第三章-中值定理与导数的应用(三峡大学高等数学教案)

第三章中值定理与导数的应用

1、教学目的：

2、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。

3、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函

数最大值和最小值的求法及其简单应用。

4、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近

线，会描绘函数的图形。

5、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

6、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

7、知道方程近似解的二分法及切线性。

教学重点：

1.罗尔定理、拉格朗日中值定理；

2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；

3.函数图形的凹凸性；

4.洛必达法则。

教学难点：

1•罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；

2,极值的判断方法；

3.图形的凹凸性及函数的图形描绘；

4.洛必达法则的灵活运用。

§3.1中值定理

一、罗尔定理

费马引理

设函数在点的的某邻域U（xo）内有定义，并且在即处可导，如果对任意XEUIXO）,有

/（x）g（xo）（或大幻状xo））,

那么/（对）=（）.

罗尔定理如果函数月⑵在闭区间团，加上连续，在开区间（。，份内可导，且有垃那

么在（凡勿内至少在一点〈，使得尸（9=0.

简要证明：

（1）如果/"）是常函数，则/（E）三0,定理的结论显然成立.

（2）如果人工）不是常函数，则/U）在m,份内至少有一个最大值点或最小值点，不妨设有一最大

值点上3〃）.于是

iim/⑶7©

>0,

f'R)=HG)=Hm)⑴一芈)<0,

所以广(X尸0.

二、拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理如果函数/(1)在闭区间[凡句上连续，在开区间(凡3内可导，那么在(凡与

内至少有一点家。〈察使得等式

成立.

拉格朗日中值定理的几何意义：

o-a

定理的证明：引进辅函数

令二八0—坐一，⑷(X—4).

u—Cl

容易验证函数大外适合罗尔定理的条件：叭&)=岫)=0,在r)在闭区间[凡切上连续在开区间3,〃)内

可导，且

b-a

根据罗尔定理，可知在开区间(。,份内至少有一点4，使9'(3=0,即

广©-0.

理b一-a.叽

由此得及

b-a

即型球

定理证毕.

|方)~/(〃)=/，©(6-〃)叫做拉格朗日中值公式.这个公式对于b<a也成立.

拉格朗日中值公式的其它形式：

设尤为区间川内一点，工+—为这区间内的另一点(9>0或ArvO),则在以/+©](a>0)或

[x+A%x](AK0)应用拉格朗日中值公式，得

f(x+/\x)-J[x)=f>(JT+•Ax(()〈火1).

如果记./U)为)，，则上式又可写为

△)寸乂1+必r).AJV(0<^<1).

试与微分”)三广(x)•Ax比较:dy=/<工)•Ax是函数增量△)，的近似表达式，而

尸(,叶儿r)•■是函数增量Ay的精确表达式.

作为拉格朗日中值定理的应用，我们证明如下定理：

定理如果函数«r)在区间/上的导数恒为零，那么JU)在区间/上是一个常数.

证在区间/上任取两点.5也但今2),应用拉格朗日中值定理，就得

儿¥2)33月'©。2-笛)(的<。<X2).

由假定,广©=0,所以於2)次⑴=0,即

/2月⑺)•

因为打X2是/上任意两点，所以上面的等式表明:/U)在/上的函数值总是相等的，这就是说,共幻

在区间/上是一个常数.

例.证明当工>0时，-^―<ln(l+x)<x.

1+x

证设/U)=ln(l+X),显然式X)在区间[0,用上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有

段)/())才©(A()),()宙4。

由丁人0)=0,/V)=-L,因此上式即为

1I人

岫为=病,

又由0<。<¥,有

7^—<ln(l+x)<x.

l+x

三、柯西中值定理

设曲线弧C由参数方程

X=F(x)

(a<x<b)

[Y=fM

表示，其中工为参数.如果曲线。上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么在曲线C上必

有一点mJ,使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB,曲线。上点史的切线的斜

率为

“JC)

dXF'8

弦AB的斜率为

/(〃)一/(〃)

F(b)-F(ci)

于是

/(〃)一/(一二/'©)

F(b)-F[d}/©・

柯西中值定理如果函数7U)及“⑶在闭区间脚，切上连续，在开区间(。，份内可导，且尸，㈤

在3,3内的每一点处均不为零，那么在(。,句内至少有一点V，使等式

/(份-/3)二-C)

F(b)-F(a『F3

成立.

