近五年高考全国统一数学考试理科试卷及答案可打印

2022年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学真题及答案

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题

卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴

好条形码。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.若z=—l+Gi,则-z^-=（）

ZZ—1

f-r,1y/3.16.

A.-1+V3iB.C.--+--1D.—i

DOJJ

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识♦为了解讲座效果，随机抽取10

位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这1。位社区居民在

讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.设全集集={一2,-1,O,LZ3}，集合合={-L2},8={x|犬-4x+3=。},则G（A|JB）=

A（.{1,3）}B.{0,3）C.{-2,1}D.{-2,0}

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体

的体积为（）

^I****^*^^'匚­•，-—：

—••一■__

C16D.20

B123lv

一M一斗的图像大致为（

函教、-（3、-3一、）8sx在区间I2,21

函数y-1-）

30°,则()

A.AB=2ADB.力8与平面所成的角为30。

C.AC=CB,D.片。与平面34CC所成的角为45。

8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，

如图，A8是以。为圆心，O1为半径的圆弧，。是的力9中点，〃在A8上，CO_LAB.“会

CD2

网术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+——.当。4=2,AAOB=60。时,

OA

)

11-35/311-4^9-3>/39-4>/3

A.-------B.-------C.-------D.-------

2222

9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和5乙，

体积分别为％和%.若3=2,则答=（）

S乙Y乙

A.6B.2>/2C.MD.更适

4

x~V-

10.椭圆C：f+3=l（a>b>0）的左顶点为4点八。均在。上，且关于J•轴对称.若

a-b~

直线AP,AQ的斜率之积为1，则。的离心率为（）

4

,73RV2r1n1

2223

11.设函数/（©=sin（公r+1）在区间（0,兀）恰有三个极值点、两个零点，则S的取值范

19.（12分）

甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1（）分，负方得。分，

没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.己知甲学校在三个项目中获胜

的概率分别为0.5,0.4,（）.8,各项目的比赛结果相互独立.

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用才表示乙学校的总得分，求/的分布列与期望.

20.（12分）

设抛物线。：），2=2川（〃>0）的焦点为尸，点力（〃,0）,过产的直线交。于M,N两点.当

直线他垂直于"轴时，曰=3.

（1）求。的方程；

（2）设直线NO与。的另一个交点分别为儿B,记直线MMA8的倾斜角分别为

a,。.当。一《取得最大值时，求直线/出的方程.

21.（12分）

x

e

已知函数f（x）=-----hi.E+x-a.

X

（I）若/（x）20,求a的取值范围；

（2）证明：若/（X）有两个零点玉,工2，则环中2<1・

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的

第一题计分.

22.选［修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

2+f

在直角坐标系X。），中，曲线G的参数方程为，6（C为参数），曲线。2的参数方程

y=4t

2+s

x=-------

为彳6（s为参数）.

y=-4s

（1）写出G的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，/轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为

2cos。—sinO=O,求G与G交点的直角坐标，及G与C2交点的直角坐标.

23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）

已知a,b,。均为正数，且/+从+4/=3,证明：

(1)i+〃+2cW3；

(2)若b=2c,则

ac

理科数学解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.若z=—l+Vii，贝二()

zz-i

A.—1+GB.-1-V3iC.——iD.

33

1x/3.

-----------------1

33

【答案】C

【解析】

【分析】由共扼复数的概念及复数的运算即可得解.

【详解】z=-l-V3i,zz=(-l+>/3i)(-l-V3i)=l+3=4.

z-l+>/3i1B

-----------=------------------=---------F------1

zz-1333

故选：C

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位

社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲

座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

100%

95%....................................................................♦...........................*

90%……♦..........................♦............................*

榔85%

售80%*讲座前

出

75%•讲座后

70%.............................*-

65%……*....................................*

60%....*........*.............................

0IIIIIIIIII

12345678910

居民编号

则()

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】B

【解析】

【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.

【详解】讲座前中位数为+>7()%,所以A错;

2

讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等尸90%,所以讲座后

问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；

讲座前问卷答题的止确率更加分散，所以讲座前问卷答题的止确率的标准差大十讲座后止确

率的标准差，所以C错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%,

讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%，所以D错.

