近五年2017-高考数学真题分类汇编12解析几何含解析

十二、解析几何

一、单选题

1.（2021.全国（文））点（3,0）到双曲线会9=1的一条渐近线的距离为（）

A.-B.-C.-D.-

5555

2.（2021•全国（文））设B是椭圆C:9+y2=1的上顶点，点p在C上，则|PB|的最大

值为（）

A.|B.V6C.V5D.2

3.（2021・全国）己知FI,尸2是椭圆C：日+”=1的两个焦点，点M在C上,则|MFJ\MF2\

94

的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

4.（2021•浙江）已知a,beR,ab>0,函数f（x）=ax2+b（xGR）.若f（s—t）,/（s）,/（s+

t）成等比数列，则平面上点（s,t）的轨迹是（）

A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线

5.（2021•全国（理））已知工,尸2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且“铲尸2=

60。,-&|=3|P『2l，则C的离心率为（）

A.立B.每C.V7D.V13

22

6.（2021•全国（理））设B是椭圆。吟+《=l（a>b>0）的上顶点，若C上的任意一点

P都满足|PB|S2b,贝IJC的离心率的取值范围是（）

A.今1）B.i,l）C.0为D.0,i

22

7.（2020.天津）设双曲线C的方程为三-]=l（a>0/>0）,过抛物线/=4%的焦点

ab

和点（0,b）的直线为若C的一条渐近线与，平行，另一条渐近线与[垂直，则双曲线C的

方程为（）

A.交一乃=1B.犬一加=ic.—~y2=\D.x2-y2=\

4444

8.（2020.北京）设抛物线的顶点为0,焦点为F,准线为，.P是抛物线上异于。的一点，

过P作PQ_L，于Q,则线段FQ的垂直平分线（）.

A.经过点。B.经过点P

C.平行于直线OPD.垂直于直线OP

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9.（202。北京）已知半径为1的圆经过点（3,4）,则其圆心到原点的距离的最小值为（）.

A.4B.5C.6D.7

10.（2020•浙江）已知点O（0,0）,A（-2,0）,B（2,0）.设点P满足照|-|P用=2,

且户为函数）=3"^三记图像上的点，则QP|=（）

A.虎B.也C.>/7D.V10

25

11.（2020.全国（文））设FI，F2是双曲线C：/—9=1的两个焦点，。为坐标原点，点P在

C上且|OP|=2,则APFiF2的面积为（）

75

A.-B.3C.-D.2

22

12.（2020•全国（理））若直线/与曲线厂4和二挪相切，则/的方程为（）

A.y=2x+lB.y=2x+^C.y=1x+lD.y=|x+^

13.（2020•全国（理））设双曲线C：马一马=1（。>0,b>0）的左、右焦点分别为

a2b2

尸2,离心率为近.P是C上一点，且BPLF2P.若△PQF2的面积为4,则“=（）

A.1B.2C.4D.8

14.（2020•全国（文））点（0,-1）到直线y=k（x+l）距离的最大值为（）

A.1B.V2C.V3D.2

15.（2020•全国（文））设。为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px（p>0）交于D,

E两点，若OD1OE,则C的焦点坐标为（）

A.g,0）B.（|,0）C.（1,0）D.（2,0）

16.（2020•全国（文））在平面内，A,8是两个定点，C是动点，若前•前=1，则点

C的轨迹为（）

A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线

17.（2020•全国（文））已知圆/+丫2一6%=0,过点（1,2）的直线被该圆所截得的

弦的长度的最小值为（）

A.1B.2

C.3D.4

18.（2020•全国（理））已知。M：%2+y2—2%—2y—2=0,直线2：2%+y+2=0,

P为I上的动点,过点尸作。M的切线P4P8,切点为A,B,当最小时，直线

的方程为（）

A.2x—y-1=0B.2x+y-1=0C.2x—y+1=0D.2x+y4-1=0

19.（2020•全国（理））已知A为抛物线C：V=2*（p>0）上一点，点A到C的焦点的

2

距离为12,到y轴的距离为9,则p=（)