显然，如果取F(x)=x,那么/(与-/3)=ZX«(X)=1,因而柯西中值公式就可以写成：

这样就变成了拉格朗日中值公式了.

作业：P134:2；7；10；11(2)；12

§3..洛必达法则

一、当Xf。或Xf8时的未定式9型和艺型的情形

000

定理1设

（1）当时，函数及都趋于零；

（2）在点的某去心领域内，及都存在且；

（3）存在（或无穷大），则

F(x)I。F'(x)

求，；

z_u.x，—3x+2

例2求hm———；-----

ex_厂7+]

x-sinx

例3求lim

.v->0x3

定理2设

(1)当时,函数及都趋于零；

(2)当时,及都存在且：

（3）存在（或无穷大），则

Hm犯;.四

F(x)foF'(x)

71

---arctanx

例4求lim-----------

.V->-KO1

X

Inx

例5求配F，”0

例6求lim—〃为正整数

X>ICO*•1

z4.tanx-x

例7求lun------

1°xtanx

二、0-8,8-8,0°,1=8°型的未定式

这几种类型都可以化为未定式。型和巴型的情形。

000

1.型

例8.求

2.型

例9.求

3.，，型

例例求・・例11.求…例12.求

例13.求

作业：P138:l(l)(2)(4)(5)(7)(9)(11)(13)(14)(15)

§3..泰勒公式

对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于用多

项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算，便能求出它的函数值，因此我

们经常用多项式来近似表达函数.

在微分的应用中已经知道，当肉很小时，有如下的近似等式：

dl+x,ln(l+x)

这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子.但是这种近似表达式还存在着不足之处：首先是

精确度不高，这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算时，不能具体

估算出误差大小.因此，对于精确度要求较高且需要估计误差时候，就必须用高次多项式来近似

表达函数，同时给HI误差公式.

设函数7U)在含有X0的开区间内具有直到(〃+1)阶导数，现在我们希望做的是：找出一个关于

(X-AO)的〃次多项式

2

PnM=a0+。1U-X0)+a2(x-xo)+--•+(x-xo)”

来近似表达/5),要求〃〃(x)与yu)之差是比(X-Xo)〃高阶的无穷小，并给出误差|/(x)-P“(x)|的具体

表达式.

我们自然希望p〃⑴与凡T)在X0的各阶导数(直到5+1)阶导数湘等，这样就有

pn(x)=ao+a1(x-%0)+a2(x-xo)2+--•+tz〃(x-xo)”,

pn(x)=a\+2a2a-沏)+•••+〃〃n(x-XQ尸,

nn2

pn(x)=2a2+32〃3(x-xo)+•••+〃(n-\)an(x-xo)~,

n3

〃/"(©=3!。3+432Q4(XTO)+-••+//(n-\)(n-2)an(x-xo)~,

p,i(n\x)=nla„.

于是

Pn(xo)=ao'(xo)=〃i"(xo)=2!a2,p"'"(x)=3!a3,•一，p“(")(％)=〃！an.

按要求有

,,,,,

Axd)=pn(xo)=ao9f(XQ)=pn\xd)=aitf(xo)=pn(XQ)=2!a2J"'(xo)=pJ”(加=33,

(,,)

/Uo)=p〃5)(X0)="!an.

从而有

ao=y（.^o）,aiW（xo）,W=』/"（%），,一，%=J尸g），，〃=』八"（%）・

%='/伙）（%）（左=0,1,2,--,n）.

八♦

于是就有

P〃（x）=7Uo）+r（xo）（x-xo）+（x-xo）2+•一+」/（〃）（与）（x-xo）".

