考研数学三(线性代数)模拟试卷131(题后含答案及解析)

考研数学三(线性代数)模拟试卷131(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设A是mXn阶矩阵，B是nXm阶矩阵，则().

A.当m>n时,必有IARIW0

B.当m>n时，必有IABI=0

C.当n>m时，必有IABI70

D.当n>m时，必有IABI=0

正确答案：B

解析:AB为m阶矩阵,因为r(A)Wmin{m,0},r(B)Wmin{m,n},且r(AB)

Wmin{r(A),r(B)J,所以r(AB)Wmin{m,n},故当m>n时,r(AB)WnVm,

于是IABI=0,选

B.知识模块：矩阵

2.设A为mXn阶矩阵，且r(A尸mVn,则().

A.A的任意m个列向量都线性无关

B.A的任意m阶子式都不等于零

C.非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多个解

D.矩阵A通过初等行变换一定可以化为(EmI0)

正确答案：C

解析：显然由得i(A)_r(A)-iiiyu,所以方程组AX-b有无穷多

个解.选

C.知识模块：矩阵

3.设矩阵A=(al,a2,a3,a4)经行初等变换为矩阵B=(B1,P2,P

3,84),且Ql,a2,Q3线性无关，a1,a2,a3,Q4线性相关，则().

A.B4不能由Bl,B2,B3线性表示

B.B4能由Bl,P2,B3线性表示，但表示法不唯一

C.84能由Bl,P2,83线性表示，且表示法唯一

D.B4能否由B1,32,B3线性表示不能确定

正确答案：C

解析：因为al,a2,a3线性无关，而Ql，a2,Q3,Q4线性相关，所

以a4可由al,a2,a3唯一线性表示，又A=(a1,a2,a3,a4)经过有限

次初等行变换化为B=(B1,32,B3,B4),所以方程组xla1+x2a2+x3a3二

a4与xlBl+x2B2+x3B3=B4是同解方程组，因为方程组xlal+x2a2+x3a

3二a4有唯一解，所以方程组乂181+乂282+乂363=84有唯一解，即B4可由B

1,82,83唯一线性表示，选

C.知识模块：向量

4.设A,B是满足AB=O的任意两个非零阵，则必有().

A.A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关

B.A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关

C.A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关

D.A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关

正确答案：A

解析：设A,B分别为mXn及nXc矩阵，因为AB=O,所以r(A)+r(B)〈n,

因为A,B为非零矩阵,所以r(A*Lr(B)2L从而r(A)Vn,r(B)Vn,故A

的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，选A.知识模块：向量

5.设有方程组Ax=O与BX=O,其中A,B都是mXn阶矩阵，下列四个

命题：(1)若AX=O的解都是BX=O的解,则r(A)2r(B)⑵若r(A)Nr(B),则AX=O

的解都是BX=O的解⑶若AX=O与BX=O同解，则r(A)=r(B)(4)若r(A)=r(B),

则AX=()与BX=O同解以上命题正确的是().

A.⑴⑵

B.⑴⑶

C.⑵(4)

D.⑶(4)

正确答案：B

解析：若方程组AX=()的解都是方程组BX=O的解，则n—r(A)Wn—r(B),

从而r(A)2r(B),(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的

秩相等，但反之不对，所以⑶是正确的，(4)是错误的，选

B.知识模块：线性方程组

6.设A为n阶矩阵，下列结论正确的是().

A.矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等

B.若A〜B,则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵

C.若r(A)=rVN,则A经过有限次初等行变换可化为

D.若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等

正确答案：D

解析：A小对，如，A的两个特征值都是0,但r(A)=l；B小对，因为A〜

B不一定保证A.B可以对角化；C不对，如A经过有限次行变换化为经过行变

换不能化为因为A可以对角化，所以存在可逆矩阵P.使得于是r(A尸故选

D.知识模块：矩阵的特征值和特征向量

7.设A是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量X,有XTAX=0,则

().

A.IAI=0

B.IAI>0

C.IAI<0

D.以上都不对

正确答案：A

解析：设二次型仁XTAX二入ly12+入2y22+入3y32,其中Q为正交矩阵.取

则f=XTAX=入1=0,同理可得入2=入3=0,由于A是实对称矩阵，所以r(A)=0,

从而A=0,选A.知设模块：二次型

填空题

8.设A为三阶正交矩阵，且IAIVO,IB-A|二一4,则IE-ABTI

正确答案：一4

解析：IAI<0=>IAI=-l.IE-ABT=IAAT-ABTI=IAII(A

-B)TI=-IA-BI=IB-AI=-4.知识模块：行列式

9.设A,B都是二阶矩阵，且满足(A*)—1B=ABA+2A2,则B=.

