2026新高二数学暑假专题：概率（原卷版）

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暑假作业19概率

【知识点1随机事件与概率】

1．事件的分类

必然事

在条件S下，一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件

确定件

事件不可能

在条件S下，一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件

事件

随机

在条件S下，的事件叫做相对于条件S的随机事件

事件

2．事件的关系与运算

定义符号表示

如果事件A发生，则事件B一定发生，这时

包含关系称事件B事件A(或称事件A包含于事件(或A⊆B)

B)

相等关系若B⊇A且A⊇B

若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B

并事件

发生，称此事件为事件A与事件B的(或A∪B(或A＋B)

(和事件)

和事件)

交事件若某事件发生当且仅当且，则称此

A∩B(或AB)

(积事件)事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)

若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B

互斥事件A∩B＝∅

互斥

对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，A∩B＝∅，P(A∪B)＝

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那么称事件A与事件B互为对立事件P(A)＋P(B)＝1

3．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：

(2)必然事件的概率为1.

(3)不可能事件的概率为0.

(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝

(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝

【知识点2古典概型】

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件都是互斥的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

(1)古典概型的特点

①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．

(2)古典概型的概率公式

A包含的基本事件的个数

P(A)＝.

基本事件的总数

【知识点3相互独立事件的概率】

1．相互独立事件的定义

设A，B是两个事件，若P(AB)＝，则称事件A与事件B相互独立．

2．相互独立事件的性质

若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．

【知识点4频率与概率】

1.在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为

事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．

2.对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的稳定在某个常数上，把这个

记作P(A)，称为事件A发生的概率，简称为A的概率．

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【题型1随机现象与随机事件】

1．（25-26高一下·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（）

①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若xR，则x20．

A．1B．2C．3D．4

2．（2025高一上·全国·专题练习）下列现象是必然现象的是（）

A．走到十字路口遇到红灯B．冰水混合物的温度是1C

C．三角形的内角和为180D．一个射击运动员每次射击都命中7环

3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不

可能事件的是（）

A．3个数字相邻B．3个数字全是偶数C．3个数字的和小于5D．3个数字两两互质

4．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）（多选）给出下列四个命题，其中正确的命题有（）

A．“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件

B．“当x为某一实数时可使x20”是不可能事件

C．“明天竹山要下雨”是必然事件

D．“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件.

【题型2随机事件的频率和概率】

1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列关于事件的概率的说法不正确的是（）

A．从全是黑球的袋中取出红球的概率是0B．从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1

C．太阳从西方升起的概率是0D．明天是晴天的概率是1

2．（25-26高二下·安徽淮北·开学考试）下列说法正确的个数是（）

①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值;

②在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生;

③任意事件A发生的概率PA总满足0PA1;

④若事件A发生的概率趋近于0，而PA0，则A是不可能发生的事件．

A．0B．1C．2D．3

3．（25-26高一上·江西南昌·期末）把标号为1，2，3的三张卡片分发给甲，乙，丙三个人，事件A表示“甲

分得1号卡片”，事件B表示“乙分得1号卡片”，事件C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误的是（）

3/12

A．AB是不可能事件B．A，B是互斥事件

C．ABC是必然事件D．B，C是对立事件

4．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选题）在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6

人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然

事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x可以是（）

A．5B．6C．3D．4

【题型3事件的关系】

1．（2026·上海·高考真题）事件A和事件B相互独立，“A和B至少一个发生”的对立事件是（）．

A．ABB．ABC．ABD．AB

2．（25-26高二上·云南·开学考试）某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”

的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．（2026·湖南株洲·模拟预测）从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相

等的事件是（）

A．全是红球B．至多有1个红球

C．全是白球D．1个红球，1个白球

4．（25-26高二上·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：D1“点数不小于2”，D2“点

数大于2”，D3“点数大于4”，下列结论错误的是（）

A．D3D2B．D2D3D2C．D2D3D3D．D1D2

【题型4事件的运算】

1．（2026·江西·二模）设M,N,P是三个事件，则事件“M、N至少有一个发生且P不发生”可表示为（）

A．MNPB．MNPC．MNPD．MNP

2．（2026高一·全国·专题练习）打靶三次，事件Ai表示“击中i次”，i＝0,1,2,3，则“至少有一次击中”这一事

件用事件的交、并运算应表示为________．

3．（2026高一·全国·专题练习）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A{3个球中有

1个红球2个白球}，事件B{3个球中有2个红球1个白球}，事件C{3个球中至少有1个红球}，事件D={3

个球中既有红球又有白球}．问：

(1)事件D与A,B是什么样的关系？

(2)事件C与A的交事件是什么事件？

4/12

(3)设事件E{3个红球}，事件F{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B,E是什么关系？C与F的