2!IT.

泰勒中值定理如果函数/U）在含有xo的某个开区间3,b）内具有直到（〃+l）的阶导数，则当X

在3,力）内时，段）可以表示为（x-xo）的一个〃次多项式与一f、余项R〃（x）之和：

/（*）=/（戈0）+/'（为）（了一“+2/”（X0）（工一工0）2+…+」"）（*0）。一“〃+凡（工）

2!ni

其中此（幻=岑上华（工一而）〃+1（4介于的与x之间）.

（〃+1）!

这里

多项式

〃〃0）=/（$）+/'（毛）（%—/）+3/"（%）（%—%）2+・一+1/（〃）。0）。一天）〃・

乙.fL»

称为函数7U）按a-xo）的鬲展开的〃次近似多项式，公式

/'。）=/（.）+/'（文0）（-%）+1/"（式0）。-与）2+…+J/（〃k）（X-与）"+RQ），

2!n\

称为./U）按（XTO）的界展开的〃阶泰勒公式，而我“。）的表达式

其中尺仆）=，'飞）—〃+1（《介于X与沏之间）.

（〃十1人

称为拉格朗日型余项.

当〃=0时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式：

fix）=fixo）+f^^）（X-Xo）（斑沏与X之间）.

因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.

如果对于某个固定的凡当X在区间3,。）内变动时，|/。中）。）|总不超过一个常数也则有估计

式：

阳⑸=1播（…）"岛般X"

R

及lim—.

x-＞巧（X—与）"

可见，妆Xfxo时，误差IR〃（幻|是比Qro）〃高阶的无穷小，即

R〃（X）=O［（XTO）"L

在不需要余项的精确表达式时,〃阶泰勒公式也可写成

+2Mf

/W=/Uo)/Vo)U--Vo)+^/7ro)(A--.ro)+.••+4/()(.r0)(.r-.r0)«+d(.r-.r0),].

4・f»•

当X0=0时的泰勒公式称为麦克劳林公式，就是

.f（x）=/（o）+/（。»+华广+…+2^21中+此⑴,

或八*八。）十八。）、+普匕2+...+/与+咐“）,

其中RQ）

(/?+!)!

由此得近似公式:

/(x)«/(0)+/W+^-^x2+…+1^21炉.

2!n：

误差估计式变为:

因⑴气落产叫

例1.写出函数f(x)(ex的n阶麦克劳林公式(

f(nx

解：因为fix)=f\x)=f\x)=...=f\x)=e9

所以火0)7'(0月＞〃(0)=•••=「"(0)=1,

于是a=l+x+2/+・..+4#+£\3向(0＜欣1),

2!”(〃+1)!

并有2**1+工+工工2+…+工人”

2!〃！

这时所产性的误差为

阴\x\n+l

("+D!

当x=l时，可得e的近似式:---F—-.

2!tv.

其误差为\Rn\<

(〃+1)!(〃+1)!

例2.求f（x）（sinx的n阶麦克劳林公式（

解：因为

fr(x)=cosxJ"(x)=-sinxJ'"(x)=-cosx,

jf(4)(x)=sinx,­••,/＜n)(x)=sin(x+w~),

f(0)=0,r(0)=1，尸(0)=0，/〃(0)=-lJ(4)(o)=o,…,

35(一〃

于是sinx=x-x+-^-xH—Fl)iX2〃l+&〃(x).

J.(2/n-l)!

当m（1.2.3时（有近似公式sinx（x（

作业：P145:l；4；5

§3.4函数单调性与曲线的凹凸性

一、函数单调性的判定法

如果函数户次工）在m,切上单调增加（单调减少），那么它的图形是一条沿x轴正向上升（下

降）的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）,即（%）«））.由

此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.

反过来（能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？

定理1（函数单调性的判定法）设函数）讨的在几句上连续，在（凡〃）内可导.

⑴如果在（出力内尸（幻〉0,那么函数）力外在m,以上单调增加；

（2）如果在（凡与内尸。）<0,那么函数在&以上单调减少.

