考研数学二公式(版-考研)

考研数学公式完整版

高等数学公式

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

.2u\-u2x.2dli

sinx=------,cosx=----r忧=吆dx=----：

3,1+W

一些初等函数：两个重要极限:

sinx

双曲正弦:5"="一"’hm-----=1

2

双曲余弦:动工=纪土"lim(l+-)v=e=2.718281828459045...

2LRX

双曲正切:妨工=如="一''

chxe+e'

arshx=ln(x+7x2+1)

archx=±ln(x+Vx2-1)

,1,I+x

cirthx=­In----

2\—x

三角函数公式:

7秀导公

辽

屣sincostgctg

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

1800-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

2700+a-cosasina-ctga-tga

3600-a-sinacosa-tga-ctga

3600+asinacosatgactga

•和差角公式:•和差化积公式:

•倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2a=2cos-«-l=l-2sin-a=cos-a-sin-asin3a=3sina-4sin'a

ctg2a-\cos3a=4cos'a-3cosa

ctg2a-

2ctga^a-t£a

2次。1-3吆2a

tg2a=

1一吆%

•半角公式:

.a1-COStta1+cosa

sin—=±cos—=±

9~2~2~2~

sa,,1-cosa1-cosa_sinaa1,4-c--o-s-a-----1+cosa_sina

尔二------------

sinal+cosa”0二±」匚G=sina1-cosa

•正弦定理：口・余弦定理：口

・反三角函数性质：口

高阶导数公式一莱布尼茏(Leibniz)公式:

A=0

叫…+-3…+..…

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：/(/?)-=/(4)(〃-〃)

柯西中值定理JSA/3)=1单

F(b)-F(a)F©

当F(x)=/时，柯西中值定理就题格朗日中值定理,

曲率:

弧微分公式：ds=Jl+y'2〃八其中)/=tga

△a

平均曲率石二.△。:从M点到M'点，切线斜率的倾角雌量；As：MM弧长。

A5

\ada

M点的曲率：K=limJI

ADA.y~dsJ(1+)C)3.

直线：K=0;

半径为a的圆:K=-

a

定积分的近似计算:

矩形法jf(x)竺(义+x+…+>;.))

a

梯形法:J/(x)bg(%+%)+y+…+%_/

a

抛物线法J/(X)«+笫)+2(%+%+…+”-2)+4(必+%+…++T)J

定积分应用相关公式：

功：W=F-s

水压力：F=p-A

引力：尸=%膂为引力系数

r-

函数的平均值台=_!_认幻公

b-a\

均方根区।

空间解析几何和向量代数：

空间2点的距离：d=IMM2I=J*2—K尸+（%—V产+/-Z1）2

向量在轴上的投影「「/布=网-050,鬲科〃轴的夹角。

PrJ“（4+G）=Pr/4+Pr〃2

a-h=\ci\-\hcose=〃,、-a/、.+生久，是一个数量

两向量之间的夹角cos®=。也

M+a：+『H

ij

二，同=同.卜卜山夕例：线速度：/=WxF.

c=axb=axa、

久久b.

4ay生

=dx斗向cosa,a为锐角时,

向量的混合积[abc]=(axb)-c=bx外久

c、，c.

代表平行六面体的体积

平面的万程：

1、点法式：A（x-x0）+5（^-y0）+C（z-z0）=0,其中万={AB,C},Mo（Xo，yo，Zo）

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=O

3、截距世方程±+2+三=1

abc

平面外任意一点到该祠的距离：（/」4%+叫+c。+”

4+」+02

x=x0+mt

空间直线的方程=殳二匕九其中亍={也〃,〃}渗数方程b，=），o+W

mnp

z=zQ+pt

二次曲面：

r222

1、椭球面工+与v+三z=1

a~b~c~

2、抛物面£+^=z<p闯同号）

2P2q

3、双曲面：

r22也

单叶双曲面二十二v-二=1

a~b~c~

双叶双曲面区-E+W=l（马鞍面）

crb-c-

多元函数微分法及应用

人幺帖八16z]dzj.du.du.du.