A.2B.3C.6D.9

20.（2020•全国（理））若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0

的距离为（）

A.匹B.独C.延D.延

5555

21.（2020•全国（理））设。为坐标原点，直线％=&与双曲线C:一与=l（a>o,b>0）

的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8,贝IJC的焦距的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

22.（2019.北京（文））已知双曲线1―y2=1（心0）的离心率是遍则环

A.V6B.4C.2D.|

23.（2019.全国（文））已知F是双曲线C:坐一火=1的一个焦点，点P在C上，。为坐标

45

原点，若|0P|=|。*，则AOPF的面积为

3579

A.-B.-C.-D.-

2222

24.（2019•北京（理））已知直线/的参数方程为仔为参数），则点（1,0）

到直线/的距离是

A-IB.|C.ID.|

25.（2019•全国（理））双曲线C：至一匕1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上，

42

。为坐标原点，若|PO|=|PF|,则△P/O的面积为

A.—B.—C.2&D.3V2

42

26.（2019•天津（文））已知抛物线y2=4%的焦点为F,准线为[.若I与双曲线,―，=

1（。>0）>0）的两条渐近线分别交于点4和点8,且|A8|=4|OF|（。为原点），则

双曲线的离心率为

A.V2B.V3C.2D.V5

27.（2019•全国（文））设F为双曲线C：1―4=1（必），b>0）的右焦点，。为坐标

a2bl

原点，以OF为直径的圆与圆x^+y2=a2交于P、Q两点.若|PQ|=|OF],则C的离心率为

A.V2B.V3

C.2D.V5

28.（2019・全国（文））已知椭圆C的焦点为居（一1,0）,F2（l,0）,过B的直线与C交于

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4,B两点.若|NF2|=2|F2B|，|4B|=|BP1|,则C的方程为

A.二+9=1B.亡+”=1C.力+艺=1D.亡+”=1

2324354

22

29.（2019.全国（文））双曲线C:二一斗=lm>0,b>0）的一条渐近线的倾斜角为130。，

ab'

则C的离心率为

A.2sin40°B.2cos40°C.D.

sin50cos50

30.（2019•上海）以（％,0）,（a2,0）为圆心的两圆均过（1,0）,与y轴正半轴分别交于

（0,yi）,（0,y2）>且满足1仙+In%=。，则点（高，1）的轨迹是

A.直线B.圆C,椭圆D.双曲线

31.（2018•北京（理））在平面直角坐标系中,记d为点P（cos6,sin。）到直线x-my-2=

0的距离，当0、m变化时，d的最大值为

A.1B.2

C.3D.4

x2v2

32.（2018•全国（理））设及网是双曲线（7:七一4=1（a>0,b>0）的左、右焦点，

a~b~

。是坐标原点.过尸2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PFi|=V^|OP|,贝北的离

心率为

A.V5B.V3C.2D.V2

33.（2018•全国（理））直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于4,B两点，点P在圆

（x-2）2+y2=2上，则AABP面积的取值范围是

A.[2,6]B.[4,8]C.[V2,3回D.[2夜,3回

34.（2018•全国（文））已知Fi，尸2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1J.PF2，