故选:B.

3.设全集U={-2,—1,0,1,2,3},集合4={-1,2},8=饵/-4工+3=0},则

4(Au8)=()

A.{1,3}B.{0,3)C.{-2,1}D.{-2,0)

【答案】D

【解析】

【分析】解方程求出集合用再由集合的运算即可得解.

【详解】由题意，B=jx|x2-4x+3=0}={!,3},所以Au5={-1,1,2,3},

所以0(AL3)={-2,0}.

故选：D.

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的

体积为()

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由三视图还原儿何体，再由棱柱的体积公式即可得解.

【详解】由三视图还原几何体，如图，

2+4

则该直四棱柱的体积V=——x2x2=12.

2

故选：B.

5.函数y=（3,-3'）cosx在区间一万；的图象大致为（）

【解析】

【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

详解】令/3=(3'-37)C0SX,XW,

则/(—)=(3-x—3)cos(—X)=—(3'—3-x)COSJ;=-/(X),

所以/(X)为奇函数，排除BD；

又当工£(),-时，3X-3A>0,cosx>0,所以/(刈>0,排除C.

\L)

故选:A.

6.当x=l时，函数f(x)=41nx+2取得最大值一2,则/'(2)=()

x

11

A.—1B.C.-D.1

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可知八1)=-2,r(l)=O即可解得〃,6,再根据/'(X)即可解出.

【详解】因为函数“X)定义域为(0,+。)，所以依题可知，〃1)=-2,/"(1)=0,而

/r(x)=——-,所以力=_2,。_/?=0,即0=-2为=-2,所以/"(x)=——+—,因

XXXX

此函数/(“在(0,1)上递增，在(l,y)上递减，x=l时取最大值，满足题意，即有

/72)=—1+—=-•-.

V722

故选：B.

7.在长方体ABCQ-AqCQ中，已知片。与平面A3CD和平面AA8/所成的角均为30°,

则（）

A.AB=2ADB.A3与平面AqG。所成的角为3H

C.AC=CB\D.用。与平面B8CC所成的角为

45°

【答案】D

【解析】

【分析】根据线面角定义以及长方体的结构特征即可求出.

【详解】如图所示：

不妨设A8=a,AO="AA=j依题以及长方体的结肉特征可知，片。与平面A3CD所

cb

成角为NBQB,用力与平面所成角为N£^A,所以sin30=玄=行，即

OjLJD]U

b=c,8Q=2c、=，/+/+/,解得〃=缶.

对于A,AB=a,AD=htAB=6AD，A错误；

对于B,过8作于£,易知BE1平面ABC。，所以与平面A8CQ所成

角为NBAE，因为tan/BAE=£=Y2,所以NB4Ew30，B错误；

a2

对于C，AC=&『+b?=，CB[=1片+C1=\/2c»AC工CBI,C错误；

对于D,BQ与平面BB£C所成角为/DBC,sinZDB,C=-1^=y-=,而

0</。4。<90,所以NQ8C=45°.D正确.

故选：D.

8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，

如图，A8是以。为圆心，OA为半径的圆弧，。是的A8中点，。在A3上，CO_LA3.“会

CD2

圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s-AB^—.当04=2,/AOA=60。时,

OA

s二()

AH-3x/3RH-45/3,9-35/3

222

9-4百

F

【答案】B

【解析】

【分析】连接。C,分别求出A氏oc,co,再根据题中公式即可得出答案.

【详解】解：如图，连接0C,

因为C是A8的中点，

所以OC_LA3,

又CDJ.A8,所以O,CD三点共线，

即。D=Q4=QB=2,

又NAO8=60。，

所以A3=0A=08=2,

则0C=百，故CD=2-B

9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和S乙,

体积分别为％和%.若苦"=2,则:=（）

»乙v乙

A.亚B.2X/2c.VioD.

