・有

8

Z/\(4)*»—e*ln(l—n)

知识点解析：暂无解析

金21的和函数f（X）及其极值.

27、求嘉级数

c、-C1、•产I1（（-1尸1）

/（工）=】+?（-1）・有=】一彳£2——

由于ln(l+工)

1

则-

Z)2ln(14-x,)

标准答案：】十丁令

f（x）=O,得x=0,显然经过x=0点时f（x）由正变负，则f（x）在x=0处取极大值.

知识点解析：暂无解析

JTX1X*

k・'3+・+・I.—-I■・+（—QQ^oo>

28、设级数2X42X4X62X4X6X8的和函数为

s（x）.求：⑴s（x）所满足的一阶微分方程；（n）s（x）的表达式.

标准答案：

（[）S<x）=2X_4+2X：-6+2X4X6X8+…

易见SCO）-0.

S'a）=¥+芯++…信+若+

~X[T+S<X>]

因此SG）是初值问题

+苗,y（0）=0

的献

（D）方程

的通解为

3.J山U自任匕+0--捺一1+Ce4

由初始条件y（0）-0,求得C=1.

故yn—宁+e"-1•因此和函数S（x）=—全+涓—1.

知识点解析：暂无解析

Y,（―-------1）/・

29、求暴级数W2丁】在区间（一1,1）内的和函数S（x）.

标准答案:

设SG"£(去y一】)井,若T与(])■土井

・T・T•«|

则s(x)=s,(x)-s,(x),je(-1.1)

由于务仔

(zSi(]))'"=]:.，工6(—1,1)

因此*SO=[y-p-d/--x4--ln

又由于S,(0)-0

故

0.

S(x)=Si(x)—S(x)={2工"1-x1—x1*

所以Ix16(0,1)

工二0

知识点解析：暂无解析

y(一1厂”小

30、求小级数W的收敛域及和函数s(x).

标准答案：

因为lim3nliml/2七尧踪gr|=/，所以当3Vl即一IVZV】时,

原不级数绝对收敛；当”=士1时，级数为士S焉告^•显然收敛•故原募级数的收敛域为【一】・】工

不(一Df=G(-1)1/

®Mn(2n-l)Yn(2rt-l)

设4品守—7」)

因为/(0)-0,/(0)=0.所以

/(x)=(/*(«)(!/4-/(0).f7f.山-2arctanx

JoJo1十•

/(x)—\f⑺df+/(0)=2jarctan/dx

=2(…n/|：-J：147d/)

=2xarctan-r-ln(14-).x6[-1・1