证明只证（1）.在值以上任取两点由，也3<丫2）,应用拉格朗日中值定理，得到

,收2）二«汨）=/'©3-即）（X|<&<X2）.

由于在上式中，X2-汨〉0,因此，如果在（凡与内导数/〈X）保持正号，即/'。）>0,那么也有f

<?>0.于是

於2）如1）=/'©。2-即）>0,

即）<fl.X2）,

这函数产孔T）在出,句上单调增加.

注：判定法中的闭区间可换成其他各种区间.

例1判定函数.y=x-sinx在［0,2乃］上的单调性.

解因为在（0,24）内

y=l-cosx>0,

所以由判定法可知函数）E-COSX在。2川上的单调增加.

例2讨论函数y（ex（x（l的单调性（（没指明在什么区间怎么办？）

解yf=ex-［.

函数产e'-x-l的定义域为（-8,+8）.因为在（-8,0）内）/<0,所以函数y=ev-x-l在（-8,0］上单调

减少；因为在（0,+8）内了〉0,所以函数尸e'-x-l在［0,+oc）上单调增加.

例3.讨论函数），二疗的单调性.

解：函数的定义域为（-8,+8）.

当时，函数的导数为

），'=品（R0）,函数在4。处不可导.

当时，函数的导数不存在.

因为*:0时,）/<（）,所以函数在（-00,0］上单调减少；

因为尤>0时,y>0,所以函数在［0,+8）上单调增加.

如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方

程r（x）=O的根及导数不存在的点来划分函数儿0的定义区间，就能保证广⑴在各个部分区间内保

持固定的符号，因而函数«r）在每个部分区间上单调.

例4.确定函数於）=2心9¥+12^-3的单调区间.

解这个函数的定义域为：（-8,+8）.

函数的导数为:f（（x）（6x2（18x（12（6（x（l）（x（2）（导数为零的点有两个（xl（l.x2（2（

列表分析：

(-8,1]”,2][2,+8)

尸（幻+—+

於）//

函数K0在区间（-8,1］和⑵+8）内单调增加，在区间［1,2］上单调减少.

例5.讨论函数）:F的单调性.

解函数的定义域为：（-8,+8）.

函数的导数为:y'=3x2.除当x=0时,y'=0外，在其余各点处均有y>0.因此函数

户一在区间（-，0］及［0,y）内都是单调增加的.从而在整个定义域：（-8,+8）内是单调增加的.

在40处曲线有一水平切线.

一般地，如果广⑴在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处均为正（或负）时，那么/W

在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

例6.证明：当Q1时，26>3」.

x

证明：令/（力=2石-（3-工），则

x

八X）』一」二」（工4-1）.

VXX2X2

因为当Q1时,广。）>0,因此ZU）在［1,+8）上7U）单调增加，从而当Q1时,yu）*i）.

由于用）=o,故段）Mi）=o,即

2>/7-(3」)>0,

x

也就是24>3-工。>1).

x

二、曲线的凹凸与拐点

定义设7U）在区间/上连续，如果对/上任意两点知,X2,恒有

.（一十」）J（M）+/（£）、

那么称人幻在/上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有

/（一+不）二/（否）+/（々）

那么称/U）在/上的图形是（向上）凸的（或凸弧）.

定义（设函数y（f（x）在区间I上连续（如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方,

则称该曲线在区间I上是凹的：如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在

区间I上是凸的（

凹凸性的判定：

定理设yu）在m,加上连续，在（凡坊内具有一阶和二阶导数，那么

（1）若在（凡份内/〃。）＞0,贝］人］）在m,切上的图形是凹的；

（2）若在（凡份内/〃（幻V0,则/（X）在［凡切上的图形是凸的.