4

【答案】c

【解析】

【分析】设母线长为/,甲圆锥底面半径为4,乙圆锥底面圆半径为弓，根据圆锥的侧面积

公式可得4=2与，再结合圆心角之和可将不为分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两

圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.

【详解】解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为弓，乙圆锥底面圆半径为2，

则*胃=

S乙7rr2lr2

所以/=24,

又一L+—工=2冗、

r6.

则~^:1,

所以/；=]/,/；=：/,

3-3

所以甲圆锥的高4=J/2-"?=争,

乙圆锥的高b=J/2T2二手/,

-7rr^h—i2x-/

所以v券—}=/一%=M.

%22A”需

393

故选：C.

22

10.椭圆C:二+二=1(〃>/?>0)的左顶点为A,点P-Q均在C上，且关于y轴对称.若

cr

直线ARAQ的斜率之积为则C的岗心率为（）

4

A.立B.2/2i口1

—Cr.-L）・一

2223

【答案】A

【解析】

2

ky）,根据斜率公式结合题意可得一r—2=^再根据

【分析】设尸（不，yj,则。（「

一为+优4

22

条+今=1,将M用多表示,，整理，再结合离心率公式即可得解.

【详解】解：4（一区0）,

设P（N，），J,则。（一内，凹）,

则^AP收蟆

xA+a+a

X=二1

故《P•&Q=y

X1+4—X14-Cl—+d~4

又M+£=l，则y、""-"),

Mb2,〃2

WK)b21

所以〃21,即、=上，

----4~—=7a4

rj+Q~4

B

所以椭圆。的离心率”~T

故选：A.

11.设函数/（幻=5而k”+三）在区间（0,兀）恰有三个吸值点、两个零点，则①的取值范

围是（）

'513、「51外<138一

A."»-B.二■，二一C.D.

_36J|_36JI63_

（1319一

^6'~6_

【答案】c

【解析】

TT

【分析】由工的取值范围得到0X+一的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，

3

解得即可.

【详解】解：依题意可得0〉0,因XG（0,^）,所以公¥+口乃+?）,

要使函数在区间（0,乃）恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx的图象如下

所示:

故选：c.

31I1

12.已知〃=一,/?=cos-,c=4sin—,贝ij()

3244

A.c>h>aB.h>a>cC.a>b>cD.

a>c>b

【答案】A

【解析】

【分析】由f=4tan，结合三角函数的性质可得c〉b；构造函数

h4

/(A)=COSX+-X2-1,X€(0,+00),利用导数可得g“，即可得解.

c1(兀'

【详解】因为一=4tan-,因为当XE0,一,sinx<x<tanx

b4I2J

所以tan,>',即f>1,所以c〉。；

44〃

设/(x)=cosx+//一],x£(0,位)，

fr(x)=-sinx+x>0,所以f(x)在(0,+8)单调递增,

(1>131

则/-〉/(0)=0,所以(：00——会>0,

14J432

所以所以c>Z?>a,

故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设向量B的夹角的余弦值为:，且4=1,W=3,则（2。+圻d=.

【答案】11

【解析】

【分析】设2与万的夹角为e,依题意可得cos〃=g,再根据数量积的定义求出£石，最

后根据数量积的运算律计算可得.

【详解】解：设£与B的夹角为。，因为£与行的夹角的余弦值为g，即cose=g,

又4=1,卜卜3,所以〃a•Bcos<9=lx3xg=l,

所以（2l+B）3=27B+片=273+^2=2x1+32=11.

故答案为：11.

14.若双曲线），2一二二i（〃2>（））的渐近线与圆了2+了2-4}?+3=0相切，则〃7二

m

【答案】巫

3

【解析】

【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半

径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可.

2

【详解】解：双曲线），一二二1（〃?>0）的渐近线为y=±\,即x±〃z），=0,

不妨取X+"2y=0,圆M+y2-4v+3=0,即d+（y-2）2=1,所以圆心为（0,2）,半

径1，

依题意圆心（0,2）到渐近线x+my=0的距离d=~^==1,

41+疗

解得=Y3或/〃=一1（舍去）.

33

故答案为：B.

3

15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为.