全微分：clz=—dx+—dydu=—dx-\---dy+——dz

dxdydxdydz

全微分的近似计算：Az弋dz=£(x,y)Ax+/v(x,y)4y

多元复合函数的求导法

空

史

z=/W),W。]与二az

:?av

・a0

aw

at％

a-zdVa

&

+-

z=/[〃(,％)，),心:,)，)]加&

当〃=u(x,y),v=kx,y时,

,du,du,小二包心+包公

du=——dx+——dy

dxdydxdy

隐函数的求导公式：

隐函数g）=。,朱t，会尚毛）十%针今

力FdzF

隐函数F(x,y,z)=O,丝=—△,_——_

dxF,

O-F

尸（x,y,w,v）=Oa（£G）」前

隐函数方程组avF“F、'

G（x,y,〃,i，）二。a（〃,v）|2Ga-GG,G，

av

1FFG

=--ae(9G)av-ae(9X

J/x&tzW\

K9V)\97

FG)G

1aa(a3(u/F

=--y9V)av-9

Jz\

”y

v9^>9J

微分法在几何上的应用：

方向导数与梯度：

函数z=/(x,y)在一点、p(x,y)沿任一方向/的方向导数为甚=gcos(p+gsin夕

cloxdy

其中0为X轴到方向/的转角。

函数2=/（x,y）在一点〃（羽y）的梯度：gradf（x,丫）=3+^j

oxdy

它与方向导数的关系是%=grad/Cr,y)・e,其中。=cos0・7+sin°J为/方向上的

cl

单位向量。

...理是grad/G,y)在/上的投影。

dl

多元函数的极值及其求法：

设^CWo)=%(/，%)=。令：九(/，%)=4fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,yQ)=C

A<0,(%,%)为极大值

AC-B?>0时,，

A>0,(%，为)为极小值

则*AC-B2<Wi,无愉.

AC—1=0时，不确定

重积分及其应用:

jjf(x,y}dxdy=Jj/(rcos^rsin8)rdrdC

Diy

曲面z=/*,y)的面积A=jj

D小肉,(/I.

"，y)d°MJJyp(x,y)db

平面薄片的重心：了="=?---------------，广—D

MJJp(x,y)d(yM\\p(x,y')dcy

DD

2

平面薄片的转动惯量：对于.r轴/r=jjy2p(x,y)Jcr,对于y轴/),=JJA-p(x,v)Jcr

DD

平面薄片(位于my平面)对z轴上质点M(0,0,〃),(“>0)的引力：尸={巴,々,£},其中:

二/J,p(x,y)xd(7p(x,y)xd(y

FF二川£=-加

D(V+V+/)2。，+/)2D

柱面坐标和球面坐标：

x=rcosO

柱面坐标:y=rsin^,||Jf(x,y,z'dxdydz=jjjF(r、9.z'rdrdOdz、

z=zc

其中：F(r,dz)=/(rcos/rsinO,z)

x=rsin^cos^

球面坐标0y=rsin^sin<9,dv=rd(prs\n(p-dOdr=r~sin(pdrd(pd0

z=rcos(p

2JTx

jjj/(x,y,z)dxdydz=jjjF(r,(p,6)rsin(pdrd(pclO=^dO^d(pjF(r,^,^)r2sin(pd/

Q12000

重心：元二春如“匕心，其中M=J=jjjpdv

11ClVlC11QQ

22=Jjj，+)2).

