考研数学（数学二）模拟试卷434

考研数学（数学二）模拟试卷434

一、选择题（本题共8题，每题7.0分，共8分。）

3'+/—2

工WO,

1、设f(x)=l。，”=°在x=0处连续，则f（x）在x=0处（）.

A、不可导

B、f(0)=ln23+l

工

C、f(0)=2(ln3+l)

2

D、f(0)=2(In23+l)

标准答案：D

1+In3,

知识点解析:x•因为

3,+——2

zX0,

/(”)=<

f(x)在x=0处连续,所以a=l+ln3,于是f(x)=1+ln3.I=0,

又因为痴3二卫=5JtX二二4坦机

a—0

(3*-l)ln3+e‘一1

=y(In234-1),

Zx

所以f（x）在

2

x=0处可导，且「（0尸2（/3+1）,选（D）.

2、当X-0时，无穷小的阶数最高的是（）.

B、tanx-x

C、(l+tanx),n(1+2x)-l

D。-s/cosx)aresinJ

标准答案：A

知识点解析:

「乎知〜，即「乎也为4阶无穷小；

由limtan,Z-——=lim*£.二_?=《得taar—l〜,即tanx一工为3阶无穷小；

由(l+tanx)ln(l+2x)_i=/a+2x)ln(l+ianx)_i〜]n(i+2x)ln(l+tanx)〜2x2得(l+tanx)31+2x)

一1为2阶无穷小；

由(1—y/cosjc)arcsinr~gz'得(1—y/cosx)arcsinx为3阶无穷小.选(A).

3、对函数f(x)=J。(4一1)ln(l+t)出().

A、仅有极大值

B、仅有极小值

C、既有极大值又有极小值

D、没有极值

标准答案：C

知识点解析：令「(x)=2x(4—x2)]n(l+x2)=0,得xi=-2,X2=0,X3=2.当xV—2

时，f(x)>0；当xW(—2,0)时，f(x)<0；当x€(0,2)时，f(x)>0；当x>2时，

f(x)<0,则x]=-2,X2=2为f(x)的极大值点,X2=0为f(x)的极小值点,选(C).

4、微分方程y"—4y,=x2+cos2x的特解形式为().

A、(ax+bx+c)+(Acos2x+Bsin2x)

B、(ax2+bx+c)+x(Acosx+Bsin2x)

A9

C^(ax+bx'+cx)+(Acos2x+Bsin2x)

D、(ax3+bx2+cx)+x(Acos2x+Bsin2x)

标准答案：C

知识点解析：特征方程为九2—4入=0,特征值为入1=0,入2=4,方程y"-4y=x2的特

解为y।=x(ax2+bx+c)=ax3+bx2+cx；方程y"—4y,=cos2x的特解为

Acos2x+Bsin2x.选(C).

5、设平面图形A由x2+y2、2x及yNx所确定，则A绕直线x=2旋转一周所得旋转

体的体积公式为

().

(A)7rj'(i+)'dy(B)2可：(2-x)(心一尸一工)di

(C)/(1—yj\—jy2)'dy(D)nJ.(\/2x—Jr2—x)也

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：取[x,x+dx]U[（）,i],则dV=2兀（2—x）（后HL—x）dx,所求的体

积为"2小2-工）（行/一工）业；若取yy+dy]U[（）,i],则

dV-兀[2（1—>J\—了,）J2d>—兀（2—y）?dy

=M（1+2）'-（2-dy,所求的体积为

》4。[（1+/】-丁）2-（2-"]力5选⑻

2

6、设f（x）连续，且满足f（x）+2j（）Xf（t）dt=x2+5,则关于f（x）的极值问题有（）.

J.in2

A、存在极小值2

----In2

B、存在极大值2

C、存在极小值万

D、存在极小值一万

标准答案：A

£

知识点解析：等式两边求导，得P（x）+2f（x尸2x,其通解为f（x尸c"x+（x_T）.因

22

为f（0）=5,所以C=l,从而f（x）=e2X+（X—2）.令『（X尸一2e2X+]=（）,得唯一驻

点为小万瓜2・因为「，区）=4>2乂>0,故x=N1n2是极小值点，极小值为

f（；ln2）=；ln2.

7、已知四维列向量（X],。2，（X3线性无关，若向量|3i（i=l,2,3,4）是非零向量且

与向量。1，口2，。3均正交，则向量组Pl，02，83,04的秩为（）.

A、1

B、2

C、3

D、4

标准答案：A

知识点解析：设ai=(aii，ai2，笔3，ai4)T(i=l»2,3),由已知条件有0%尸0。=1,

2,3,4；j=l,2,3),

01121+012*24-aiax34-anX4=o,

即，,(i=1,2,3,4)为方程组，a2i+。心工3=。，的非零解.