【答案】—.

35

【解析】

【分析】根据古典概型的概率公式即可求出.

【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有〃=C；=70个结果，这4个点在同一个平面

的有机=6+6=12个，故所求概率P='=—=—.

n7035

故答案为：—

35

Ar

16.已知△ABC中，点。在边BC上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.当一取得最

AB

小值时，BD=

【答案】V3-l##-l+V3

【解析】

AL

【分析】设CD=28O=2/〃>0,利用余弦定理表示出"干后，结合基本不等式即可得

AB2

解.

【详解】设CD=2BD=2，n>(),

则在AABD中，AB2=BD2+AD2-2BDADcosAADB=/w2+4+2m，

在AvACD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=W+4-4//?

AC24m2+4-4m4(苏+4+2川-12(1+阳)

412

二4­

所以^加2+4+2加m2+4+2m

'7m+1

12

>4^==4-2A/3

3

2(m+1).

"i+1

3

当且仅当团+1=一:—即加二百一1时，等号成立,

m+\

所以当生取最小值时，〃?=百-1.

AB

故答案为：＞/3—1.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21

题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求

作答.

（一）必考题：共60分.

2s

17.记S0为数列｛q｝的前〃项和.已知于+〃=2%+1.

（1）证明：｛4｝是等差数列：

（2）若4成等比数列，求s”的最小值.

【答案】（1）证明见解析；

（2）-78.

【解析】

【分析】（1）依题意可得2S“+〃2=2〃a“+〃，根据％作差即可得到

an~an-\=1＞从而得证;

（2）由（1）及等比中项的性质求出卬，即可得到｛q｝的通项公式与前〃项和，再根据二

次函数的性质计算可得.

【小问1详解】

2s

解：因为一-+??=2a+1,即2s“+〃①.

ntl

当“22时，2s〃_1+(〃-I?=2(〃—②，

①一②得，2s“+—2S“_]_(〃_1)=+"_2(〃__1),

即2《+2〃-1=2nat1-2(/2-1)«„_,+1,

即2(〃-1)〃〃一2(〃一1卜*=2(〃-1),所以〃.一〃“・]=1,拉22且〃wN*,

所以｛《,｝是以1为公差的等差数列.

【小问2详解】

解：由(1)可得知=4+3,%=4+6,〃9=6+8，

又久，。7，〃9成等比数列，所以％2=4「出，

即(4+6)2=(q+3>(a+8),解得q=-12,

所以q二〃-13,所以2=-12〃+也二^=，〃2一"〃=，]〃一"[一经

”2222(2J8

所以，当"=12或〃=13时(S〃)min=-78.

18.在四棱锥中，PD_L底面

ABCD.CD//AB.AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6.

（2）求尸。与平面RW所成的角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵巨

5

【解析】

【分析】（1）作OEJ_舫于E，Cb_LAB于/，利用勾股定理证明AD_L5O,根据线

面垂直的性质可得产从而可得80_L平面A4。，再根据线面垂直的性质即可得

证;

(2)以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.

【小问1详解】

证明：在四边形A8CO中，作。石_LAB于E，CF.LABTF，

因为CD//AB,AD=CD=CB=1,AB=2,

所以四边形A8C。为等腰梯形，

所以4石=8产二,，

2

故。E=亭，BD=ylDE?+BE2=国

所以4加+8。2=482，

所以AD_LBO，

因为PD_L平面A8C。，3Z)u平面A8CD，

所以PDJLB。，

又PDcAD=D，

所以3。_L平面PAO,

乂因BAu平面R4O，

所以3O_LQ4；

【小问2详解】

解：如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，

BD=C，

则A(l,0,0),B(0,"0),P(0,0,@,

则Q=(—i,o,G),即=(o,—G,g),而=(。,0,61

设平面PAB的法向量〃=(x,y,z),

n-AP=-x+y/3z=0

则有｛可取〃=(G,i,i),

n-BP=-y/3y+\/3z=0

则哂'而”墙与

所以PO与平面Q43所成角的正弦值为且.

