第10章 算法初步、统计与统计案例、概率 第6节 古典概型与几何概型

第6节古典概型与几何概型

考试要求1.理解古典概型及其概率计算公式;2.会计算一些随机事件所包含的基

本事件数及事件发生的概率；3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；

4.了解几何概型的意义.

1知识诊断,基础夯实

知识梳理

1.古典概型

(1)基本事件的特点

①任何两个基本事件是互用的.

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

(2)古典概型的定义

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.

|有限性|试险中所有可能出现的基本事

件只有有限个

每个基本事件出现的可徙性

等可能性

相等____________________________

⑶古典概型的概率公式

AA包含的基本事件的个数

尸⑷-—基本事件的总数~

2.几何概型

(1)几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,那么

称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.

⑵几何概型的两个基本特点

(3)几何概型的概率公式

构成事件A的区域长度(面积或体积)

“4)一试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).

|常用结论，

1.概率的一般加法公式P(AU8)=P(A)+P(8)—P(AG8)中，易忽视只有当AC13=

,即A,B互斥时，P(AUB)=P(A)+P(B),此时尸(AC8)=0.

2.几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件

是“发芽与不发芽”.()

⑵掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果

是等可能事件.()

⑶随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()

(4)概率为0的事件一定是不可能事件.()

答案(1)X(2)X⑶J(4)X

解析对于(1),发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2),三个事

件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以⑵不正

确；对于(4),概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确.

2.某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，

能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列

说法正确的是()

A.一定不会淋雨

3

B.淋雨的可能性为了

c.淋雨的可能性为:

D.淋雨的可能性为:

答案D

解析基本事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨

帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到“酎会淋雨，故淋雨的可能性为7

3.（2020•全国I卷）设。为正方形ABCD的中心，在。，A,B,C,。中任取3点,

则取到的3点共线的概率为（）

A.7C.zD.T

JJ4J

答案A

解析从。，A,8,C,。这5个点中任取3点，取法有{O,A,B},{O,A,

C},{。，A,。},{。，B,C},{。，B,。},{。，C,O},{A,B,C},{A,B,

。},{A,C,D},{B,C,0,共10种，其中取到的3点共线的只有{O,A,

21

C},{。，B,Q}这2种取法，所以所求概率为行=5.故选A.

4.（2021•安徽四校测试）如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的

阴影区域.在正三角形中随机撒一粒豆子（豆子大小忽略不计），它落在阴影区域内

的概率为本那么估计阴影区域的面积为（）

A4B.2sC.3小D.4s

答案C

解析设阴影区域的面积为S,根据几何概型的概率公式知S=^X42X1=3V3,

故选C.

5.（2022・长春质量监测）张老师居住的一条街上，行驶着甲、乙两路公交车，这两

路公交车的数目相同，并且都是每隔十分钟就到达车站一辆（即停即走）.张老师每

天早晨都是在6：00到6：10之间到达车站乘车到学校，这两条公交线路对他是

一样的，都可以达到学校，甲路公交车的到站时间是6：09,6：19,6：29,

6：39,…，乙路公交车的到站时间是6：00,6：1（）,6：2（）,6：30,—,则张

老师乘坐上甲路公交车的概率是（）

A.10%B.50%

C.60%D.90%

解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为m,公，的，未测量过这项指标的2

只为仇，历，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为（0，42,43）,（。1,

。2,b\）,（6/|,42,历），（。1,。3,加），（。1,。3,Z?2）,（0,bl,bl）,（S,。3,历），

（42,43,1）,（42,bl,bi）,（。3,bl,bi）,共10种可能.

其中恰有2只测量过该指标的情况为（0,42,bl）,（671,42,历），（。1,。3,加），3,

43,历），（。2,。3,加）,（。2,的,历），共6种可能.

故恰有2只测量过该指标的概率为毯=a

3.（2022.大同调研）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王

的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣干齐王的中等马；田忌的下等马

劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场

比赛，规定每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两

场以上者狭胜，则出忌获胜的概率为.

