考研数学二（解答题）模拟试卷291

考研数学二(解答题)模拟试卷291

一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

L

1、(1)证明方程xn+x11-%…+X=l(n为大于1的整数)在区间(2,1)内有且仅有一个

1・

实根：(2)记上题中的实根为Xn，证明“Hxn存在，并求此极限。□

标准答案：(1)根据题意，令f(X)=xn+xn/+...+x—1,则又

邦-(打］

4扑(H<。。

1^2

结合零点定理可得f(x)=xn+xn-

7在(了,)内至少存在一个零点,即方程xn+x，4…+x=l在区间(./)

(-L1)

内至少有一个实根。又因为f(x)=xn+xn"+…+x—1在I2'/上是单调的，可知

(.LI)

f(X)=xn+xn/+…+x—1在12',内最多只有一个零点。综上所述，方程

工…十x=l在区间,2I内有且仅有一个实根。(2)由题设f(xn)=0,可知xJ+X/

1

+...+xn-1=0,进而有Xn+j+l+xn+J+o+…+Xn+1-1=0,所以

Xn+J+Xn+J+U…+Xn+|+1-1<0,比较上面两个式子可知Xn+|<Xn，故｛x1】｝单调

1,

~Z~<Xn<1

递减。又由(1)知2,也即｛Xn｝是有界的。则由单调有界收敛定理可知

limx_=a

｛xQ收敛，假设—，可知aVx2Vxi=1。当n—>oo时，有

lim/*(x)=lim-----1=-----1=0,

"―•n«―•1-1-a

Fl解得

。即lim4"=

L舄1・L□

知识点解析：暂无解析

■1-11-

x\y

2、已知矩阵A=「3-35」有3个线性无关的特征向量，入=2是A的2重特征

值.试求可逆矩阵P,使P“AP成为对角矩阵.

标准答案：由r(2E-A)=l,=>x=2,y=-2；A的特征值为2,2,6.P二口，P

1AP=.

知识点解析：暂无解析

3^设z=z(x,y)是由方程x?+y2—z=(p(x+y+z)所确定的函数，其中(p具有二阶导数

“(“)二—1传-§)，求白

且胡,一1。记8"祇设对任意的x和y,有

X-UV,

(亚『+=4

'a/⑻用变量代换V=将f(x,y)变换成g(u,v),试求满足

噌)1噜)+V

的常数a和b。

标准答案：

由题意g(婕泮)=/(叫/(7-J)「

翁田+"噂="*，

因此，有

。(剽八僵)

222222

=a[v(J；)+u(/；)+r(/；)-2uvf\f2]

=(av2-bu2)(/)2+(au2-bv1)(/i)*+2uv(a+b)f\f\

.2工2

利用(/；)2+(/；尸=4,即(/；尸=4-(/；)2得

(a+6)(J_/)(/;尸+2(Q+6)坷-W=u2+v

由此得a+6=0,4a=1,-46=1

TV

故

知识点解析：暂无解析

(D)4叫亚；

JQ1+sinx+C08X

(IV)JarctanJx-Idx.

标准答案：(I)这是一个含根式的积分，首先应该通过变量替换去掉根

式.

令八-e2*=，，则x=!】n(1-t2),dx=一二、水.于是

2I-r

f-e"d"=「六T*=亨=「出=亨一。“产4手=亨一稀(2+3).

JoJo1-r2Jo1-r221-lo2

t=tan*,则x=2arctanf,»inx=—生j,cosz=2d，

77.故

(口)万能代换.令

1

2ch_r2td1.

1♦t2=Jo(I+c)(l+t2)1

(皿)由于标初=厮蒜=1C0M1标'，故被积函数为分段函数，其分

TT

界点为2'于是

J-Jsinx-sin3xdx=Jcosxv/sinxdx-J,cosxv/sinxdx=/sin。4

3

(H)作器函数替换后再分部积分，则有

=(i2arctan-T)-[r2；-----.........--------!dt

।Jii♦a-1)2yr^r

=舁-S：岩%=群-G+7=)

=与宣-[£.1)于+/r-1jL=-yw-273.

知识点解析:暂无解析

5、设f(x)在［1,2］上连续，在(1,2)内可导，证明：存在氏(1,2),使得

次化尸f©=f(2)-2f⑴.

力'("一/Cr)/(2)—2/(1)

标准答案：由x「(x)・f(x尸f(2)・2f(l)得/三=0.从而

r/(x)+/(2)-2/(1)Y—

Zx=0,辅助函数为(p(x尸x令(p(x尸

工则(p(x)在［1,2］上连续,在(1,2)内可导，且(p(l尸(p(2)=f(2)-

f(l),由罗尔定理,存在眄1,2),使得中熊)=0,而6(x)=

工/'(外一〃了)一/(2)+2/(1)

/，故匕熊尸f(2)-2f(l).

知识点解析：暂无解析

6、若函数f(x)在(0,+8)上有定义，在x=l点处可导，且对于任意的正数a,b总

/⑴

有f(ab)=f(a)+f(b),证明：f(x)在(0,+oo)上处处可导,且P(x)=x.