19.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0

分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中

获胜的概率分别为0.5,04,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

【答案】（1）0.6;

（2）分布列见解析，E（X）=13.

【解析】

【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A3,。，再根据甲获得冠军则至少获

胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；

（2）依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,再分别计算山对应的概率，列出分布列,

即可求出期望.

【小问1详解】

设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A所以甲学校获得冠军的概率为

P=P（A8C）+P（ABC\+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.84-0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

【小问2详解】

依题可知，X的可能取值为0,10,2(),3(),所以，

p(X=0)=0.5x0.4x0.8=0.16,

p(X=l())=().5x0.4x().8+().5x0.6x().8+().5x0.4x().2=0.44,

P(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

产(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列为

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E(x)=0x().16+10x0.44+20x0.34+30x().06=13.

20.设抛物线C:=2px(p>0)的焦点为F,点O(p,0),过户的直线交C于例,N两点.当

直线垂直于x轴时，MF\=3.

(1)求C的方程；

(2)设直线与C的另一-个交点分别为A,B,记直线MMA8的倾斜角分别为

a、B.当&一尸取得最大值时，求直线/W的方程.

【答案】(1)产=4X；

(2)AB:x=>/2y+4.

【解析】

【分析】(1)由抛物线的定义可得目=〃+］，即可得解：

(2)设点的坐标及直线MN:x=〃z)，+l,由韦达定理及斜率公式可得心加=238,再由

差角的正切公式及基本不等式可得的月=也，设直线AB:工+〃，结合韦达定理可

AD2,

解.

【小问1详解】

抛物线的准线为工=-5,当与x轴垂直时，点M的横坐标为P，

此时曰?+^=3,所以〃=2,

所以抛物线C的方程为丁=4工；

【小问2详解】

/2\/2\(1\f2\

设M亍，X”亍,)、，A，3号■,外，直线MN:x=zny+l,

x=my+1

由《，可得丁一4加)，-4=0,A>0,yxy2=-4,

y~=4x

k二y—尢二4二必X二4

由斜率公式可得“Vx+>2，楂yL_y1丹+”，

4444

直线MD.x=4二2•y+2,代入抛物线方程可得V-2),^_8=()>

△>o，yy3=-8，所以,3=2%,同理可得乂=2%，

.44kYN

所以&加=-7-二不7一"7~\

片+乂2()1+%)2

又因为直线MN、/W的倾斜角分别为6尸，

所以3s=tan4=寸=亍，

若要使。一夕最大，则

设L=2kAB=2k>0t则

tanor-tan//kI」1V2

tan(a叫==------<----=---

1+tan«tanfl1+2公：+2&2L2k4

k\k

当且仅当』=2攵即4=退时，等号成立,

k2

所以当。一万最大时，38=孝，设直线A8:x=&y+〃,

代入抛物线方程可得)尸-4&)，-4〃=0,

A>0,y3y4=-4n=4y\y2=-16,所以〃=4,

所以直线A8:x=&y+4.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得

出坐标间的关系.

x

e

21.已知函数/(x)=---\nx+x-a.

.1

(1)若/(%)之0,求〃的取值范围；

(2)证明：若/("有两个零点玉,当，则环斗/<L

【答案】(1)(-oo,e+l]

(2)证明见的解析

【解析】

【分析】(I)由导数确定函数单调性及最值，即可得解：

e，-F\(l\]

(2)利用分析法，转化要证明条件一一.©-2\nx--x一一>0,再利用导数即

x2^x)_

可得证.

【小问1详解】

/(X)的定义域为(0,+8),

111x-\e

f'M=4-1

XXXX)X\x

令/a)=o,得x=i

当X£(0,1)J'(x)<0,/(x)单调递减

当Xw(1,+8),r(x)>0,/(x)单调递增f(x)>/(l)=e+l-6f,

若/(x)之(),则e+1—aNO,即aWe+l

所以。的取值范围为(y,e+l]

【小问2详解】

由题知,/(x)一个零点小于1,一个零点大于1

不妨设X<1<冗2

要证XjX2<1，即证XV—

*2

1

因为对一£(0，l),即证/(%)>/

•^2**.

