2026新高二数学暑假专题：第03讲 空间向量基本定理（2知识点+5大题型）（解析版）

第03讲空间向量基本定理

内容导航

01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向

02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理

03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解

题型01空间向量基底的概念及辨析

题型02用基底表示向量

题型03空间向量基本定理中的参数问题

题型04空间向量基本定理的应用（平行、垂直、数量积、模长、夹角问题）

题型05空间向量的正交分解

04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固

关键词学习目标导航

1.理解空间向量基本定理的意义,培养数学抽象的核心素养.

2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示,培养数

1.空间向量基本定理学抽象的核心素养.

2.空间向量的正交分3.会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量,强化直

解观想象的核心素养.

4.会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角,提升逻辑推理和数学

运算的核心素养.

学习重点：用基底表示其他的向量

学习难点：利用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角、模长等问题

1/39

知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01空间向量基本定理

1、空间向量基本定理

如果向量三个向量a,b,c,不共面，那么对空间任意向量p,存在有序实数组x,y,z,使得pxaybzc.

2、基底与基向量

如果向量三个向量a,b,c,不共面，那么所有空间向量组成的集合就是ppxaybzc,x,y,zR.这个集

合可看作是由向量a,b,c,生成的，我们把a,b,c叫做空间的一个基底a,b,c,都叫做基向量．

对基底的正确理解，有以下三个方面：

（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；

（2）因为0可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着

它们都不是0；

（3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，

二者是不同的概念．

即时即练

1．（25-26高二下·江苏徐州·期中）（多选）若a,b,c为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空

2/39

间的一个基底的是（）

A．a,ab,abB．a,b,c

C．ab,ab,cD．ab,abc,c

【答案】BC

11

【详解】选项A，因为aabab，所以a,ab,ab共面，所以A错误；

22

选项B，因为c与c互为相反向量，又a,b,c为空间的一个基底，

所以a,b,c能构成空间的一个基底，故B正确；

选项C，若ab,ab,c共面，

则存在实数x,y使得cxabyab，即cxyaxyb，

xy0x0

因为a,b,c不共面，所以，解得，进而则可得c0，

xy0y0

得到a,b,c共面，与已知矛盾，所以C正确；

选项D，因为cababc，所以ab,abc,c共面，所以D错误.

2．（25-26高二上·山东济宁·期末）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为M．设

D1A1a,D1C1b,D1Dc，则下列向量中，与B1M相等的向量是（）

1111

A．abcB．abc

2222

1111

C．abcD．abc

2222

【答案】C

【分析】由空间向量的线性运算可得结果.

【详解】如图所示：

111111

B1MB1BBMD1DDBD1DDADCD1DD1A1D1C1abc.

222222

故选：C.

3．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABADAA11，且

3/39

π2π

BAD，AABAAD.

3113

(1)分别求AC1，BD1的长；

(2)证明：AC1BD.

【答案】(1)AC12,BD12

(2)证明见解析

【分析】（1）由空间向量线性运算，可得AC1ABADAA1，BD1BABCBB1，利用数量积运算性质

即可得出．

（）由和，计算出，利用向量数量积运算性质计算即可证明

2BDADABAC1ABADAA1BDAC1.

2π

【详解】（1）因为AABAAD，且AA11，AB1，

113

π1111

故ABAD11cos11,ABAA1ADAA111，

32222

又，故2

AC1ABADAA1AC1(ABADAA1)

222

111，

ABADAA12(ABADABAA1ADAA1)11122

222

111111

由于BDBABCBB，BABC11,BABB111,BCBB111

11222222

2

所以BD1(BABCBB1)

222

BABCBB12(BABCBABB1BCBB1)

111

11122，

222

（2）BDAC1(ABADAA1)(ADAB)

2211

ABADAA1ABAA1AD110，

22

所以AC1BD．

4/39

【方法总结】

判断基底的基本思路及方法

(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底.

(2)方法:

①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底.

②假设a=λb+μc(λ,μ∈R),运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不

共面,能作为基底.

知识点02空间向量的正交分解

1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当

一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用i，j，k表示。

2、正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xiyjzk，

使axiyjzk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。

即时即练

1．（多选题）（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知a,b,c是空间的一个单位正交基底，则下列向量

可以做基底的是（）

A．ac,a,acB．b,ac,ac

C．ab,abc,cD．ac,2ab,bc

【答案】BD

【分析】根据基底的概念，以及空间向量的共面定理，可得答案.

1

【详解】因为aacac，所以ac,a,ac共面，故A不符合题意；

2

因为方程bxacyac，化简可得bxyaxyc，

由题意易知方程无解，所以b,ac,ac不共面，故B符合题意；

因为abcabc，所以ab,abc,c共面，故C不符合题意；

因为方程acx2abybc，化简可得2x1ayxb1yc0，

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2x10

由题意可得yx0，易知该方程组无解，所以ac,2ab,bc不共面，故D符合题意.