且4PF20=60°,则C的离心率为

A.1—苧B.2-V3C.亨D.V3-1

35.（2018•全国（理））已知%?2是椭圆C：务《=1（a>b>0）的左，右焦点，

4是C的左顶点，点P在过4且斜率为它的直线上，△PF1a为等腰三角形，NF/2P=120°,

6

则C的离心率为

A.-B.-C.-D.-

3234

36.（2017•全国（理））已知双曲线。吟―'=l（a>0,b>0）的一条渐近线方程为y=

在x，且与椭圆W+〈=l有公共焦点.则C的方程为（）

2123

4

cY」=iDY-J

5443

37.（2017•全国（文））过抛物线C：V=4x的焦点F,且斜率为旧的直线交C于点M（M

在x轴的上方），/为C的准线，点N在/上且MN，/,则M到直线NF的距离为（）

A.V5B.2A/2C.2V3D.3遍

二、多选题

38.（2021•全国）在正三棱柱48C—中，4B==1,点P满足前=2就+

〃两，其中;16[0,1],“€[0,1],则（）

A.当4=1时，AABiP的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥P-&BC的体积为定值

C.当时，有且仅有一个点P,使得411Pl8P

D.当〃=9时，有且仅有一个点P,使得A|B_L平面

39.（2021・全国）己知点P在圆（X—5）2+0—5）2=16上，点4（4,0）、8（0,2）,则（）

A.点P到直线4B的距离小于10

B.点P到直线4B的距离大于2

C.当NPB4最小时，\PB\=3V2

D.当4PB4最大时，\PB\=3V2

40.（2020•海南）已知曲线C：m%2+g2=1.（）

A.若"?>〃>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若，/〃>0,则C是圆，其半径为低

C.若根〃<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±&x

D.若〃?=0,〃>0,则C是两条直线

未命名

未命名

三、填空题

41.（2021•全国）已知。为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为凡P为C上

一点，P尸与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ1OP,若|FQ|=6,贝IJC的准线方程为.

42.（2021•全国（文））已知心,尸2为椭圆C：5+?=1的两个焦点，P,。为C上关于

坐标原点对称的两点，且|PQ|=|尸/2|,则四边形PF1QF2的面积为.

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43.（2021•全国（理））已知双曲线£1：；■一y*2=l（m>0）的一条渐近线为4-my=0.

则C的焦距为.

44.（2021.全国（文））双曲线式一日=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为

45

45.（2020•天津）已知直线x—V3y+8=。和圆/+y2=r2（r>0）相交于4B两点.若

\AB\=6,贝什的值为.

46.（2020・江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1"=l（a>0）的一条渐近线方

a"5

程为y=争，则该双曲线的离心率是一.

47.（2020.全国（理））已知F为双曲线1缶>0/>0）的右焦点，A为C

的右顶点，B为C上的点，且8尸垂直于x轴.若A8的斜率为3,则C的离心率为

48.（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+>0）上的一个动点，

则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.

49.（2019•北京（文））设抛物线V=4x的焦点为凡准线为/.则以F为圆心，且与/相

切的圆的方程为.

50.（2019・全国（理））设Fi，尸2为椭圆C:[+?=1的两个焦点，”为（7上一点且在第

一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为.

51.（2019•浙江）已知椭圆?+?=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方，若

线段PF的中点在以原点。为圆心，|。尸|为半径的圆上，则直线PF的斜率是.

22

52.（2019•全国（理））已知双曲线C：「-与=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为Q,

a~b

Fi,过E的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若耳彳=荏，用.臣=0,

则C的离心率为.

/22

53.（2018.上海）已知实数%1、%2、%、）2满足：％12+y/=1,%2+y2=lfxtx2+yty2=

则此科+运喑工!的最大值为__.

2v2V2

54.（2018.江苏）在平面直角坐标系xOy中，4为直线Z:y=2x上在第一象限内的点，

B（5,0）,以AB为直径的圆C与直线I交于另一点D.若荏•而=0，则点4的横坐标为

2

55.（2018•江苏）在平面直角坐标系％0y中，若双曲线工上=l(a>0,6>0)的右焦点

a2b2

6

尸(c,0)到一条渐近线的距离为苧c,则其离心率的值是.

56.(2018•北京(文))已知直线/过点(1,0)且垂直于x轴，若/被抛物线好=4ax截

得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为________..

57.(2018•全国(理))已知点M(—1,1)和抛物线C：y2=4x,过C的焦点且斜率为4的

直线与C交于4,B两点.若乙4MB=90。，则/c=.

尤2

58.(2018•浙江)已知点P(0,1),椭圆一+V=皿加>1)上两点A,8满足而=2而，则

当m=时，点B横坐标的绝对值最大.