因为/(%)=/(z)，即证/(/)>/

%,

x

eii

即证----lnx+x-xer-\nx——>0,XG(1,+co)

xx

ex工1

即证——xer-2\nx一一X——>0

x21X

-I1f1A

下面证明X>1时，-xex>0,In——x——<0

九2x)

设g(x)=——xex,x>1，

x

1-L1)

则g\x)=er+xev-Ie-e

x2)

x>X'匕;

./

x-\e

---e

X八XX1%

r—I

设8(%)=J(x>l),"(x)=11e'=1e'>0

kA-X~)x-

所以e(x)>e(l)=e,而1<e

所以£_一标>0,所以g'a)>o

X

所以g(x)在(l,y)单调递增

即g0)>g⑴=0,所以xer>0

1

令人(1)=In.r--X——,x>1

2

2x-x2-l-U-1)2

<0

所以力(X)在(1,XQ)单调递减

I1A

即〃(x)<〃(l)=0,所以Inx——x——<0；

21X)

ev1If1A

综上，----xer-2Inx一一x一一>0,所以x/,<1.

x［_X)

【点睛】关键点点睛：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等

式

1(|>

h(x)=\nx--x一—这个函数经常出现，需要掌握

2(X)

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则

按所做的第一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

2+r

X=-----

22.在直角坐标系xO.v中，曲线C1的参数方程为《6(「为参数)，曲线的参数方

y=y[t

2+s

x=--------

程为，6(s为参数).

y=-石

(1)写出G普通方程;

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线g的极坐标方程为

2cose—sin8=0,求&与C1交点的直角坐标，及G与G交点的直角坐标・

【答案】(1)/=6x-2(y>0)；

（2）G，G的交点坐标为（；1），（1,2）,G，G的交点坐标为卜;,t），（-1,-2）.

【解析】

【分析】（1）消去即可得到G的普通方程;

⑵将曲线G，g的方程化成普通方程，联立求解即解出.

【小问1详解】

因为X二21£,），=〃，所以上=21二，即C1的普通方程为y2=6x-2（yN0）.

66

【小问2详解】

2+vl2

因为X=-----,y=-JI，所以6x=-2-丁，即c2的普通方程为y=-6x-2（.y<0）,

6

由2cos夕一sin9=0n2pcosg-psin0=0,即G的普通方程为2x-y=0.

Ugo),解得:1

x=—'=c，即交点坐标为

联立2或，，（1，2）；

2x—y=0y=21对

y=[

“y2=-6x-2(y<0)xx=-11

联立))，解得：《2或，「，即交点坐标为(-?-

），=-2

2x-y=0U二一1

［选修4・5：不等式选讲］

23.已知mb,。均为正数，且/+从+4。2=3,证明:

(1)a+b+2c<3\

(2)若b=2c,则

ac

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据er+6+4c2=a2+从+（2c）2,利用柯西不等式即可得证;

结合已知可得Ova+4c,工3,即可得到一!一2!，再根据权方和不等式即

(2)由(1)

a+4c3

可得证.

【小问1详解】

证明：由柯西不等式有[〃2+〃+(2c)[(12+12+]2)“a+〃+2c)2,

所以。+〃+2c<3,

当且仅当。=b=2c、=l时，取等号，

所以。+0+2c・匕3；

【小问2详解】

证明：因为〃=2c,/?>()»c〉0，由(1)得a+/?+2c=〃+4cW3,

即0va+4cW3,所以一■—

a+4c3

由权方和不等式知工+，=1+21之(1+2)="之3,

aca4ca+4ca+4c

]?1

当且仅当一二一，即a=l,c=不时取等号，

a4c2

11.

-+->3

所以。。.

2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学真题及答案

1.设集合M={x|0VxV4},N={x|；WxW5},则MCN=

A.{x|0VxS力

B.{x|-<x<4}

3

C.{x|4WxV5}

D.{x|0<x<5}

2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调行，将农户家庭年收入的调

杳数据整理得到如下频率分布直方图；

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.