考研数学（数学一）模拟试卷293

考研数学(数学一)模拟试卷293

一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)

ln(I+/)-2+2.rurctan—.x射0.

/(X)x

1、设-2.X=。•则f(x)在点x=0处

A、不连续.

B、连续，但不可导.

C、可导，但f(x)在x=0不连续.

D、可导且f'(x)在x=0处连续.

标准答案：B

记7

知识点解析：显然，函数6*)=加”一)-2在点x=o处可导，又

K(.v)=^=2rar<Un'(<(0)=0).litii二=lim2archin---=±IT.,

x，Tg±(0)均

弓但不相等，即g(0)不土但g(x)在点x=0处连续一>f(0)Km(Rx)=(p(x)+g(x)),但

f(x)存点x=0处连续.因此，选B.

2、设产f(x)的导函数f'(x)在区间［0,4］上的图形如右图，则f(x)

A、在(0,2)单调上升且为凸的，在(2,4)单调下降且为凹的.

B、在(0,1),(3,4)单调卜降，在(I,3)单调上升，在(0,2)是凹的，而在(2,4)是

凸的.

C、在(0,2)单调上升且是凹的，在(2,4)单调下降且是凸的.

D、在(0,1),(3,4)单调下降,在(1,3)单调上升，在(0.2)是凸的,而在(2,4)

是凹的.

如右图，当x€(0,I)或x€(3,4)f时，

f'(x)v0-f(x)在(0,1),(3,4)单调下降：当xW(l,3)时f'(x)>0Tf(x)在.(L3)单调

上升.又f'(x)在(0,2)单调上升一耳x)在(0,2)是凹的；f'(x)在(2,4)单调下降一f(x)

在(2,4)是凸的.因此，应诜B.

3、一….•'一j一「'詈加>。②/dx=ar<un口：=三③

x*sin-,x#0.

爪）="If/（x）dx=0_7d…

0.x=0.J-IJ-I♦?

设则®中正确的共有

A、1个.

B、2个.

C、3个.

D、4个.

标准答案:B

知识点解析：要逐分析.对丁①：rh

广照*u「胆心♦广辿&=「皿&+

J|>XJoxJnXJoXJ<>IT+，

「1/"”（：・三»&>°,可知①正确.对于

②：因为丑"1*":在点x=0处无定义，不能在［-1,1］上用牛顿-莱布尼兹公式,

因此②不正确.事实上

,i.，、，<»，1<*/，1、'

a-f*或由于

"皿力+）=_1》

1+lv）.因此

。（…！）七.。出而…［表］=宁对于③：易知

加>。=/叫故如在［一1,1］上连续，且是奇函数一

「小）*=0故③正确对于④：这里小）=1、在（3+00）连续，虽是奇函

数，但「5"发散,因为广大出=如'♦内故④不正确.综上

分析，应选B.

4、设S为球面：x2+y2+z2=R2,则下列同一组的两个积分均为零的是

D、

标准答案：C

知识点解析：注意第一类性面积分有与三重积分类似的对称性质.因S关于yz平

面对称，被积函数x与xy关于x为奇函数4?被积函数X2关

X为偶函数」&3上相V匕“匕」特别

要注意，第二类曲面积分有与三重积分不同的对称性质：因S关于yz平面对称，

cn/\|川2e0.

被积函数”对X为偶函数？被积函数入对X为奇函数T

小小也=2H孙山=2/?~?dy<k>0（这里设S取外侧）.

'!*»<,!3%类似可得

小小心=2J，曲*=20■/―/山疝>U（这里仍设S取外制）

"so",：.3航由上分析可知

『xdS=0.1[.r2d>di=0,

1P,因此应选c.

5、卜.列矩阵中属于正定矩阵的是

30

A、05」

0

25

B、L。3

3

250

C、L3

001

023

D、L034」

标准答案：B

知识点解析：正定的充分必要条件是顺序主子式全大于0,正定的必要条件是

aij>0.C中a33=—Y0，必不正定；A中二阶顺序主子式G3卜一<°必不正定;

D中三阶顺序主子式IAI=—1<0,必不正定.由排除法可知，应选B.

6、设凡维向量ai，（X2,…，as的秩为r,则下列命题正确的是

A、ai，a2，…，as中任何r—1个向量必线性无关.

B、ap（12，…，as中任何r个向量必线性无关.

C>如果s>n,则a$必可由a1，g，…，a$/线性表示.