答案I

解析不妨记齐王的上等马、中等马、下等马分别为Al,A2,A3,田忌的上等马、

中等马、下等马分别为①，&,B3,则所有可能的情况为

A\A2A3

田忌获胜的情况只有一种，即最后一种，所以田忌获胜的概率为:.

感悟提升古典概型中基本事件个数的探求方法：

(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题.

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(羽)，)可看成是有

序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.

［声点二古典概型与其他知识的简单交汇

例1若机是集合｛1,3,5,7,9,11｝中任意选取的一个元素，则椭圆5+；=1

的焦距为整数的概率为

答案!

解析:机是集合｛1,3,5,7,9,11｝中任意选取的一个元素，

・••基本事件总数为6,

又满足椭圆5+9=1的焦距为整数的根的取值有1,3,11,共有3个，

・•・椭圆5f+5#=1的焦距为整数的概3率〃1=总与

感悟提升求解古典^型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利

用古典概型的有关知识解决，一般步骤为：

⑴将题目条件中的相关知识转化为事件；

⑵判断事件是否为古典概型；

(3)选用合适的方法确定基本事件个数；

(4)代入古典概型的概率公式求解.

训练1设平面向量〃=(〃?，1),5=(2,〃)，其中1,〃平{L2,3,4},记％J_(0

一份”为事件4则事件A发生的概率为()

A.(B."C.gD.^

答案A

解析有序数对("?，〃)的所有可能情况为4X4=16个，由a_L(a-b)得加2—2〃?+

1-72-0,即〃一(〃7—1尸.由于m,2,3,4),故事件A包含的基本事件为

2I

(2,1)和(3,4),共2个，所以尸(4)=讳=杀

考点三几何概型

角度1与长度(角度)有关的几何概型

例2⑴在［一6,9］内任取一个实数加，设於)=一*+如+机，则函数段)的图象

与x轴有公共点的概率等于()

27311

A记B记C.5D记

(2)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直允顶点。在NACB内部任作一条

射线CM,与AB交于点M,则AMV4C的概率为.

A

3

答案⑴⑵-

)04

解析(1)因为'/U)=一尸+"a+〃7的图象与工轴有公共点，所以/="Z2+4"Z20,

所以4或机20,所以在［—6,9］内取一个实数，〃，函数儿1)的图象与“轴有

i—/士［—4—(―6)］+(9—0)11

公共点的概率p—9-(-6)二后，

(2)过点。作CN交AB丁点N,使AN=AC,如图所示.显然当射线CM处在NACN

内时，AMVAC,

又NA=45。，所以NACN=67.5。,

故所求概率为〃=6器75-0，3

感悟提升1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范

围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算

概,率，求解的核心是确定点的边界位置.

2.当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作

为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆

心角的弧度数之比.

角度2与面积有关的几何概型

例3(1)(2022•河南名校联考)来自中国古代的木纹饰图如图.若大正方形的边长为6

个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一

点，此点取自图形中小正方形内的概率是()

A36B9

C1D2

7

(2)(2021•全国乙卷)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于:的

概率为()

72392

---C-

B.329

932

A.

答

案⑴⑵B

)D

解析(1)因为大正方形的面积为6X6=36,小正方形的面积为1X1=1,大正方

形内部有8个小正方形，故在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形

QX/1)

内的概率是.故选D.

(2)在区间(0,1)中随机取一个数，记为x,在区间［1,2)中随机取一个数，记为y,

两数之和大于；7，

即x+)>73

则41＜尸2,在如图所示的平面直角坐标系中，点a,），）构成的区域是边长为1的

,7

卜+舛

正方形区域（不含边界），事件A“两数之和大于；7”即x+）＞：7中，点。，y）构成的

区域为图中阴影部分（不含边界），由几何概型的概率可算公式得尸（A）—

1X1

=交，故选

感悟提升几何概型与平面几何的交汇问题：要利用平面几何的相关知识，先确

定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代

入公式求概率.