转动惯量：/r=Jjj(y2+z2)辿，Iy=JJjU+Z)/X/V,

CQQ

曲线积分:

第一类曲线积分(对弧K的曲线积分)：

；魂叫见则:

设f*,y)在Lh连续，L的参数方程为:

P_____________x=t

Jf(x,y)ds=Jfl(pQ),y/(!)Ud2a)+"(。<6)特殊情况:

ay=。⑺

第二类曲线积分(对蜗的曲线积分)：

户叫则:

设L的参数方程为

y=叭i)

p

JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=J{+QW"),"(/)]”'(/)}力

两类曲线积分之间的关系：JPdx+Qdy=J(Pcosa+Qcos夕)ds,其中a和0分别为

L上积分起止点处切向鼬方向角。

格林公式:jj(W-^-)dxdy=fPdx+Q4)格林公式(中-^-)dxdy=,Pdx+Qdy

当P=-y,Q=x,即:一竿二2H、j,得到。的面积；A=JJdxdy=g，xdy-ydx

・平面上曲线积分与路彳抚关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、尸(苍丁)，0(.%)，)在G内具有一阶连续偏导数且半=2。注意奇点，如：0,0),应

oxcy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

・二元函数的全微分求积

在孚=当时，Pdx+。力才是二元函频(X,)，)的全微分，其中：

aroy

(X,))

〃(x,y)=jP(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设％=)\)=0)

(与.对

曲面积分：

对面积的曲面积分g/(x,y,z)ds=JJf[xyy,z(K,)，)]J1+Z；(犬,)，)+z；(x,y)dxdy

i%

对坐标的曲面积分，P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

JJR(x,yyz)dxdy=±JJR[x,y,z(x,y)]clxdy\取曲面的上侧时取正号；

X4

JjP(x,y,z)dydz=±JJP\x(y,z),y,z\dydz,取曲面的前侧时取正^；

JJQ(x,y,z)dzdx=±jjQx,y(z,x),z]dzclx^取曲面的右侧时取止号。

z4

两类曲面积分之间的关系：JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=Jj(Pcosa+Qcos。+Rcosy)ds

L£

高斯公式:

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:

"月、」」、…oP

/%R一至6Q心心+3,dP-菽OR)■+——)dxdy=，Pdx+Qdy+Rdz

3yr

dydzdzdxdxdxcosacos/?cos/

上式左端又可写成JJdddadd

~dz邛dx~dz

Jydx3)，

PQRPQR

空间曲线积分与路径赛的条件詈卷dP=dRdQ=dP

dzdxdxdy

ijk

ddd

旋度：rot4=

dxdydz

PQR

向量场,沿有向闭曲线f的环流量，Pdx+Qdy+Rdz=|-Yds

微分方程的相关概念；

一阶微分方程：/=/(^,y)或P(x,y)dx+Q(x,j)dy=0

可分离变量的微分方程一阶微分方程可以化为g()，)4v=/a)公的形式，解法：

Jg(y)d)，=]7。)公得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。

齐次方程：一阶微分方程可以写成半=/(乂)，)=奴X,)，)，即写成上的函数，解法：

axx

设〃=乜则孚=，+”半3"=8®,...虫分离变量,积分后将丫代替小

xdxaxdxx(p(u)-ux

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

1、一阶线性微分方程?+尸(刈)，=。1)

ax

/当Q*)=0W,为齐次方程，产年于"

、当(时，为非齐次方程,)，=(回)尸'+。除"'

2、贝努力方程4+PQ)y=2(x)/,(n*0,1)

dx

全微分方程：

如果尸(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程，即：

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中华=尸=Q(x,y)

dxdy

y)=C应该是该全微分方程的fi解。

二阶微分方程：

襄+P(吟+Q(x)E(./5）三Oj为齐次

/（x）工时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

（*））,〃+〃）,，+4），=0,其中〃应为常数；

求解步骤：

1、写出特征方程。），+/»+4=0,其中/，一的系数及常数项恰好越*）式中），〃,）/,>的系数;

2、求出（△）式的两个根不为

3、根据小马的不同情况，按下表写出（*）式的通解:

（*）式的通解

4的形式

两个不相等实根（〃rxrx

2-4q>0）y=cxe'+c2e'

两个相等实根r,x

（p2-4q=0）y=(G+c2x)e

一对共枕复根(〃2-44<0)y=e"(Gcos0x+c2sin0x)

r[=a+i/3,r2=a-i/3

…旦万二片"