知识点解析：根据矩估计量的定义米选择止确的选项.由于EX2=DX+(EX)2,向

DX与EX的矩估计量分别是n2一\)J.V.W，所以EX2的矩估

计量为一§2r三故选B.

二、填空题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

9、曲线，=/(一・I)的全部渐近线方程是.

标准答案：“=°八”[

知识点解析：只有间断点x=0

I

x=0.lirny=lini.t*(<--1)=lim--=lim丁=x

?于是有垂直渐近线x=0o再

lim-=linix(e~-I)=I.其中e7-I

求**-»7(…)又

lim(y-x)-lim,Tx2(e~-I)--tj=lini(r

10、微分方程2x3y'=y(2x2—y2)的通解是.

标准答案：/=G,其中C和为V常数.

知识点解析：这是齐次方程.原方程变形为次=9-2(x)令“=⑺则

du1I<IMIj2d“<lx

=

x工•“=”.ytt即“石=一T"分离变量得FT.积分得

--T=InIXI+C..=IIIIXI+C|..•

『,即」因此，通解为je7=Cx,其中CHO为V常

数.

11、设C是由曲面y2+z?=l,Ix+yI=1,lx—y1=1围成，则Q的体积

,8

标准答案：2口一彳

知识点解析：Q在xOy平面上的投影区域Dxy是由xOy平面上的曲线Ix+yI=1

与Ix-yI=1同成,见图。于是c表示为*-2/w；W〃(r)e〃,

V=2II、/l-y2d.tdr

C的体积kDxy在第一象限部分记为Di，由对称性得

V=8J、/1-尸dxd>

北其中D］：O<Y<1,0<x<l-y.于是

।心叫:

y=sin。/丁，...

•，8(I-sin")c。/从历

V

12、设L为曲线lxl+lyl=l,则Mxlds=

标准答案：2々,

知识点解析:【分析一】

L关于x,y轴对称，被积函数关于y与x均为偶函数，记L|为L的第一象限部

J|xds=4jxds14Jx+1dx

分，则=4々(出=2J2.【分析二】利用变量的轮换

对称性=Jl'g

/,I"小=y|^(1*1+'»I)小=9/,，卜=；x/.的长度=:x44=24.

13、已知t兀二次型XTAX=K12+ax22+x32+2x।X2+2ax।X3+2X2X3的秩为2,则其规范

形为.

22

标准答案：yiy3

II”•

=I«I

知识点解析：二次型矩阵LIJ因为IAI=(a+2)(a—由秩r(A)=2,

A-I-I2

|AE-4I=-IA+2-I1=A(A-3)(4+3)

易见好一2.由2-IA-II可知矩阵A的

特征值为3.—3,0.从而正交变换下二次型标准形为3yF—3y32,故其规范形

为、弋一

14、似i殳每次试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是n(0

标准答案：亍

知识点解析：首先求x的概率分布，再用期望定义求解P的值.依题意x取值为

2,3,KP{N=nIpqn-l+qp)-1,(q=l—P)

.ocx

EX-nPX=n,=Znpq"7.£nqp"'

•0=2

■•

与vq解方程

—.7^-=4・得"=；

P1-/>2

三、解答题(本题共20题，每题7.0分，共20分。)

已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：x^+e-1,y=2t+e'2l(t>0).

15、证明该参数方程确定连续函数Y=y(戈)，z曰1,+8).

标准答案：⑴因为x；=l一/〉0(1>0),x；(O)=O"=t+c”在［0,+8)单调上升，值域为

［1,+oo).Tx=t+e-t在［0,y)存在反函数，记为1(x),它在［1,+8)连续(单调连

、记

续函数的反函数连续).再曰连续的复合函数的连续性"尸=2"x)♦,7⑺-y(x)

在［1,+oo)连续.

知识点解析：暂无解析

16、证明y=y(x)在［1,+oo)单调上升且是凸的.

dy，；2

标准答案：由参数式求导法石=三一一=2(1♦-')>0(/>0,即X>I)于是

y=y(x)在［1,+oo)单调上升，又“一石民).+.))=-72(I+,--

=I二L<°">°即""因此y=y(x)在［1,+8)是凸的.

知识点解析：暂无解析

17、求y=y(x)的渐近线.

<in)V♦云田—*x

lim工=lim"士二=2

Xf•>xf*r*

标准答案：.叱C=*二口——)1.又因产虫)在［1,

+8)连续，所以y=y(x)只有渐近线y=2x.