四、解答题

59.(2021•全国(文))已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)求C的方程；

(2)已知。为坐标原点，点尸在C上，点Q满足所=9而，求直线OQ斜率的最大

值.

60.(2021•全国(文))抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上，直线/：x=l交

C于P,。两点，且。P1OQ.已知点M(2,0),且OM与/相切.

(1)求C,0M的方程；

(2)设是C上的三个点，直线442,4遇3均与。M相切.判断直线4公与。M

的位置关系，并说明理由.

61.(2021•浙江)如图，已知尸是抛物线丁=2〃%(〃>0)的焦点，”是抛物线的准线

与x轴的交点，且|MF|=2,

(1)求抛物线的方程;

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（2）设过点尸的直线交抛物线与A、B两点，斜率为2的直线/与直线MA,MB,AB,x

轴依次交于点P，Q,R,N,且=|PN|•|QN|,求直线/在x轴上截距的范围.

62.（2021•全国（理））在直角坐标系xOy中，。C的圆心为C（2,l）,半径为1.

（1）写出OC的一个参数方程；

（2）过点F（4,l）作OC的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标

系，求这两条切线的极坐标方程.

63.（2021•全国（理））已知抛物线=2py（p>0）的焦点为F,且尸与圆M:%2+（y+

4）2=1上点的距离的最小值为4.

（1）求p；

（2）若点P在M上，P4PB是C的两条切线，4B是切点，求APAB面积的最大值.

64.（2021.全国）在平面直角坐标系xOy中，已知点&（一47,0）、F2（V17）0）|MF1|-

|M4I=2,点例的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设点7在直线x=3上，过7的两条直线分别交C于4、B两点和P,Q两点，且|兀4|・

\TB\=\TP\'\TQ\,求直线4B的斜率与直线PQ的斜率之和.

65.（2020•海南）已知椭圆C：各、=l（a>b>0）过点M（2,3）,点A为其左顶点，

且AM的斜率为3,

（1）求C的方程；

（2）点N为椭圆上任意一点，求4AMN的面积的最大值.

66.（2020•天津）己知椭圆捻+《=1（（1>匕>0）的一个顶点为4（0,—3）,右焦点为尸,

且|。川=|。可，其中。为原点.

（I）求椭圆的方程；

（II）己知点C满足3赤=而，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆

心的圆相切于点P,且P为线段48的中点.求直线的方程.

67.（2020.北京）已知椭圆C:马+旨=1过点4（-2,-1）,且a=2b.

（I）求椭圆c的方程：

（II）过点仇一4,0）的直线/交椭圆C于点直线M4M4分别交直线X=-4于点

PQ求盟的值,

68.（2020•山东）已知椭圆C：5+'=l（a>b>0）的离心率为多且过点4（2,1）.

8

(1)求C的方程：

(2)点M,N在C上，且AM1AN,AD1MN,D为垂足.证明：存在定点Q,使得|DQ|为

定值.

69.(2020•江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+?=1的左、右焦点分别

为Fi,入，点A在椭圆E上且在第一象限内，尸2,直线AQ与椭圆E相交于另

一点B.

(1)求△AFi&的周长；

(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求加.◎的最小

值：

(3)设点M在椭圆E上，记△。48与△的面积分别为S”S2,若S2=3S”求点

M的坐标.

70.(2020・全国(理))已知A、8分别为椭圆及1+、2=1(。＞1)的左、右顶点，G

a2J

为E的上顶点，AG-GB=8,尸为直线x=6上的动点，必与E的另一交点为C,PB与

E的另一交点为£＞.

(1)求E的方程；

(2)证明：直线C£＞过定点.

71.(2020•全国(文))已知椭圆G：W+A=l(〃乂＞0)的右焦点厂与抛物线。2的焦

a2b2

点重合，C的中心与C2的顶点重合.过尸且与x轴垂直的直线交Cl于A,B两点，交

C2于C,0两点，且|8|=例8].

(1)求G的离心率；

(2)若Ci的四个顶点到C2的准线距离之和为12,求G与C2的标准方程.