22

二阶常系数非齐次线性微分方程

yn+py'+qy=/（x）,q为常数

/（x）二/下〃（外型，4为常数；

/（©=£入［眉（人）853十e?（4）sinau］型

线性代数部分

梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。

沟通：突出各部分内容间的联系。

充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的

方法。

大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不

知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。

基本运算

①4+4=g+A

②（A+3）+C=4+（3+C）

@c(A+6)=cA+cB(c+")A=cA+dA

④c(clA)=(cd)A

⑤cA=0<=>c=0或A=0。

(")'=A

(A±8)，=A71士

")「二c(A)

(ABY=BTAT

K"("-1)…21)=C：=M7)

a

£)=〃21421+22^22卜。2〃&"

转置值不变Ar=|A|

逆值变|A」=4r

凶

|M|=c,"同

k，4+乩，r|=&/"+1。,Pi，r\

,3阶矩阵

B—(0i,02,0J

W+和14+冏

人+3=(%+B、,a?+62，4+»J

|A+@=|«+笈,%+尸2，4+为

:;二:『则

国,/（或=1

有关乘法的基本运算

Cij=%仇j+火24j+…+%/可

线性性质，

八(〃八星

1I&)=IAB2

（cA）6=c（A笈）=A（c8）

结合律（A4）C=A（8C）

（AB）r=BTAT

AkAl=Ak^

（Ak）=Akl

不一定成立！

AB=E=BA=E

与数的乘法的不同之处

不一定成立！

无交换律因式分解障碍是交换性

一个炬防的每个多项式可以因式分解，例如

A2-2A-3E=（A-3E）（A+E）

无消去律（矩阵和矩阵相乘）

当A8=0时¥>4=0或8=0

由AwO和48=0R4=0

由4工0时=C（无左消去律）

特别的设可逆，则有消去律。

左消去律：。

右消去律：。

如果列满秩，则有左消去律，即

①AB=0nB=0

②A8=AC=8=C

可逆矩阵的性质

i）当可逆时，

也可逆，且。

也可逆，且。

数，也可逆，。

ii）,是两个阶可逆矩阵也可逆，且。

推论：设，是两个阶矩阵，则

命题：初等矩阵都可逆，且

(£(，，•/))"=M，，i)

(Mi(c))『=那))

—:凤3(-c))

命题：准对角矩阵

可逆每个都可逆，记

伴随矩阵的基本性质：

44*=4*4=印

当可逆时，得，(求逆矩阵的伴随矩阵法)

且得：

伴随矩阵的其他性质

①|”=网"：4*=|平-]