。31工1+。32孙+033孙+03414=0由于

四，a2,(13线性无关，所以方程组系数矩阵的秩为3,所以其基础解系含一个解向

量，从而向量组01，p21。3,饱的秩为1，选(A).

8、设A,B及A*都是1133)阶非零矩阵，且AB=O,则r(B)=().

A、0

B、1

C、2

D、3

标准答案：B

知识点解析：由B为非零矩阵得r(A)Vn,从而r(A*)=0或r(A")=l,因为A*为非

零矩阵，所以r(A*)=l,于是r(A)=n-l,又由AB=O得r(A)+r(B)gn,从而

r(B)<l,再由B为非零矩阵得r(B)Nl,故r(B)=l,选(B).

二、填空题(本题共6题，每题上。分，共6分。)

工—sin(sinr)

lim

9、1­,(siar)

标准答案:3

x-sinCsinx)..x-siar,sin_r-sin(sinx)

一一%?有/十”黑(siar)3

[.x-sinx..x—sinx1-cosx1

由lim-----j-=hm-----：---=lim———=—,

*7(sinx)#7xW-03x6

..sinx-sin(sinx)t-sim1

妈―玄万一==6

x-sin(sinx)1

故物=亍

知识点解析:

10、设y=f(x)与y=sin2x在(0,0)处切线相同,其中f(x)可导,则

limCcosx+[/(x-,

.7Jn---■1

标准答案：e1

知识点解析：由y=f(x)与y=sin2x在(0,0)处切线相同得f(0)=0,

由1/(“一£)出=|/(“)d“得

lim[cosx+f(x—，)力广''=lim「cosx+fDd"]""'

JT-。J。J0

=+(cos.r-1+)―“~吐/<2

L。J0

.,,,,p..../—可"…

-成…/r，―/*='一7—

-e-c,

WlimCcosjr+/(x—'=e'.

f(0)=2.―。J。

11Jx2八x-/dx_

标准答案：10兀

知识点解析：

(12J41一—di=J产2，4一(工—2)'dr-■：=*/〃+2)"/4—Ldr

=J[(J+4)，4一=21(/+4)74-x?cLr

X—2siru

(4sin2/+4)2cosf•2costdf

=320’sin2z(1—sin，)df+(cos2zdr=32(2jisin'zdz—J*sin^dz)

32(2X$X■一擀XJX*=10”.

,IL4LIf

12、由方程x+2y+z—2々五"=0所确定的函数z=z(x,y)在点(1,1,2)处的全微分

dz=.

标准答案：&业一2dy

知识点解析：x+2y+z—2A-=0两边对x求偏导得

T一焉(z+工含)=。，

则M=V2.

x+2y+z—2/衣=。两边对y求偏导得

2+靠一焉卜+脸"

则机…)=一2.于是dz=@L2d»

Ny[(工2，)=工2,则

13、设函数y=y(x)在(0,+oo)上满足△)=(才+xsinx)Ax+o(Ax),且

y(x)=•

标准答案:x(l—cosx)

y_

知识点解析：由可微的定义，函数y=y(x)在(0,+8)内可微，且y，="+xsinx或y，

y_

—z=xsinx,由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得

y=(jxsiarAr+C)e=(-cosx+C)«r・

由'得C=l,所以y=z(l—COST).

1::1)

13,不可对角化，则

14、设矩阵A=-3a=

标准答案：。或4

A-1-11

由|2E—A|=-1A—a1=A(A-a)(A—4)-0,

知识点解析：3-1一3得

入尸0,12=a,入3=4.因为A不可对角化，所以A的特征值一定有重根，从而a=0

或a=4.当a=0时，由r(0E-A)=r(A)=2得Xi=X2=0只有一个线性无关的特征向

量，则A不可对角化，a=0符合题意；

3-11]Z10-1\

当a=4时.4E—A=-101I-►10——14I«

3Tl00°由r(4E—A尸2得九2=M=4

只有一个线性无关的特征向量，故A不可对角化，a=4符合题意.

三、解答题（本题共9题，每题7.0分，共9分。）

lim一

tJi#—1+ylnx

15、设f（x）连续，且f（l）=0,f（l）=2,求极限

标准答案：

•J2—X=[1—(JT—1)]：=1—4(工一1)一J(工-1)2+。((工-1)2).

4O

Inz=ln[l4-(x-1)]=(x-1)----"[)+o((«r-1)z).

4

______i3

J2-x-1+klnj〜—了(7-I)•♦故

2o

(人)"8J/O)dz

lim——Z——T-="3

上一1+-llU-

8

3

知识点解析：暂无解析

丁一―u=i+a6#

=0在变换下化为丁丁•=（）

16、设方程万y万一万五v=工+26加九,求常

数a的值.

标准答案：

^5(izHzdzdz\.a,^Z.