72.(2019•江苏)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路/,

湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路/上选两个点P、Q,并修建两段直线型

道路总、。4.规划要求:线段PB、QA上的所有点到点0的距离均不少于四O的半径.已

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知点A、B到直线/的距离分别为AC和BZHC、。为垂足）,测得4B=10,AC=6,BD=12

（单位:百米）.

（1）若道路P8与桥A8垂直，求道路PB的长；

（2）在规划要求下，P和。中能否有一个点选在。处？并说明理由；

（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、

。两点间的距离.

73.（2019.江苏）如图，在平面直角坐标系X。），中，椭圆C:捻+\=1（（1>6>0）的焦

2

点为Fi（-l、0）,尸2（1，0）.过尸2作x轴的垂线/,在x轴的上方,/与圆F2:（x-iy+y=

4a2交于点A,与椭圆C交于点。.连结AQ并延长交圆B于点B,连结交椭圆C

于点E,连结已知g=|.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求点E的坐标.

74.（2019•北京（理））已知抛物线C：/=-2py经过点（2,-1）.

（I）求抛物线C的方程及其准线方程；

（II）设。为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线/交抛物线C于两点M,N,

直线y=-l分别交直线OM,ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两

10

个定点.

75.(2019•全国(文))已知点A,B关于坐标原点。对称，|AB|=4,0M过点A,B

且与直线x+2=0相切.

(1)若4在直线x+)=0上，求。M的半径.

(2)是否存在定点P,使得当4运动时，|例A|一|MP|为定值？并说明理由.

76.(2019.上海)已知抛物线方程y2=4%F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF

与抛物线的交点，定义：d(P)=黑.

IFQI

(1)当P(-1,一|)时，求d(P)；

(2)证明：存在常数a,使得2d(尸)=|PF|+a；

(3)Pi，为抛物线准线上三点，且IP1P2I=俨2P3卜判断d(Pj+d(P3)与2d。2)的

关系.

77.(2018・上海)设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0),直线&x=t,

曲线/：y2=8x(0<x<t,y20).，与*轴交于点4、与「交于点B.P、Q分别是曲线

「与线段4B上的动点.

(1)用t表示点B到点F距离；

(2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP,求的面积；

(3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点后在「上？若存在，求

点P的坐标；若不存在，说明理由.

78.(2018•北京(文))己知椭圆“：捻+《=19>6>0)的离心率为争焦距为2但

斜率为k的直线/与椭圆M有两个不同的交点4、B.

(I)求椭圆M的方程；

(II)若k=l,求|4B|的最大值；

(III)设P(—2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点

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为。.若C、D和点Qi—%?共线，求A.

79.（2018・江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（6,今，焦点

&（一百,0）,片（苗,。），圆。的直径为尸1尸2.

（1）求椭圆C及圆。的方程：

（2）设直线/与圆。相切于第一象限内的点P.

①若直线/与椭圆C有且只有一个公共点，求点尸的坐标；

②直线/与椭圆C交于4B两点.若AOAB的面积为公，求直线/的方程.

7

80.（2018•北京（理））已知抛物线C：y2=2px经过点p（1,2）.过点Q（0,1）的直

线/与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线附交y轴于M,直线尸8交y轴于N.

（I）求直线/的斜率的取值范围；

1-1

（II）设。为原点，QM=AQO,QN=nQO,求证：,+［为定值.

81.（2018・全国（文））

在直角坐标系xOy中，曲线G的方程为y=k\x\+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极

轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p2+2pcos8-3=0.

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）若G与C2有且仅有三个公共点，求G的方程.

82.（2018•全国（理））已知斜率为k的直线（与椭圆C：江+g=1交于4B两点,线

43

段的中点为M（1,Tn）（m>0）.

（1）证明：k<

⑵设F为C的右焦点，P为C上一点，且/+西+而=0.证明：|可，府阿|成

等差数列，并求该数列的公差.

83.（2018•全国（文））已知斜率为k的直线I与椭圆C：兰+日=1交于4,8两点.线

43

段AB的中点为M（L7n）（/n>0）.