简要证明只证（1）.设国,々即,126［«,且汨＜%2,记M=f2

由拉格朗日中值公式，得

/（司）-/（%）=八刍）因-%）=/'&）‘/，为喈“。,

乙

，L

/(-V2)-/U0)=/(^2)(^-^))=r^2)^5^，而<42<々，

乙

两式相加并应用拉格朗日中值公式得

/(8)+/(电)一2.〃.)="砥2)［八/)］^^

即/("/小)〉外等),所以共幻在山,句上的图形是凹的.

拐点：连续曲线)勺⑴上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.

确定曲线产次幻的凹凸区间和拐点的步骤：

(1)确定函数片/2的定义域；

(2)求出在二阶导数/〃(.0;

⑶求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点；

(4)判断或列表判断，确定出曲线凹凸区间和拐点；

注：根据具体情况(1)(3)步有时省略.

例1.判断曲线y=lnx的凹凸性.

解：2,丈=-』.

xX1

因为在函数户Inx的定义域。+O0)内，)，〃<0,所以rtt线)=lnx是凸的.

例2.判断曲线的凹凸性.

解：y=3x2,yn=6x.

由y"=0,得入■=€.

因为当x<0时，尸<0,所以曲线在(-8,0］内为凸的；

因为当Q0时,)，〃>0,所以曲线在［0,+oc)内为凹的.

例3.求曲线y=lx\3x2-lx+14的拐点.

解：产6/+64-12,

yH=12x+6=12(x+g).

令y〃=0,得x=-g.

因为当工<-］时,y”<();当工时,)〃〉(),所以点(-4，2。［)是曲线的拐点.

22z2

例4.求曲线广314—4/+1的拐点及凹、凸的区间.

解:(1)函数1y=3/_4上3+1的定义域为(-8,+00)；

(2)y=12r3-12r2,/=36x2-24.r=36%(^-1)；

(3)解方程尸=0,得2=0,^=|;

(4)列表判断：

(-8,0)0(0,2/3)2/3(2/3,+00)

广⑴+0—0+

U1C11/27U

在区间(70,0］和⑵3,+8)上曲线是凹的,在区间［0,2/3］上曲线是凸的.点(0,1)和(2/3,11/27)

是曲线的拐点.

例5问曲线y(x4是否有拐点？

当x工0时,在区间(-8,+oo)内曲线是凹的，因此曲线无拐点.

例6.求曲线y=我的拐点.

解(1)函数的定义域为(-应+8)；

⑵户册'作一加

(3)无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为x=0;

(4)判断：当*0当，尸>0;当Q0时,〉，〃<0.因此点(0,0)曲线的拐点.

作业:P152:3(l)(3)(5)；5(1)(2)(4)；

8(1)(3)；9(1)(3)；12

§3.5函数的极值与最大值最小值

一、函数的极值及其求法

极值的定义：

定义设函数yu)在区间(〃,。)内有定义,A-OG(«,b).如果在X0的某一去心邻域内有"t)〈/Uo),

则称yUo)是函数,/u)的一个极大值；如果在xo的某一去心邻域内有人人少次加)，则称人刖)是函数«K)

的一个极小值.

设函数7U)在点劭的某邻域uao)内有定义，如果在去心邻域U(xo)内有人幻勺*0)(或贝x)»Uo)),

则称贝劭)是函数兀r)的一个极大值(或极小值).

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点.

函数的极大值和极小值概念是局部性的.如果«ro)是函数./U)的一个极大值，那只是就X。附

近的一个局部范围来说,yUo)是凡丫)的一个最大值；如果就的整个定义域来说,«ro)不一定是最

大值.关于极小值也类似.

极值与水平切线的关系：在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的.但曲线上有水平切线

的地方，函数不一定取得极值.

定理1(必要条件)设函数/U)在点刈处可导，且在双处取得极值，那么这函数在为处的导

数为零，即((必)=o.

证为确定起见，假定人如)是极大值(极小值的情形可类似地证明).根据极大值的定义，在

xo的某个去心邻域内，对于任何点均成立.于是

当x＜xo时

/（X）―/（珀.0,

因此尸（m=lim/（*）_/（/）“；

xfq-X-XQ

当犬＞X0时

人力―-＜0,

工-与

因此八而）=lim/W~/（Ab）＜0;

XT%*X—天

从而得到f'（.xo）=0.