知识点解析：暂无解析

/(%)g(x)B0

18、设f(x),g(x)在(a,b)可微,g(x)#),且/'(*)用'(X)求证：存在常数

C,使得f(x尸Cg(x)(Vx6(a,b))：

标准答案:即证f(x)/g(x)在(a,b)为常数，由

I船1=云产CL⑴

:(

I/")x'>)w.iw

犬(、)x'(t)ITRX)/g(x)在(a,b)为常数，即三

常数C,使招=C.即(…(小))

知识点解析：暂无解析

19、设f(x)在(-oo,+oo)二阶可导,且f(x)gO,f(x)>0(x6(—co,+oo)).求证：f(x)

为常数(VX6(—8,+oo)).

标准答案：只需证f2(x)=0(九G(-为,…)喏

*0=>3%W(-8.+8)・/("))#0.类似于凹函数性质，有

f(x)>f(xo)+f(xo)(x-xo)(VrG(­oo,+oo)).当f'(xo)>O时",则”"一+=当

f'(xo)vo时n「叫/⑺=+3c均与/'⑴=0(VnE(-oo,+oo)矛盾.即f(x)为常数(V、)

知识点解析：暂无解析

设u=f(xy,x2,x),其中函数厂有二阶连续偏导数，试求：

20、du：

标准答案：利用一阶全微分形式不变性，直接求全微分得du=fj.d(xy)+f2.d(x?一

/)+1、3.dx=fi.(ydx+xdy)+2f、2.(xdx—ydy)+f、3dx=(yf］+2xf)+fj)dx+(xfj-2y12)ty.

知识点解析：暂无解析

21、Uxy

标准答案：由du表达式中dx的系数可得Ux'=yn+2xf2'+f3’上式再对y求偏导数，

即得Uxy二y(fi)y+2x(f2)y+(f3)y+0.由于fj二fi(xy,G—,x),f2=f2(xy,X2

一y2,x),f3=f3(xy,x?—y2,x),它们仍是复合函数，求它们关于于y的偏导数

与求f(xy,x2-y2,x)关于y的偏导数的方法是相同的，同样由复合函数求导法有

(f|)y=xfn-2yfi2，(f2)y=xf21一yf22，(f3)y=xf31—2yfj2.代入Uxy,的

表达式，并利用fi2=1,2，〔因为它们连续)，得Uxy=y(xf)]—2yfi2)+2x(xf2i一

22

2yf22)i2xyf3i12xyf32if=-ryf)ii2(x-y)f)2—4x)f3i-2yf32>f).

知识点解析：暂无解析

22、设A(2,2),B(l,1),F是从点A到点B的线段而下方的一条光滑定向曲线

y=y(x),且它与围成的面积为2,又(p(y)有连续导数，求曲线积分

/=jrlTT3(»')cu、irx-2try]di+|夕'(y)sinirx-2ir]<1>.

标准答案：一把该曲线弓?分成两部分，其中一个积分的被积表达式易求原函数,

另一积分可添加辅助线加4后用格林公

II=J/.n9(yy)simrvily-2mly+(,(-2ir>)dr==

2其中

-I

I\=\<f>(v)<lhinirr+-«l(2TTV)=Iu>(y)sinir.v-2TTy|=2万为用格

林公式求12,添加辅助线港,〃,"I与围成区域D,并构成D的负向边界，于是

..--2”)*=-=-4”_

lruHAR又/用的方程：y=x,X6[l,2],则

1—(-2n>)dx=I-2-ff.vdx=-ir.i*=-3irm

垢JiI因此

知识点解析：暂无解析

Z(-I)…rr?

23、求哥级数，，一2”•的收敛域及和函数.

5(x)=y(-1)"-1-hx2"-汩

标准答案：求2"〃・A>r\2)①及其收敛

一小金亍

域,令'=5转化为求«=1八②及其收敛域.由于

/⑴=iLLi)r!r-'=±X-)”。)〜

为逐项求导数保持幕级数的收敛半径不变一②与③有相同的收敛半径R=l，回到

原问题一①有收敛半径A=72,且/⑴=/(。)+£/'⑴小+$),k于

是§⑴“图J'”+$)皿£(-",4)在收敛区间端点一士立幕

级数①为2"2一是收敛的，又/。丁"(L在”=土*处连续，因此

V(-I)"-1「—111(I+s)(Qe"区用

-=i2"MJos

知识点解析：暂无解析

已知ai=(l,3,5,-1)［，(12=(2,7,a,4)T,as=(5»17,—1,7)T,

24、若ai,a2,a3线性相关，求a的值:

标准答案：ai,a2,a3线性相关甘秩r(ai,a2,c(3)v3.由于(ai,a2,a3)二

125-125'125'

3717012012

一,1

51/-10u-10-260a+30

一147■

-0612000-所以a=-3.