角度3与体积有关的几何概型

例4已知正三棱锥S—43C的底面边长为4,高为3,在正三棱锥内任取一点P,

使得必1-八8（?＜；力-八8（7的概率是（）

A?B.|C.|D.1

答案B

解析由题意知，当点尸在三棱锥的中截面以下时，则满足匕V农

故的概率

大三棱锥的体积一小三棱锥的体积7

P=大三棱锥的体积8-

感悟提升对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）

以及构成事件的区域的体积（事件空间），对于某些较复杂的也可利用其对立事件

去求.

训练2（1）（2022・延安一模）在区间LL1］上随机取一个数也使直线y=Z（x+3）

与圆f+）2=l相交的概率为（）

A1nlM口也

⑵中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周

率n的近似值的方法.占代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图1）做统

计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm,正方形的边长为1cm,

在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是〃，则圆周率兀的近似

值为（）

图1图2

AB，

八4（1一〃）1一〃

J\D.-^—

1-4p1—p

⑶有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个

圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为.

答案（1）C（2）A（3）|

解析（1）圆》+），2=1的圆心为（0,0）,

13M

圆心到直线），=%。+3）的距离为

要使直线产总+3）与圆相交'则器」解得一

・•・在区间［-1,1］上随机取一个数2,使直线y=k（x+3）与圆f+V=l相交的概

(2)圆形钱币的半径为2cm,面积为SEj=7r22=47i(cm2),正方形边长为1cm,面

积为5=12=1(5?),在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是〃=1—七,

则兀:77――

4(1—p)

(3)由题意得该圆柱的体积V=TTX12x2=2兀圆柱内满足点P到点O的距离小于等

14

于1的几何体为以圆栏底面圆心为球心的半球，且此半球的体积V[=]X乎X13

=京2，所以所求概率V〃—V=\一2^=(

微点突破/古典概型与统计的综合应用

例1(12分)(2022.安徽四校测试)近期某市组织高一年级全体学生参加了某项技能

操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A,B两所学校各60名学生的成绩,

得到样本数据如下：

A校样本数据条形图

成绩/分12345678910

人数/个000912219630

(1)计算两校样本数据的均值和方差，根据所得数据进行比较，并给出综合评价.

(2)从A校样本中成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样的方法抽取6

人，从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和不小于15

分的概率.

[规范解答]

解（1）从A校样本数据的条形图可知，成绩为4分、5分、6分、7分、8分、9

分的学生分别有6人、15人、21人、12人、3人、3人.............1分

A校样本的平均值为

4X6+5X15+6X21+7X12+8X3+9X3

心=60

=6（分），............2分

A校样本的方差为

忒=^X[6X（4-6>+,••+3X（9—6月

=1.5...........3分

从B校样本数据统计表可知，

B校样本的平均值为

4X9+5X12+6X21+7X9+8X6+9X3

出=60

=6（分），............4分

B校样本的方差为

盘磊X[9X（4-6）2+…+3X（9-6%

=1.8...........5分

因为XA=XB,所以两校学生成绩的平均值相同，

又或Va,所以A校学生的成绩比较稳定，总体得分情况比B校好.............

6分

⑵依题意，A校成绩为7分的学生应抽取的人数为不工Jx12=4,分别设为a,

b,c,d；...........7分

成绩为8分的学生应抽取的人数为:x3=l,设为e；...........8分

14IDIJ

成绩为9分的学生应抽取的人数为不袅三*3=1，设为工............9分

14IJIJ

所以，所有基本事件有ac,ad,ae>af,be,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,

df,ef,共15个，

10分

其中，满足条件的基本事件有af,be,bf,ce,cf,de,df,ef,共9个.

所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，这2人成绩之和不小于15

93

分的概率〃=百=彳.............12分

JLJJ

答题模板

第一步分析题意，弄清题干中牵涉到的相关知识（或图表）

第二步通过题中给出的相关图表提炼有效信息

第三步根据相关公式计算各种待求量

第四步作出综合评价或决策

第五步反思回顾解题过程，规范解题步骤

例空气质量指数（AirQualityIndex,简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，

空气质量按照AQI大小分为六级：。〜50为优；51〜100为良；101〜150为轻度

污染；151〜200为中度污染；201〜300为重度污染；＞300为严重污染.