驻点：使导数为零的点（即方程/㈤=0的实根）叫函数J3）的驻点.定理1就是说：可导函数

./U）的极值点必定是函数的驻点.但的过来，函数yu）的驻点却不一定是极值点.

考察函数/3）才在户o处的情况.

定理2（第一种充分条件）设函数几Y）在点X0的一个邻或内连续，在X0的左右邻域内可导.

（1）如果在即的某一左邻域内尸（x）＞0,在X0的某一右邻域内尸（x）＜0,那么函数J&）在旧处取

得极大值；

（2）如果在沏的某一左邻域内尸（此＜0,在的的某一右邻域内/（x）＞0,那么函数./*）在刖处取

得极小值；

（3）如果在刈的某一邻域内尸⑴不改变符号，那么函数人x）在的处没有极值.

定理2，（第一种充分条件）设函数#x）在含xo的区间（凡与内连续，在（。,山）及（xo,协内可导.

（1）如果在（公沏）内尸（x）＞o,在（电切内尸⑶＜0,那么函数於）在沏处取得极大值；

（2）如果在（&X0）内/'（x）＜0,在（向,与内广。）＞0,那么函数危）在沏处取得极小值；

（3）如果在（劣出）及（xo,份内（⑴的符号相同，那么函数人为在沏处没有极值.

定理2”（第一充分条件）设函数«r）在xo连续，且在刈的某去心邻域（xo-GXOKXM,沏+份内可导

（1）如果在。0-5,xo）内广（此＞0,在（祀,出+"内/（x）＜0,那么函数«r）在配处取得极大值；

（2）如果在（.-四加内广⑶＜0,在（出,配+"内尸（x）〉0,那么函数启）在配处取得极小值；

（3）如果在。。-4配）及（网,汽+力内广⑴的符号相同，那么函数人幻在的处没有极值.

定理2也可简单地这样说：当K在其的邻近渐增地经过刈时，如果/Xr）的符号由负变正，那

么/㈤在为处取得极大值；如果/，（幻的符号由正变负，那么人工）在刈处取得极小值；如果/Xr）的

符号并不改变，那么4r）在用处没有极值（注：定理的叙述与教材有所不同）.

确定极值点和极值的步骤：

（1）求出导数尸㈤;

（2）求出,/U）的全部驻点和不可导点；

（3）列表判断（考察/〈X）的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况，以便确定该点是否

是极值点，如果是极值点，还要按定理.2确定对应的函数值是极大值还是极小值);

(4)确定出函数的所有极值点和极值.

例1求函数1(x)=(x—4田(工+1)2的极值.

解(1次¥)在(-8,+0O)内连续，除4-1外处处可导，且

八'A箝

(2)令广(x)=(),得驻点为犬无)的不可导点;

⑶列表判断

Xe-i)-i(-1,1)1(1,48)

rw+不可导—0+

於)/0—3^4/

(4)极大值为於1)=0,极小值为了⑴=-3卿.

定理3(第二种充分条件)设函数/U)在点刈处具有二阶导数且尸(出)=(),

广(而。0,那么

(1)当/〃(xo)<()时，函数/U)在向处取得极大值；

(1)当广5))>。时，函数仆)在xo处取得极小值；

证明在情形(1),由于/〃(即)<0,按二阶导数的定义有

/(7))=hm/-Ja<0.

IX0X一天)

根据函数极限的局部保号性，当X在X。的足够小的去心邻域内时，

――)<0

但广(的)=0,所以上式即

Jo.

从而知道，对于这去心邻域内的X来说与XTO符号相反.因此当XT0<0即X加时,广(幻〉0；

当A-Xo>O即X>Xo时J'(x)<0.根据定理2,於)在点Xo处取得极大值.

类似地可以证明情形(2).