知识点解析：暂无解析

25、当a=3时，求与ai,az,任3都正交的非零向量04；

标准答案：设a=(xx「X2，X3，X4)T,则有(ai,O4)=0,(a2,O4)=0t(03,04)=0,即

6

0」所以04=k(19,一6,

0,1)二其中必0.

知识点解析：暂无解析

26、当a=3时，证明a।£2,03,04可表示任一个4维列向量.

5I9A

317-6A

12x348/#0

50

标准答案：由于｛ai,(12,013,四=所以

X](xi+X2a2+X3(i3+X4a4=a恒有解，即任一4维列向量必可由aigg,ou线性表

出.或者由⑴知n=3时，〃e2,。3必线性无关，那么：若k]ai+k2(X2+k3a3+匕04=0,

用ctj左乘上式两端并利用有后0473=0，又a#0，故必有

k4=0.于是kiai+kzaz+k3a3=0.由ai,a2,a3线性无关知必有k|=0,k2=0,k3=0,从

而ai,a2，(13,04必线性无关.而5个4维列向量必线性相关，因此任一个4维列

向:量都可由ai,012,(13,04线件表出.

知识点解析：暂无解析

已知A是3阶矩阵,ai,a2,a3是线性无关的3维列向量，满足Aai=—⑴一3a2—

3a3,Act2=4ai+4a2+(13，Aa?=--2ai+3a3.

27、求矩阵A的特征值；

标准答案:据已知条件,有A(cq,a2,a3)=(ai-3(X2—3a3,4ai+4a2+(13,一

4-2-4-2-

4()40

2ai+3a3)=(ai,a2、a3)L_31，J记-3l3J及Pi=(ai,a2,a3),那么由

ai,a2,a3线性无关知矩阵Pi可逆，且P「AP尸B,即A与B相似.由矩阵B的特征

+I-42

I-EI3A-403A-40

3-IA-303-AA-3

3A-40(A-I)(A-2)(入-3)

多项式00A-得矩阵B的特征

值是1,2,3.从而知矩阵A的特征值是1,2,3.

知识点解析：暂无解析

28、求矩阵A的特征向量；

标准答案：由(E—B)x=O得基解系m二(1,1,1)、即矩陀B属于特征值入=1的特

征向量，由(2E—B)x=0得基础解系的二(2,3,3)T,即矩阵B属于特征值入=2的

特征向量，由(3E-B)x=O得基础解系例=(1，3,4)丁，即矩阵B属于特征值A=3

的特征向量，那么令P2=(Bl，。2,饱)，则有P2BP2』3」于是令

P=P|P2=(ai,a2,a3)L।34」=(ai+a2+a3，2ai+3a2+3013,ai+3a2+4a3),则有P

1，，，_，

AP=(PiP2)'A(P|P2)=P2'(PrAPi)P2=P2BP2=3」所以矩阵A属于特征值

1,2,3的线性尤关的特征向量依次为ki(ai+a2+a3),k2(2ai+3a2+3a3),

k3(ot]+3a2+4a3),k#O(i=l,2,3)

知识点解析：暂无解析

29、求矩阵A*—6E的秩.

■I[-6

A~24•~3

标准答案：由31及IAI=6知，.2」从而

0

4,-6E--3

._4.所以秩r(A+-6E)=2.

知识点解析：暂无解析

袋中装有5个白球，3个红球，第一次从袋中任取一球，取后不放回，第二次从袋

中任取2球，用Xi表示第i次取到的白球数，i=l,2.

30、求(Xi,X2)的联合分布;

标准答案：X|的可能取值为0,1：X2的取值为0，1，2.由乘法公式可得

391

Pi.Y,=0..V,=01=--

8c；一56

35

*一-一

P\X=0,.V=II=s

t28C；28

3C5

riv,=0，M=21一—1,•—二

-8C?28

5C；5

Pl.v,=M=0；二-•—二

8C?56

5C：C；5

P\X=I.X,=1i=—*'-=—

t814

«

5c；5

PlY=l，G二21二T"

(8c?=28得联合分布与边缘分布如下表

31、求P{X[=0,X2#)},P[XiX2=0)；

标准答案：

=0$#