正确答案：

解析：IAI二-3,A*=IAI-1A=-3A-1,则(A*)—IB=ABA+2A2化为

AB=ABA+2A2,注意至A可逆，得B=BA+2A或一B=3BA+6A,则B=-6A(E-3A)

-1,知识模块：矩阵

10.设三阶矩阵A的特征值为入1二-1,其对应的特征向量为a1,a2,

a3,令P=(2a3,-3a1,-a2),贝ijP—1(A—1+2E)P=.

正确答案：

解析：P-1(A-1+2E)P=P-1A-1P+2E,而P-1A-1P=知识模块：矩阵

的特征值和特征向量

11.设有三个线性无关的特征向量，则归.

正确答案：0

解析：由I入E—AI=0得A的特征值为入1二一2,入2=入3=6.因为A有

三个线性尢关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E—A)=l,解得a=0.知

识模块：矩阵的特征值和特征向量

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

12.设A=(aij)nXn是非零矩阵，且IAI中每个元素aij与其代数余子式

Aij相等.证明：IA#0.

正确答案：因为A是非零矩阵，所以A至少有一行不为零，设A的第k行

是非零行，贝1JIAI=aklAkl+ak2Ak2++aknAkn=ak12+ak22++akn2>

0.涉及知识点：行列式

13.设矩阵A满足(2E-C-1B)AT=C-l,且，求矩阵A.

正确答案：由(2E—C—1B)AT=C-I,得At=(2E—C-lB—1)—lC—l=[C(2E

-C-1B-1)]-1=(2C-B-1)-1,涉及知识点：矩阵

14.设A为n阶矩阵且r(A)二n=1.证明：存在常数k,使得(A*)2=kA*.

正确答案:因为r(A)=n—1,所以r(A*)=l，于是其中为非零向量，故涉

及知识点：矩阵

15.设Q1,。2,…，at为AX=0的一个基础解系，B不是AX=0的解，

证明：8,B+at,B+Q2,…，B+at线性无关.

正确答案：由al,a2,Qt线性无关二>B,al,a2,…，at线性

无关.令kB+kl(B+al)+k2(B+a2)+…+kt(B+at)=0.即(k+kl+…+kt)6+kl

al+---+ktat=0,丁B,a1,a2,…，Qt线性无关=>k=kl=-,=k,=0.P,

P+a1,B+a2,…，B+at线性无关涉及知识点：向量

设al,a2,Bl,B2为三维列向量组，且al,a2与Bl,82都线性无

关.

16.证明：至少存在一个非零向量可同时由a1,Q2和B1,B2线性表示;

正确答案：因为Ql,02,3I,B2线性相关.所以存在不全为零的常数

kl,k2,11,12,使得klQ1+k2a2+11B1+1282=0,或kla1+kla2=-11F1一

1232.令丫=kla1+k2a2=一11B1-12B2.因为al,a2与Bl,B2都线性无

美.所以kl,k2及11.12都不全为零.所以Y十().涉及知识点：向量

17.设求出可由两组向量同时线性表示的向量.

正确答案：令kl。1+k2a2+11B1+1282=0,A=(a1,a2,Bl,B2);所以

Y=kal-3ka2=-kP1+032.涉及知识点：向量

18.设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a,b,c且不全为零，又且AB=O,

求方程组AX=0的通解.

正确答案：由AB=O得r(A)+r(B)W3且r(A)21.⑴当kW9时，因为r(B)=2,

所以r(A)=l,方程组AX=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解

系可取B的第1、3两列，故通解为(kl,k2为任意常数)；(2)当k=9时,r(B)=l,

lWr(A)W2,当r(A)=2时，方程组AX=0的通解为(C为任意常数);当r(A)=l时,

A的任意两行都成比例，不妨设aW(),由(kl,k2为任意常数).涉及知

识点：线性方程组

19.问a,b,c取何值时，(I),(II)为同解方程组？

正确答案：因为(I),(11)同解，所以它们的增广矩阵有等价的行向量组，(II)

的增广矩阵为阶梯阵，其行向量组线性无关，。1可由81,02,B3唯一线性

表出，a1=-23l+P2+aP3=>a=-l,可由81,[32,B3唯一线性表出，

a2=B1+62—B3=>b=-2.a3可由Bl,B2,B3唯一^1线性表出，«3=361+

B2+B3=>c=4.涉及知识点：线性方程组

20.设A是mXn阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r<

n.证明：方程组AX二b的线性无关的解向量的个数最多是n—r+l个.