定理3表明，如果函数/U)在驻点X。处的二导数/"(沏)工0,那么该点X。一定是极值点，并

且可以按二阶导数/“(X0)的符来判定人的)是极大值还是极小值.但如果尸'。0)=。，定埋3就不能应

用.

讨论(函数f(x)((x4(g(x)(x3在点x(0是否有极值？

提示:广(幻=4吐/(0)=0；/〃(犬)=12片,尸(0)=0.但当工<0时/(1)<0,当x>0时」(x)>0,所以购

为极小值.

g，a)=3f,g'(0)=0;g〃(x)=6x,g〃(0)=0.但g(0)不是极值.

例2求函数1)3+1的极值.

解(1了解=6。寸一1)2.

(2)令广。)=0,求得驻点X|=-1,X2=O,x3=l.

(3片(幻=6(-1).

(4)因广(0)=6>(),所以/(用在x=0处取得极小值，极小值为/(())=0.

(5)因/〃(-1)才〃(1)=0,用定理3无法判别.因为在-1的左右邻域内广(x)<0,所以«r)在-1处

没有极值；同理,/W在1处也没有极值.

二、最大值最小值问题

在工农业生产、工程技术及科学实验中，常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使

“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题，这类问题在数学上有时可归结为

求某一函数(通常称为目标函数)的最大值或最小值问题.

极值与最值的关系：

设函数在闭区间［凡加上连续，则函数的最大值和最小值一定存在.函数的最大值和最小

值有可能在区间的端点取得，如果最大值不在区间的端点取得，则必在开区间3,。)内取得，在这

种情况下，最大值一定是函数的极大值.因此，函数在闭区间口，力上的最大值一定是函数的所有

极大值和函数在区间端点的函数值中最大者.同理，函数在闭区间〃回上的最小值一定是函数

的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者.

最大值和最小值的求法：

设人幻在3,公内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为内,心,•…，招，则比较

加),加1),…，府〃),/(。)

的大小，其中最大的便是函数犬外在&句上的最大值，最小的便是函数yu)在以以上的最小值.

例3求函数於)=*-3x+2|在［-3,4］上的最大值与最小值.

解/⑺一j_x2+3x_2AG(1,2)'

竹、j2x-3x£(-3,l)u(2,4)

JW-l-2r+3—1,2)

在(-3,4)内,人工)的驻点为工=/；不可导点为ml和x=2.

由于4-3)=2(),川)=()"§)=：,<2)=()/4)=6,比较可得人幻在x=-3处取得它在［-3,4］上的最

大值20,在x=\和x=2处取它在［-3,4］上的最小值0.

例4工厂铁路线上AB段的距离为100km(工厂C距A处为20km(AC垂直于AB(为了运

输需要(要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路(己知铁路每公里货运的运费与公路上每

公里货运的运费之比3:5(为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省(问D点应选在何处？

100km

AB

D

20km

解设AZXr(km),则DB=iOO-x,

CD=V202+x2=J400+N.

设从8点到C点需要的总运费为y,那么

y=5kCD+3kDB(k是某个正数)，

即尸5W4()()+/+3%(100-x)(0<r<100).

现在，问题就归结为:x在［0,100］内取何值时目标函数y的值最小.

先求)，对x的导数：

yf=k(-=j£_-3).CQ=/400+/

-V400+X2

解方程y=0,得415(km).

由于扎上40伙，儿75=380攵,)，|000=5004+城，其中以义曰5二380攵为最小，因此当

AD*15km时，总运费为最省.

注意：7W在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一个驻点xo,并且这个驻点沏是

函数«r)的极值点，那么，当儿吩是极大值时,兀卬)就是八方在该区间上的最大值；当凡为)是极小值

时,犬刈)就是«¥)在该区间上的最小值.

应当指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数/&)确有最大值或最小值，而

且一定在定义区间内部取得.这时如果,“幻在定义区间内部只有一个驻点X0,那么不必讨论./Uo)

是否是极值，就可以断定;Uo)是最大值或最小值.