一环保人士记录了某地2021年某月10天的AQI的茎叶图如图所示.

4

5

754

1()34

)I78

199

215

（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQIW100）的天数（按这个月总共有30

天计算）；

⑵若从样本中的空气质量不佳（AQIA00）的这些天中，随机地抽取两天深入分析

各种污染指标，求这两天的空气质量等级恰好不同的概率.

解（1）从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1,空气质量良的天数为3,

故该样本中空气质量优良的频率4为估2计该月空气质量优良的概率为与2，从

2

而估计该月空气质量优良的天数为3OX|=12.

（2）该样本中为轻度污染的共4天，分别记为0,G,43,出；为中度污染的共1

天，记为6为重度污染的共1天，记为。.从中随机抽取两天的所有可能结果有

（0,。2）,（〃1,。3）,44）,（a\,b）,31,C）,（。2,〃3）,（。2,。4）,（。2,份，（。2,

C）,（的，6/4）,（。3,〃），（。3,C）,（。4,b）,（tZ4,C）,（b,（7）共15个.

其中空气质量等级恰好不同的结果有3l,b）,C）,（。2,b）,（42,c）,（。3,b）,

（43,C）,（44,b）,（44,C）,（b,C、）共9个.

93

所以这两天的空气质量等级恰好不同的概率为去=3

1JJ

I分层训练,巩固提升

A级基础巩固

1.一枚硬币连掷2次，哈好出现1次正面的概率是（）

A.gB.；C.1D.O

答案A

解析一枚硬币连掷2次，基本事件有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）

91

共4个，而只有1次出现正面的包括（正，反），（反，正）2个，故其概率为

故选A.

2.设机，〃£{0,1,2,3,4},向量。=（一1,-2）,力=（/〃，〃），则。〃b的概率

为（）

233

A-25B,25C,20

答案B

in=1,771=2,

解析a〃力=—2机=—所以"或〃=2或因此概率为

”=0.”=4,

3_3

5义5=片

3.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同

学的概率为（）

A.0.6B.0.5

C.0.4D.0.3

答案D

解析将2名男同学分别记为x,y,3名女同学分别记为mb,c.

设“选中的2人都是女同学”为事件A,则从5名同学中任选2人参加社区服务

的所有可能情况有（羽y）,（x,a）,（x,b）,（x,c）,（y,〃），（y,b）,（y,c）,（a,

b）,（a,c）,S，c）,共10种，

其中事件A包含的可能情况有①，。），（a,c）,S,c）,共3种,

故尸(A)=m=0.3.

4.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名

行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()

7

ATo

答案B

40—155

解析至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为二=出故选B.

FTO

5.在集合4={2,3}中随机取一个元素,〃，在集合B={1,2,3}中随机取一个元

素〃，得到点P(〃?，〃)，则点。在圆f+V=9内部的概率为()

1n1-3r2

A，2B.gC.^D.§

答案B

解析点尸(m,〃)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),6种情况,

2I

只有(2,1),(2,2)这2个点在圆f+>2=9的内部，所求概率为故选B.

6.(2021•上饶模拟)在边长为4的正方形ABCD内部任取一点P,则满足NAP8为

锐角的概率为()

答案D

解析以A3为直径的半圆外的区域满足NAPB为锐角,

•・•半圆的面积为$乂22=2花，正方形ABC。的面积为4X4=16,

・•・满足NA尸B为锐角的概率为I,；："=1一年故选D.

1OO

7.(2022•银川一模)已知集合A={—2,-1,5,1，2,3),任取

乙DL

则基函数为偶函数的概率为(结果用数字作答).

1

答案4-

解析集合A={-2,-1,一5,y1,2,3},任意攵£A的基本事件总数为

8,

当左=±2时，累函数兀。=/为偶函数，从而嘉函数/(])=./为偶函数包含的基本

事件个数为2,

，嘉函数4九)=«为偶函数的概率〃=".