交事件是什么？

【题型5互斥事件、对立事件的辨析】

1．（25-26高一下·天津·期末）分别抛掷质地均匀的两枚硬币．设事件M“第一枚硬币正面朝上”，N“第

二枚硬币反面朝上”．则事件M与N关系描述正确的为（）

A．互斥B．相互独立C．互为对立D．相等

2．（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：Ω“所有样本空间”，Ci“点数为i”，其中i1，2，

3，4，5，6，D1“点数不大于2”，D2“点数大于2”，D3“点数大于4”，则（）

A．C1与C2互斥B．D1D2Ω，D1D2

C．D3D2D．C2，C3为对立事件

3．（多选）柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件A“取出的鞋不成双”，事件B“取出的

鞋都是左脚的”，事件C“取出的鞋都是一只脚的”，事件D=“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一

双鞋”，则下列结论成立的是（）

A．DAB．ACDC．B与D互斥D．C与D对立

4．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥

且对立的两个事件的是（）

A．至少有一个红球；至少有一个白球B．恰有一个红球；都是白球

C．至少一个红球；都是白球D．至多一个红球；都是红球

【题型6互斥事件、对立事件的概率】

13

1．（2026·四川绵阳·三模）已知随机事件A和B，其中P(A)P(B),P(AB)．则P(AB)__________．

24

2．（25-26高二下·上海·期中）设事件A,B是互斥事件，PA0.3，PB0.5，则下列说法错误的是（）

A．PA0.7B．PBPB

C．PAB0.15D．PAB0.8

3．（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A“第一枚硬币正面朝上”，事

件B“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（）

A．A与B互为对立事件B．PAPB

C．A与B相等D．A与B互斥

5/12

1

4．（25-26高一下·北京·期末）已知随机事件A,B满足PABPAB,PAB1，则下列结论：

4

311

①PAPB；②PA；③PA；④PAB．其中所有正确结论的序号是______．

442

【题型7相互独立事件及概率】

1

1．（25-26高二上·上海·期末）相互独立事件A，B满足PAB，PA2PA，则PB________．

6

2．（2026·上海·模拟预测）已知事件A与事件B相互独立，如果PA0.3，PB0.6，PAB________．

3．（25-26高二下·重庆·期中）有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每

次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事

件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（）

A．甲与乙互斥B．丙与丁对立C．甲与丙相互独立D．乙与丁相互独立

4．（2023·吉林·一模）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，

事件A“取出的两球同色”，事件B“第一次取出的是白球”，事件C“第二次取出的是白球”，事件D=“取

出的两球不同色”，则（）

1

A．PBB．B与C互斥

2

C．A与B相互独立D．A与D互为对立

【题型8简单的古典概型】

1．（25-26高二下·上海杨浦·期末）抛掷1枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为

_________．

2．（26-27高二·全国·暑假作业）采用简单随机抽样的方法，从含有25个个体的总体中抽取1个容量为10

的样本，则某个个体被抽到的概率为（）

3211

A．B．C．D．

551025

3．（25-26高一下·湖南·阶段检测）从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之

和大于等于10的概率为（）

1324

A．B．C．D．

51059

4．（25-26高一下·云南·期末）（多选）多项选择题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对

得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．小乐同学在面对一道多项选择题时，仅能明确的排除一个错

误选项A，于是她选择在B、C、D三个选项中随机填涂答案提交，若该题在B、C、D中只有两个选项正

6/12

确，则（）

1

A．若小乐填涂三个选项，则该题得2分的概率为

3

1

B．若小乐随机填涂一个选项，则该题得0分的概率为

3

1

C．若小乐随机填涂两个选项，则该题得5分的概率为

3

1

D．若小乐随机填涂两个选项，则该题得0分的概率为

3

【题型9游戏中的概率】

1．（23-24高二上·上海·阶段检测）如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷99次，那么第98次出现反面朝上的