例5把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁.问矩形截面的高h和宽b应如何选择才

d

b

能使梁的抗弯截面模量卬(卬=枭层)最大？

0

解〃与〃有下面的关系：

h2=d2-b2,

因而W=1^2_/?2)(04<d).

6

这样，W就是自变量b的函数,b的变化范围是(0,d).

现在(问题化为(b等于多少时目标函数W取最大值？为此(求W对b的导数(

wTw.w).

6

解方程W，=0得驻点b=gd.

由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在(()，①内部取得；现在，函数卬伙加)在

O

(0,d)内只有一个驻点，所以当b=@时，W的值最大.这时，

/72=J2_Z?2=J2_lj2=2j2

33

即h=gd.

d:h:b=>/3:>/2:\.

解：把W表示成〃的函数：

W=^bh2(Ocbvd).

66

由^=1(6/2-3/?2)=0,得驻点b=^d.

o

由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在(0,内部取得；现在函数W在(0：d)内只有一

个驻点〃二行k所以当时，抗弯截而模量w最大，这时力=8/.

作业：P162:l(1)(3)(5)(7)；4(1)(2)；10；13

§3.6函数图形的描绘

描绘函数图形的一般步骤：

(1)确定函数的定义域，并求函数的一阶和二阶导数；

(2)求出一阶、二阶导数为零的点，求出一阶、二阶导数不存在的点;

(3)列表分析，确定曲线的单调性和凹凸性；

(4)确定曲线的渐近性；

(5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它点;

(6)联结这些点画出函数的图形.

例1.画出函数产的图形

解：(1)函数的定义域为(-吗+8),

(2)/,(X)=3X2-2X-1=(3X+1)(x-1),尸(x)=6x-2=2(3a1).

-。)=0的根为A-1/3,1;ff,(x)=O的根为41/3.

(3)列表分析：

X(-oo,-l/3i-1/3(-1/3,1/3)1/3(1/3,1)1(1,+8)

/(X)十0—一一0+

广⑴———0十++

於)C/极大拐点极小

(4)当X—>+8时,yf+O0；当Xf-8时,y—-co.

(5)计算特殊点:火-1/3)=32/27,«l/3)=16/27,yu)=0,«0)=1;4-1)=0,«3⑵=5/8.

(6)描点联线画出图形：

解:(1)函数为偶函数，定义域为(-00,+8),图形关于y轴对称.

(2)/")=—备CT",7㈤=一4一3寸.

yJZJC

令:(X)=0,得40;令/〃(工)=0,得4-1和41.

(3洌表:

XS,T)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+8)

/⑴++0——

rw+0——0+

11

1

」2TleX\

//4271兀e

CCU

极大值

拐点拐点

(4)曲线有水平渐近线尸0.

⑸先作出区间(0,+00)内的图形，然后利用对称性作出区间(-8,0)内的图形.

例3.作函数)=1+苦7的图形.

(x+3)2

解:⑴函数的定义域为(-8,-3)5-3,+8).

1--VI1人"T"

令广㈤=0得x=3,令广(x)=0得x=6.

⑶列表分析：

X(-8,-3)(-3,3)3(3,6)6(6,+8)

广⑴一+0—一一

广©•)————0+

JW\n/C4极大\n11/3拐点Xu

(4)x=-3是曲线的铅直渐近线，尸1是曲线的水平渐近线.

(5)计算特殊点的函数值:负0)=1,次-1)=-8,«-9)=-8,火-15)=-11/4.

(6)作图.

作业：P169:l；2

§3.7曲率

一、弧微分

设函数应丫)在区间m,份内具有连续导数.在曲线)，=/u)上取固定点Mo。。,〉，。)作为度量弧长的

基点，并规定依x增大的方向作为曲线的正向.对曲线上任一点M(x,y),规定有向弧段的

值s(简称为弧s)如下:s的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的正向一

致时s>(),相反时s〈0.显然，弧是x的函数:s=s(x),而且s(x)是x的单调增加函数.下面

来求s(x)的导数及微分.