正确答案：因为r(A)=r<n,所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n

一r个线性无关的解向量，设为口，g2,…，€n—r.设n0为方程组AX=b

的一个特解，令B()=n(),S1=€1+H1,32=€2+n2,…，3n—r=€n—r+

n0,显然BO,Bl,E2,…，6n—r为方程组AX=b的一组解.令klBl+k2

B2+…+kn—rBn—r=0,即(kl,k2,…，kn—r)n0+kl&l+k2I2+…+kn—

r€n—r=0,上式两边左乘A得(kl,k2,…，kn—r)b=O,因为b为非零列向

量，所以kl,k2,…，kn—r=0,于是klgl+k2，2+…+kn—r&n-r=0,注意到

€1,&2,…，&n-r线性无关，所以kl=k2>・・=kn—r=0,故B(),Bl,B2,…，

8n-r线性无关，即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向

量组.设Bl,B2,…，Bn—什2为方程组AX二b的一组线性无关解，令丫1=

P3—P1,y2=P3—P1,…，丫n—r+1=Bn—r+2—B1,根据定义，易证丫1,

丫2,…，yn-r+1线性无关，又Y1,丫2,…，yn-r+1为齐次线性方程组

AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b

的任意n-r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个

数最多为n—什1个.涉及知识点：线性方程组

设方程组AX=B有解但不唯一.

21.求a；

正确答案：因为方程组AX=B有解但小唯一，所以IAI=0,从而a=-2

或a=l.当a=-2时，方程组有无穷多解；当时，方程组无解，故a=-

2.涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

22.求可逆矩阵P,使得P—1AP为对角阵；

正确答案：由IXE-AI=X(X+3)(入-3)=0得X1=0,入2=3,入3=—3.由

(0E-A)X=0得入1=0对应的线性无关的特征向量为由(3E-A)X=0得X2=3对应

的线性无关的特征向量为由(一3E—A)X=0得入3二一3对应的线性无关的特征向

量为令涉及知混点：矩阵的特征值和特征向量

23.求正交阵Q,使得QTAQ为对角阵.

正确答案：令涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

设二维非零向量a不是二阶方阵A的特征向量.

24.证明：a,AQ线性无关；

正确答案：若Q,Aa线性相关，则存在不全为零的数kl,k2,使得kla

+k2Aa=0,显然k2W0,所以矛盾，所以a,Aa线性无关.涉及知识

点：矩阵的特征值和特征向量

25.若A2。+Aa—6a=0,求A的特征值，讨论A可否对角化；

正确答案：由A2a+Aa—6a=0,得(A2+A-6E)a=0,因为aX0,所以

r(A2+A-6E)<2,从而IA2+A-6EI=0,即I3E+AI.I2E—AI=0,贝ijI

3E+AI=0或I2E-AI=0.若I3E+AIWO,则3E+A可逆，由(3E+A)(2E-

A)a=0,得QE—A)Q=O,BPAa=2a,矛盾；若I2E—AIWO,则2E—A可

逆，由(2E—A)(3E+A)a=0,得(3E+A)a=0,即Aa=-3。，矛盾，所以有I3E+AI

=0且I2E-AI=0,于是二阶矩阵A有两个特征值一3,2,故A可对角

化.涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

26.设有三个线性无关的特征向量，求a及A*.

正确答案：由得入1二入2=1.X3=2.因为矩阵A有三个线性无关的特征向

量，所以A一定可对角化,从而r(E—A)=l.即a=l,故由人=1时，由(E—A)X=O,

得由人=2时，由(2E—A)X=0,得令P=(口，X2,&3)二两边n次塞得涉

及知识点：矩阵的特征值和特征向量

27.设求a,b及正交矩阵P,使得PTAP二

B.

正确答案：因为A〜B,所以tr(A)=tr(B),IAI=IB|,即解得a=l,b=0,

则因为A〜B,所以矩阵A,B的特征值都为入1=1,入2=0,入3=6.当入=1时,

由(E—A)X=O,得口=当人=0时,由