—.•,■―.।―zss”・•・■-4―■•।(■•——1―।।)

OuJJ*OpOx3u3ydydudydy2Ju0v

2版之Ouf)2Z9VZr)U,f)1Za"02z_Z32z

■1■—।■■―-A-—一•・・--y-1■'1-।■.।■-・•・・.ZS।i・-y-।・・--4—・・・,

djc:f)u'a_rdu^v2/fiv^UdjcBy2a工du2Oudvdyz

1a<izr）zla2zaz1<^2z

商（万江+石）+万诉•市+后・标十彳•左八

代人整理得（1-亍）y4+（2—a）=0•

…宁=°,故「—2.

从而一

12-a手0,

知识点解析：暂无解析

17、求曲线y=-x2+l上一点P（xo,yo）（其中x（#0）,使过P点作抛物线的切线，此

切线与抛物线及两坐标轴所围成图形的面积最小.

标准答案：切线方程为y=-2X（）X+X（）2+1,令y=0,得切线与x轴的交点为

人（彳（”。+"）'°），令x=o,得切线与y轴的交点为B（0,l+x02）.1）当xo>0

!（彳o+--）

时，因为2工。>0,所以所围成图形面积为

S+2八+」-「（-—+DcLr=。（工：+2］。+，）一之

4”o九43

令;^=；（3/+2-）=0,得=4，

d/Q4工：73

因为二>0,所以当八=4时，所围成的面积最小，所求的点为？（士：•4）・

必，；▼宗支733

、

1■・（z7I।—1—）

2）当xo<O时，因为2°彳“<0,所以所围成的面积为

S=—^-《工：-+-2x（>-4--）~|,（一+l）clr=——（j"o4-2x0+~~）—

4xnJ-i4X03

令=—+2-j）=0,得Jr。=一4、

小。4X；73

因为第I,>。，所以当10=一工时，所围成的面积最小,所求点为P—L4）.

匕。1，・-473A3

知识点解析：暂无解析

18、设f(x)在[0,a]上一阶连续可导，f(0)=0,在(0,a)内二阶可导且『(x)>0.证

明：卜”]出>算小",

2x

xx

标准答案:令(p(x)=Jotfi(t)dt-Tfof(t)dt,

(p(0)=0.

3'(工)=zf(«r)—"I*j/(r)dr——-/(x)=^-/(x)——f/(r)d/,，(0)=0.

i21

/'(])=—/(x>+r可/'(/)—―/(X)=—~[/<z)-1/'(/)]

J333

=-；[]/'(£)一彳/'(彳力=-?[/'(E)—/'(彳)](0<^<x),中

•5JAl

为r(x)>o,所以r(x倬调增加,故r@vf(x),于是叫x)>o(ovxv

«'(0)=0,

由《“得〃<”)>0(0Vz&a),

(x)>0(0<x<a).

j^>(0)=0*

再由，得少(彳)>0(。V/&a),

I中(x)>0(C<x

)于是由3(a)>0,故|x/(x)dx>•f(x)dj-.

知识点解析：暂无解析

J-A-d,

19、计算二重积分七,其中积分区域D={(x,y)I

=Jln(y+H+7)!,公

=ln(14-72)—Jln(z+，r2+1)dz

=ln(l+⑶-*ln(x+/1+/?),-f-f'--dr

°Joyrr7T

=f-7：dr=Jl+x2=72-1.

标准答案：0力+”0

知识点解析：暂无解析

20、设U=fj2+y2,xz),z=z(x,y)由eX+c&z确定，其中f二阶连续可偏导，求

丸

标准答案：

再由U—f（X：+噫=2//：+卜+工八，

施=2工（2＞八+工行）+鲁+，焉）/+（…射（2m+工I闾

=2”（2力11+x尸乙）+（尸一xO/；+Q+工尸）（2R+-

/-

=4彳yf[+（2JT2/'++2xve'）A+（e，、一ie-，、，）/；4-x0厂，（z+/，）/工.

知识点解析：暂无解析

21、求微分方程yu+y*—2y=xex+sin2x的通解.

标准答案：特征方程为『+入一2=0,特征值为初二一2,入2=1,y"+y'—2y=0的通解

为y=Cic2x+C2ex.设y,,+y,—2y=xcx(*)y^+y*—2y=sin2x(**)令(*)的特解为

=j__工1

yi(x)=(ax2+bx)ex,代入(*)得"-6，9'由y"+y，-2y=si/x得y"+y'—2y=2

(1-cos2x),

显然y"+/—21y=义有特解'

对y"+y'—2y=—ycos2x，令其特解为y=Acos2x+Bsin2x，代入得A=^，B=一5・

则yz(/)=---7-4--^；cos2x--~rsin2x♦所以原方程的通解为

44040

y=G「‘+C*+归一吉卜一1+^cos2x--曲.

知识点解析：暂无解析