8.在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于?的概率是______.

套u案乘—25

[0<x<l,

解析设这两个数是x,y,则试验所有的基本事件构成的区域即八।确定的

l(Xy<l

ro<v<i,

O

>

<+><1

平面区域，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即v<6确定的平面区

-

X5

1⑷217

域，如图所示，阴影部分的面积是1—9©卷,

所以这两个数之和小虎的概率是黑

「xWO,

।x+1,

9.由不等式组〈)。0，确定的平面区域记为勒，由不等式组.确定

〔y—x-2W0

的平面区域记为。2,若在Qi中随机取一点，则该点恰好在。2内的概率为.

较享-

口呆8

解析两个不等式组对应的区域勒为△OAB,已为两平行线之间的部分，则Qi

与。2公共部分为四边形04CD,如图，其中4(-2,0),B(0,2),D(0,1).

y—x—2=()

解得＜3

、%+)'=--

1，y2

即1}

则5心内3=；><2*2=2,5A»CD=|X1

17

则S四过形OACD=SaOA8——Sz\8CD=2——W=7

由几何概型的概率公式，所求概率

7

-

47

S^ii^OACD

SdOAB28，

10.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷

项目迅速炒“热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰

球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对

2

冰球运动有兴趣的占而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣.

⑴完成2X2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球运动是否有兴趣与

性别有关”？

有兴趣没有兴趣合计

男55

女

合计

(2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球运动有兴趣，现

在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球运动有兴趣的概率.

附：

P(K22AO)0.1500.1000.0500.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

nCad—be)2

K2=

(a+8)(c+d)(a+c)(/，+，/)

解(1)根据已知数据得如下列联表:

有兴趣没有兴趣合计

男451055

女301545

合计7525100

根据列联表中的数据，得X的观测值

IOOX(45X15-10X30)2100一

k=55X45X75X25=37=30°>2.7°6‘

所以有90%的把握认为“对冰球运动是否有兴趣与性别有关”.

(2)记这5人中对冰球运动有兴趣的3人分别为A,B,C,对冰球运动没有兴趣的

2人分别为相，〃，则从这5人中随机抽取3人，有(A,〃?，〃)，(B,〃)，(C,

"?,〃)，(4,8,机)，(4,B,〃)，(B,C,tn),(B.C,〃)，(A,C,m),(A,C,

〃)，(A,B,C),共10种情况，

其中3人都对冰球运动有兴趣的情况有(A,B,C),1种，2人对冰球运动有兴趣

的情况有(A,B,m),(A,B,77),(B,C,zn),(3,C,"),(A,Cm),(A,C,

«),6种,

所以至少2人对冰球运动有兴趣的情况有7种，

因此，所求事件的概率尸方7

II.在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里而共有4个小球，

小球上分别写有0,1,2,3的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中,

家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一

个小球，记下小球上数字将小球放回.

抽奖活动的奖励规则是：

①若取出的两个小球上数字之积大于4,则奖励飞机玩具一个；

②若取出的两个小球上数字之积在区间［1,4］内，则奖励汽车玩具一个；

③若取出的两个小球上数字之积小于1,则奖励饮料一瓶.

⑴求每对亲子获得飞机玩具的概率；

⑵试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由.

解(1)基本事件总数有16个,分别为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),

(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,

2),(3,3)；

记”获得飞机玩具”为事件A,则事件A包含的基本事件有3个，分别为(2,3),

(3,2),(3,3).

3

・••每对亲子获得飞机玩具的概率P5)=正.

(2)记“获得汽车玩具”为事件8,“获得饮料”为事件C,

事件3包含的基本事件有6个，分别为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),

(3,1),

・••每对亲子获得汽车玩具的概率

63

P(f=R，

每对亲子获得饮料的概率

7

P(O=1—P(A)一尸⑹=记.

..37

,816'

・•・每对亲子获得汽车玩具的概率小于获得饮料的概率.

B级能力提升

12.(2021・长春质检)我国古人认为宇宙万