标准答案：令a=b=l,由于f(ab)=f(a)+f(b),则f(l)=0.于是

,八1+牛)一八1)=/⑴,

BPUm=/(I).

i“对于任意的正数x,在f(ab尸f(a)+f(b)中，取

6=］+

a=x,ab=x+Ax,也就是取工'于是

.f*=limJ(上和士

AXAr-^>

/⑴+/(】+争一八力..41+T)1_£(1)

=lim-----------------：------------------=hm---------------•一=!----.

ArTAXAr-0AXXX

z(x)=3"

这就证明了f(x)在(0,+功上处处可导，且有工

知识点解析：暂无解析

1

7、yi+x+八一工+42

标准答案:

[尸…~\——•--dx

f/TTT+ynrr-氏iriJ.ifaJ42fi.

J2/r^7r2JyrT772Jyr+T2JyiTTp-

fdd-x),fdd+x)V2f1」n——n——72

=一厂■"+—:""——_.ar=vl4-x一八一工——arcsinx+C.

j2ypz72yTT72JJ[-F2

知识点解析：暂无解析

TTTT

设向量组a]=(a,0,10),a2=(-2,1,5),a3=(-1,1,4),0=(1,b,c),

试问：当a,b,c满足什么条件时，回答下列问题：

8、B可由a[,a2,ct3线性表出,且表示唯一；

标准答案：考虑线性方程组k]ai+k2a2+k3(X3=0,(1)记其系数矩阵A=(ai,a2,a3)o

对该线性方程组的增广矩阵作初等行变换,即

-2-1r-a-101+61-1010c-46'

(A,fl)=0b01101Ib

1054-10I0c-46-1-a+1000I+c—3b-

当当一10时,r(A)=r(A,a=3,此时方程组(1)有唯一解,。可由ai,a2,as唯一地线

性表出。

知识点解析：暂无解析

9、。不可由ai,a2,ct3线性表出;

1010c-46-

(A1)T011b

标准答案：当a=-10,且"3b—1时L000+c-36J可知

r(A)A(A,p),此时方程组(1)无解,。不可由ai,a2,a3线性表出。

知识点解析：暂无解析

10、p可由ai,a2,线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。

1010-1-

(A/)T011b,

标准答案：当@二一10,且C=3b—1时，Lo000」可知

r(A)=r(A,P)=2,此时方程组⑴有无穷多解，其全部解为

&=I…b-其中I为任意常数。…,

100可由ai,a2,a3线性表出，但

表示不唯一，其一般表达式为

P=二噂工।+及：+(6-1)6,其中/为任意常数。

知识点解析：暂无解析

F（z+三，y+三）=0M李+y孕=z-/y

11、设'>工）且F可微，证明：a工办

「卜+守什?）=。

标准答案:两边对X求偏导得

（】+2嚼产+宇K=。，解得需=要总

y工

F（H+方0+手）=0两边对y求偏导得

三F'2-NF'I+三尸1-yF'z

于是喷十啮x_____________y

乱+互=z-R.

y工

知识点解析：暂无解析

ax'+b,xNl、

i_

{e，，°4<1在x=l处可导，求曲线产f(x)在点(1,f(l))处的

切线方程和法线方程.

标准答案：因为f(x)在x=l处可导，所以f(x)在x=l处连续，于是有

lim/(x)=lime**=

i-i-=e=f(l)=a+b,即a+b=e.又

一八」一/(幻/⑴...e^-(a+6)_».}.

/'⑴=iim八'=lim---\~~-=iim----=lim-;—="

1-.I-#711-x-lI-x-lI-»

.x].代G-f<])|.axF-(a+6)a(/_])

/.(])=lim~~~~乙=hm------------*------匚=lim*,*=2a,

t-rx-\,-i*r-1i-i*

从而2a=-e,即Q=-^•.于是6=-1-e.

此时切点为(1,e),f(l)=-e,故所求切线方程为y-e二一e(x-l),即ex+y-

II、

y-e=—(zx-1)

2e=0.法线方程为e,即x-ey+e2—1=0.

知识点解析：暂无解析

13、向量组P1，例，…，仇可由向亍c；3…句…生表出，设表出关系为

QlC22Q记

•♦•

•••

A1C12…G-

⑹，02，…，Pt]=[«i»«2»...»as][apa2，…，as]C.若

ai,a2，…，as线性无关，证明：r(p),仞，…，pt)=r(C).

标准答案：B=[Pi，俄，…，仇]=[四，a2,...»as]C=AC.r(B)=r(AC)<r(C).又

r(B)=r(AC)>r(A)+r(C)-s,r(A)=s,故r(B)Nr(C),从而有r(B)=r(C).

知识点解析：暂无解析

14、设四=(1,1,1),(12=(1，2,3),a3=(l，3,t).(1)问t为何值时,向量蛆

ai，(X2,a3线性无关？⑵当t为何值时,向量组四,。2,a3线性相关?(3)当ai，

Ct2，(X3线性相关时，将ai表示为囚和(X2的线性组合.

标准答案：由行列式|(四，口2，CC3)T|=t=5,知当母5时，ai，(12，013线性无关，当

t=5时，ai，a2，(X3线性相关.当t=5时，由解方程组X]a2+X2a2=a3，得013二一

ai+2a2.

知识点解析：暂无解析

『/Gr.y)(lrdy

15、设f(x,y)=*0.其他,且D：x-+y2>2x,求力

标准答案：令D]={(x,y)I10x02,'/2x-^<y<x}f

则jjf(工,、)业力=J/yLdy=j曲(x*-x1)dz-g.