（1）证明：k<-1；

（2）设尸为C的右焦点，P为C上一点，且而+而+而=6.证明：2|而1=1西|+|丽卜

84.（2018•全国（理））

在平面直角坐标系xOy中，。。的参数方程为卜=‘os°：（。为参数），过点（0,

（y=sin9'

-夜）且倾斜角为a的直线/与O。交于4,B两点.

（1）求a的取值范围；

12

（2）求48中点P的轨迹的参数方程.

85.（2018•浙江）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y?=4x上存在

不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.

（I）设AB中点为M,证明：PM垂直于y轴；

（II）若P是半椭圆x2+”=l（x<0）上的动点，求4PAB面积的取值范围.

4

86.（2018•全国（文））设抛物线C：y2=2x,点4（2,0）,B（-2,0）,过点4的

直线，与C交于M,N两点.

（1）当I与x轴垂直时，求直线的方程；

（2）证明：ZABM=ZABN.

87.（2018•天津（理））设椭圆1+1=1（。>6>0）的左焦点为凡上顶点为反已知椭

a2b2

圆的离心率为孚点4的坐标为（b,0）,且|FB|-|4B|=6VI

（D求椭圆的方程；

（II）设直线/：y=kx（k>0）与椭圆在第一象限的交点为P,且/与直线AB交于点

Q.若橙=#sinN40Q（。为原点），求大的值.

88.（2018.全国（文））设抛物线C：y2=4x的焦点为F,过尸且斜率为k（k>0）的直线

，与C交于4B两点，|4B|=8.

（1）求，的方程；

（2）求过点4,B且与C的准线相切的圆的方程.

89.（2018•天津（文））设椭圆箕+，=19>6>0）的右顶点为人，上顶点为B.已知

椭圆的离心率为\AB\=VI3.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线/：y=Ax（左<0）与椭圆交于P,Q两点，，与直线4B交于点M,且点P,M

均在第四象限.若ABPM的面积是ABPQ面积的2倍，求k的值.

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五、双空题

90.（2021.浙江）已知椭圆^+，=l（a>b>0）,焦点耳（一。,0）,马（c,0）（c>0）,

2

若过6的直线和圆［-|c）+y2=c2相切，与椭圆在第一象限交于点P,且PF21x轴,

则该直线的斜率是,椭圆的离心率是.

91.（2020•浙江）设直线1:丫=/£%+”4>0）与圆％2+丫2=1和圆（％一4）2+丫2=1均

相切，则卜=;b=.

92.（2019•浙江）已知圆C的圆心坐标是（0,m）,半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆

相切于点4（一2,-1）,则m=,r=.

93.（2018.北京（理））已知椭圆M：1+旨=l（a>b>0）,双曲线N；三一1=1.若

双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的

顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为.

14

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近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编

十二、解析几何(答案解析)

I.A

K分析?

首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.

K解析W

由题意可知，双曲线的渐近线方程为：3一?=0,即3x±4y=0,

结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x+4y=0的距离：d==|.

故选：A.

2.A

K分析』

2

设点「(3,%)，由依题意可知，B91),亳+"=1，再根据两点间的距离公式得到|PB「，

然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值.

K解析》

设点POo，yo)，因为8(0,1)，羡+才=1，所以

222

\PB\=诏+仇-I)=5(1-据)+仇-I)=-4犬-2y0+6=-4(y0-丁+受

而一所以当yo=：时，|PB|的最大值为|.

故选：A.

K小结X

本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次

函数的性质即可解出.

3.C

K分析H

本题通过利用椭圆定义得到IMF/+\MF2\=2a=6,借助基本不等式|MFJ.\MF2\<

[M&I+IMF•叫2即可得到答案.

K解析』

1

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由题，a2=9,b2=4,则IMF/+IMF2I=2a=6,

所以|M&|•\MF2\<(也”*2=9(当且仅当=|MF2|=3时，等号成立).

故选：C.

R小结》

椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运

用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.