概率是（）

19811

A．B．C．D．

9999982

2．（23-24高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（）

A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜

B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜

C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜

D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜

3．（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）某比赛为两运动员制定下列发球规则：

规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球；

规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；

规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则

对甲、乙公平的有（）

A．规则一，规则二B．规则一，规则三C．规则二，规则三D．规则一，规

则二，规则三

4．（2026高三·全国·专题练习）有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘

停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，

乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．则正确的猜数方案是

（）

7/12

A．猜“是奇数”或“是偶数”能保证游戏的公平性

B．猜“是4的整数倍的数”甲获胜的希望较大

C．猜“是大于4的数”乙获胜的希望较大

D．猜“是大于5的数”或“小于6的数”也能保证游戏的公平性

【题型10频率与概率】

1．（2026·北京朝阳·模拟预测）地铁某换乘站设有编号为1，2，3，4，5的五个安全出口.若同时开放其中的

两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：

安全出口编

1，22，33，44，51，5

号

疏散乘客时

120220160140200

间（s）

则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（）

A．1B．2C．3D．4

2．（25-26高二上·贵州·阶段检测）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了500次试验，

发现正面朝上出现了300次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）

A．0.6,0.6B．0.6,0.5C．0.5,0.5D．0.5,0.6

3．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（）

①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；

m

②做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率PA；

n

③含百分比的数是频率，但不是概率；

④频率是不能脱离n次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值；

⑤概率是频率的稳定值．

A．①④⑤B．①②C．②③D．②③⑤

4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）从存放号码分别为1,2,,10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每

次取一张卡片并记下号码，统计结果如表：

8/12

卡片号码12345678910

取到的次数101188610189119

则取到号码为奇数的频率是___________．

1

1．（25-26高三上·上海·期中）小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他

3

连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（）

122

A．B．C．1D．介于和1之间的某个实数

333

2．（25-26高二上·湖北孝感·期中）下列说法正确的是（）

1

A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖

1000

B．频率是概率的稳定值，概率是频率的近似值

C．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地均匀

D．通过设计模拟实验的方法研究某地下雨概率.由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，

表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，

9

534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为

20

3．（25-26高一下·全国·课后作业）投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解：

①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率；

②只要连掷6次，一定会“出现1点”；

③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大；

④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19．

其中正确的见解有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足AB的非空集合A，B的四个命题，其中错误的命题是（）

A．若任取xA，则xB是必然事件

B．若任取xA，则xB是不可能事件

C．若任取xB，则xA是随机事件

D．若任取xB，则xA是必然事件

5．（25-26高三·全国·一轮复习）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），

2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1“第一次摸到红球”，R“两

次都摸到红球”，G“两次都摸到绿球”，M“两球颜色相同”，N“两球颜色不同”，则下列说法不正确的

9/12

是（）

A．R1RB．RG

C．RGMD．MN

11

6．（2026·湖北·三模）已知随机事件A、B、C满足PA，PBPC，PABPAC0，

34

1

PBC，则A、B、C至少有一个发生的概率为（）

6

1235

A．B．C．D．

2346

7．（25-26高一下·全国·课后作业）下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球．

游戏1游戏2游戏3

3个黑球和1个白球1个黑球和1个白球2个黑球和2个白球

取1个球，再取1个球取1个球取1个球，再取1个球

取出的两个球同色取出的球是黑球取出的两个球同色

→甲胜→甲胜→甲胜

取出的两个球不同色取出的球是白球取出的两个球不同色

→乙胜→乙胜→乙胜

问其中公平的游戏是（）

A．游戏1B．游戏1和游戏3C．游戏2D．游戏3

8．（25-26高二下·浙江温州·期中）（多选）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且

237

P(A),P(B),P(AB)，则（）

348

5

A．P(AB)B．事件A，B为独立事件

24

513

C．P(B∣A)D．P(ABAB)

824

11

9．（25-26高二下·浙江·阶段检测）设随机事件A，B的对立事件分别为A，B，且PA，PB，

34

1

PAB，则下列结论正确的有（）

6

2551

A．PAB．PABC．PABD．PAB

36126

10．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）把一枚硬币在同等条件下抛掷2025次后，统计正面向上的次数，

则下列说法正确的有（）

10/12

A．正面向上的次数是1012或1013

B．正面向上的频率可能等于0.48

C．正面向上的频率一定等于0.5

D．若正面向上的频率等于0.4，则硬币质量分布可能不均匀

11．（25-26高一下·江苏扬州·期中）（多选）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，

3，4的