②—(A*)，,

@|(c.A=c〃T春,

④(A8)*=8*A*,

⑤，

⑥O时，

关于矩阵右上肩记号：，，，*

i)任何两个的次序可交换，

如，

(4*尸=(k)*等

ii),

*A*

但不一定成立！

线性表示

o…a

P-<=>王%+x2a2+…+=/有解

O（四,22「一,巴卜=夕有解［=（司/一工

有解，即可用A的列向量组表示

，，

则小R,-f

则存在矩阵，使得

线性表示关系有传递性当，

则01，»2,…，乩—八，々，…，。。

等价关系：如果与互相可表示

记作四,a2,…,%=A，"?，…，夕。

线性相关

，单个向量，相关

,相关对应分量成比例相关

①向量个数=维数，则线性相（无）关

,有非零解

如果，则一定相关

Ax=0的方程个数〃〈未知数个数s

②如果无关，则它的每一个部分组都无关

③如果无关，而相关，则

证明：设不全为0,使得

则其中，否则不全为0.,与条件无关矛盾。于是。

④当时，表示方式唯一无关

（表示方式不唯一<=>囚…见相关）

⑤若，并且，则一定线性相关。

证明：记，，

则存在矩阵，使得。

有个方程，个未知数，，有非零解，c

则，即也是的非零解、从而线性相关。

各性质的逆否形式

①如果无关，则。

②如果有相关的部分组，则它自己一定也相关。

③如果无关，而，则无关。

⑤如果，无关，则。

推论；若两个无关向量组与等价，则。

极大无关组

一个线性无关部分组，若等于秩，就一定是极大无关组

①区,%,…,见无关u>…，=s

②"一>四，％，…,％4）

另一种说法：取的一个极大无关组

（/）也是%,%，…，见，夕的极大无关组相关。

证明：相关。

/(4,♦••,?),£->%•••巴

/(«1,.••,aJ+1,/7-A>a……，a

③/可用四唯一表示<=>/（四,…,4,尸）=/（。［/一,&）=5

=7（^，…，以上八%,…,巴.）

矩阵的秩的简单性质

0<r（A）<min{/??,n}

《A）=0oA=（）

行满秩：

列满秩：

阶矩阵满秩：

A满秩oA的行（列）向量组线性无关

0同工0

0A可逆

只有零解.唯一解。

矩阵在运算中秩的变化

初等变换保持矩阵的秩

①-（A，）=dA）

②时，

③（4±8）/（4）+「⑻

@r（AB）<irin{r（A）,r（B）}

⑤可■逆时，

弱化条件：如果列满秩，则

证：下面证与同解。

〃是A8r=（）的解o=0

=8〃=0=7是=0的解

可逆时，

⑥若，则（的列数，的行数）

⑦一列满秩时《45）=《3）

B行满秩时4W）=厂（人）

@r（AB）+/?>r（A）+r（B）

解的性质

1.的解的性质。

如果是一组解，则它们的任意线性组合一定也是解。

=0=+。2%+…+4%）=0

2.

①如果是的一组解，则

喈+。2—+…+C石e也是Ax=4的解=G+。2+…+G=1

c&+。2<2+…+。片《是Ax=0的解oG+c2+…+/=0

A（cg+。2星+…+G©e）=。A。+c2A}+…+C，A夕

=g+。2+—+，,％

特别的：当是的两个解时，是的解

②如果是的解，则维向量也是的解是的解。

解的情况判别

方程：，即

M解10P四,。2「一，。”