4.C

K分析?

首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.

K解析』

2

由题意得于—f)="(s)］2,即［a(s7)2+可［a(s+z)+可=(W，

对其进行整理变形：

(as2+at2—2ast+b)(as2+at2+2ast+b)=(as2+b)2,

+at2+一(2asf)2-+〃)=0,

(2as2+at2+2h^at2-4a2s2t2=0,

-2a2s2r+a2t4+2abF=0，

所以一2心2+32+2)=0或1=0,

工Jl

其中〃2b~为双曲线，t=0为直线.

aa

故选：C.

K小结H

关键点小结：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了

核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.

5.A

K分析X

根据双曲线的定义及条件，表示出IPFJIPF2I，结合余弦定理可得答案.

R解析?

2

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因为［PF/=3\PF2\,由双曲线的定义可得|P&|-IPF2I=2\PF2\=2a,

所以|P&l=a,|P居I=3a；

因为=60。,由余弦定理可得4c2=9a2+a2—2x3a-a-cos60°,

整理可得4c2=7a2,所以e2=W=Z,即6=亚.

a242

故选：A

K小结H

关键小结：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c间的等量关系是求解的关键.

6.C

K分析』

设PQo，yo)，由B(o,b),根据两点间的距离公式表示出|PB|,分类讨论求出|PB|的最大值，

再构建齐次不等式，解出即可.

K解析U

设P(g,yo)，由B(o,b),因为胃+畛=1,a2=b2+c2,所以

|PB|2=诏+仇一b)2=a2(1-^1)+仇-b)2=一捻(yo+授)+,++炉,

因为—bWyoSb,当—授〈一/7,即b22c2时，\PB\^ax，即IPBlmax，符合题意，由炉NC2

可得a222c2,即0<eW全；

2

当一与>一人即b2<c2时，省"，即与+a2+b2W4b2,化简得，(c2-b2)23o,显

c2\PB\maxo'

然该不等式不成立.

故选：C.

K小结X

本题解题关键是如何求出IPBI的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域

讨论函数的单调性从而确定最值.

7.D

K分析》

由抛物线的焦点(1,0)可求得直线I的方程为x+(=l,即得直线的斜率为-b,再根据双曲线

的渐近线的方程为y=±1x,可得一b=-*-bx£=-1即可求出a,b,得到双曲线的方程.

K解析U

3

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由题可知，抛物线的焦点为(1,0),所以直线I的方程为％+7=I,即直线的斜率为-b,

又双曲线的渐近线的方程为y=±"，所以i=因为。＞0力＞0,解

得a=1,b=1.

故选：D.

K小结早

本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应

用，属于基础题.

8.B

R分析U

依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定

义可知，线段FQ的垂直平分线经过点P,即求解.

K解析U

如图所示

因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知,

\PQ\=\PF\,所以线段FQ的垂直平分线经过点P.

故选：B.

K小结H

本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.

9.A

R分析力

求出圆心C的轨迹方程后，根据圆心M到原点。的距离减去半径1可得答案.

K解析》

设圆心C(x,y),则4％一3)2+⑶-4)2=1,

化简得(久-3)2+(y-4)2=1,

4

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所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆,

所以|0C|+12\0M\="32+42=5，所以|0C|>5-1=4,

当且仅当C在线段0M上时取得等号，

故选:A.

R小结》

本题考查了圆的标准方程，属于基础题.

10.D

R分析力

根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数y=3x/4—f的图象上,即可求出点p的

坐标，得到|OP|的值.

K解析》

因为|P川-|PB|=2<4,所以点P在以4,8为焦点，实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支

上，由。=2,。=1可得，b2=c2-a2=4-l=3,即双曲线的右支方程为/—1=

1(%>0),而点P还在函数y=3,4—x2的图象上,所以，

y=3V4-x2(%=孚r-——

由2yz,解得《2即|OP|=-+-=V10.

ix2-^-=1(%>0)(y=这N44

故选：D.

K小结H

本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学

运算能力，属于基础题.

11.B