=7（AI/）=/（A）＜=＞/（«）,。2，，⑶=7（囚，%，…，％）

殛=7（*〃）＞7⑷

唯一解|0y（A|尸）=Y（A）=〃

无穷多解|u＞/C4|Q）=/（A）＜〃

方程个数：

y（A\/3）＜m,y（A）＜m

①当时，,有解

②当时，，不会是唯一解

对于齐次线性方程组，

只有零解=MA）=〃（即A列满秩）

（有非零解=y（A）v〃）

特征值特征向量

%是A的特征值o2是A的特征多项式打七一A|的根。

两种特殊情形：

（1）是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。

：।**、

A=0Z2*

°九

x-A,_*_*

-A|=—*=（工-义2衣-23）

\xE0x-X2\\x-Z

00X-23

（2）时：的特征值为

特征值的性质

命题：阶矩阵的特征值的重数

命题：设的特征值为，则

①一—2…4〃二网

②几］+42~＜-----H几“=

命题：设是的特征向量.特征值为，即，则

①对于的每个多项式，

②当可逆时，，

命题：设的特征值为，则

①/（A）的特征值为/（%）/（%2），…J

②可逆时，的特征值为

4米的特征值为亨，手，…，啰

4I42

③A’的特征值也是％pA2,n

特征值的应用

①求行列式IA|=2卜心，…

②判别可逆性

义是A的特征值0忆£>一4|=00八一之七不可逆

人一九2可逆一几不是月的特征值。

当时，如果，则可逆

若是的特征值，则是的特征值。

f（c）工0nc•不是A的特征值oAcE可逆。

n阶矩阵的相似关系

当时，,而时，O

相似关系有i）对称性：

，则

ii）有传递性：，，则

,,则

（UV）~]A（UV）=V-lU~lAUV=V-'BV=C

命题当时，和有许多相同的性质

①M则

②y（A）=y⑻

③，的特征多项式相同，从而特征值完全一致。

与的特征向量的关系：是的属于的特征向量是的属于的特征向量。

Arj=初<=>B（fJ力）=4（U力）

UMA〃=-U-力0U」AUU一力=%®-力）

正定二次型与正定矩阵性质与判别

可逆线性变换替换保持正定性

变为，则它们同时正定或同时不正定

,则，同时正定，同时不正定。

例如。如果正定，则对每个

XTBX=XTCTACX=（Cr）?ACx>0

（可逆，，!）

我们给出关于正定的以下性质

A正定o

存在实可逆矩阵，。

O4的正惯性指数=〃。

oA的特征值全大于0。

。A的每个顺序主子式全大于0。

判断正定的三种方法：

①顺序主子式法。

②特征值法。

③定义法。

基本概念

对称矩阵=4o

反对称矩阵=一八.

简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1,台角正上方的元素都为0。

如果是一个阶矩阵，是阶梯形矩阵是上三角矩阵，反之不一定

矩阵消元法：（解的情况）

①写出增广矩阵，用初等行变换化为阶梯形矩阵。

②用判别解的情况。

i）如果最下面的非零行为，则无解，否则有解。

ii）如果有解，记是的非零行数，则

y=〃时唯一解。

74〃时无穷多解。

iii）唯一解求解的方法（初等变换法）

去掉的零行，得，它是矩阵，是阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。

则bIHt工0=W0都不为0。

（小⑶一忆乂郎）一＞（E]?7）〃就是解。

一个阶行列式的值：

①是〃!项的代数和

②每一项是个元素的乘积，它们共有项其中是的一个全排列。

③―…。叽前面乘的应为（一1）心左乜）…，）的逆序数

=...

=\/Mi2〃

nju

Jhfe…4

KM”-1）…2i）=a="（,）

代数余子式

M”为％的余子式。

4=（-1产％

定理：一个行列式的值等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。

。=。21421+“22,22+，，，+〃2”42〃

一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。

范德蒙行列式

11­••1

a,a,•••a„„、八，，

"二口（z。「区）个

乘法相关

A3的（仃）位元素是A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和。

3=。仇+《2打/+…+出力可

乘积矩阵的列向量与行向量

（I）设矩阵，维列向量.则

Ap=4华+4％+…+bnan

矩阵乘法应用于方程组

方程组的矩阵形式

方程组的向量形式

玉华+x2a2+…+xHan=P

（2）设,

r

；=例=瓦%+b2ia2+…+bnian

的第个列向量是的列向量组的线性组合，组合系数是的第个列向量的各分量。

的第个行向量是的行向量组的线性组合，组合系数是的第个行向量的各分量。

矩阵分解

当矩阵的每个列向量都是的列向量的线性组合时，可把分解为与一个矩

际的乘积

特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题

’4000、

0400=（4。，4%,•••,4。〃）

000

00

对角矩阵从右侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各列向量

对角矩阵从左侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各行向量

于是，

两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘

对角矩阵的k次方塞只须把每个对角线上元素作k次方第

对一个阶矩阵，规定为的对角线上元素之和称为的迹数。

于是（a"='/芥'a0r=［次切7）］X'a0raTa=tr（aaT）

其他形式方阵的高次暴也有规律

例如：

初等矩阵及其在乘法中的作用

（1）:交换的第两行或交换的第两列

（2）:用数乘的第行或第列

（3）：把的第行的倍加到第行上，或把的第列的倍加到第列上。

初等矩阵从左（右）侧乘•个矩阵A等同于对4作•次相当的初等行（列）变换

乘法的分块法则

一般法则：在计算两个矩阵和的乘积时，可以先把和用纵横线分割成若干小矩阵来进行,

要求的纵向分割与的横向分割一致。

4丐内

4国曳

A

4

国为

-瓦

&

易i

%%

4

瓦区

A

%)

%

4块

分成

,8都

（1）A

关。

数相

的行