1y0

故选：BD.

题型01空间向量基底的概念及辨析

1．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列向量能与向量AB,BC构成空

间的一个基底的是（）

A．CDB．ADC．A1B1D．DD1

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用空间向量基底的意义，结合正方体的构造特征判断即得.

【详解】在正方体中，向量，，

ABCDA1B1C1D1CD//AB//A1B1AD//BC

因此向量CD，AD，A1B1分别与向量AB,BC共面，ABC不能；

而DD1平面ABCD，即向量DD1,AB,BC不共面，D能.

故选：D

2．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）下列可使a，b，c构成空间的一个基底的条件是（）

A．bcB．a，b，c两两垂直C．ambncD．abc0

【答案】B

【分析】根据基底和空间向量共面的条件等知识确定正确答案.

【详解】A选项，由于bc，所以b,c共线，则a，b，c共面，

不能构成基底，所以A选项错误.

B选项，a，b，c两两垂直，则a，b，c不共面，

能构成基底，所以B选项正确.

CD选项，ambnc、abc0abc，都得到a，b，c共面，

不能构成基底，所以CD选项错误.

故选：B

3．（24-25高二上·湖北·阶段检测）在四棱台ABCDA1B1C1D1中，一定能作为空间向量的一个基底的是（）

A．AB,AD,B1D1B．AB,AA1,C1D1C．AB,A1A,A1D1D．AA1,AC,CC1

【答案】C

6/39

【分析】利用不共面的三个向量能作为一组基底一一判断.

【详解】

对，因为所以中三个向量共面，

AB1D1//BD,AB,AD,B1D1

不能作为空间向量的基底，A错误；

对，因为在正四棱台中，，所以中三个向量共面，

BAB//C1D1AB,AA1,C1D1

不能作为空间向量的基底，B错误；

对C，A1D1//AD，且AB,A1A,AD不共面，

所以AB,A1A,A1D1中三个向量不共面，能作为一组基底，C正确；

对D，因为AA1,AC,CC1三个向量均在平面ACC1A1内，

所以AA1,AC,CC1不能作为作为空间向量的基底，D错误；

故选:C.

4．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量a,b,c为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（）

A．ab,bc,caB．ab,bc,ca

C．a,b,abcD．a,bc,ca

【答案】B

【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解.

【详解】对于A，设存在实数x,y，使得abx(bc)y(ca)，可得abyaxb(xy)c，

x1

所以y1，方程组无解，所以ab,bc,ca不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意；

xy0

对于B，设存在实数x,y，使得abx(bc)y(ca)，可得abyaxb(yx)c，

x1

所以y1，解得x1,y1，所以ab,bc,ca共面，不能作为空间基底，所以B符合题意；

yx0

对于C，向量a,b,abc，不存在实数x,y使得abcxayb，

所以a,b,abc不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意；

对于D，设存在实数x,y，使得ax(bc)y(ca)，可得ayaxb(xy)c，

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x0

所以y1，方程组无解，所以a,bc,ca不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意.

xy0

故选：B.

5．（多选题）（25-26高二下·江苏苏州·期中）若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）

rrrrr

A．bc,b,bc

B．ab,ab,c

C．ab,abc,c

D．abc,ab,bc

【答案】AC

【分析】由空间向量共面的判断定理判断即可.

11

【详解】对于A：bbcbc，b可以由bc和线性表示，所以共面.

22bc

x1

对于B：假设abxabycxaxbyc，可得x1，此方程组无解，

y0

所以ab不能用ab和c线性表示，故不共面.

对于C：abcabc，abc可以由ab和c线性表示，所以共面.

对于D：假设abcxabybcxaxybyc，

x1

可得xy1，此方程组无解，所以abc不能用ab和bc线性表示，故不共面.

y1

【技巧归纳】

判断基底的基本思路及方法

(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底.

(2)方法:

①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底.

②假设a=λb+μc(λ,μ∈R),运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不

共面,能作为基底.

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题型02用基底表示向量

1．（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体ABCDA1B1C1D1中，若ABa，ADb，AA1c，E为线

1

段上一点，且，则（）

BC1BEBC1AE

3

22111111

A．abcB．abcC．abcD．abc

33332222

【答案】B

【分析】由空间向量基本定理，结合向量加法和数乘的几何运算求解.

11111

【详解】AEABBEABBC1ABBCBB1ABADAA1abc，

33333

故选：B.

2．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图所示，在四面体ABCD中，点E是CD的中点，记ABa，ACb，

ADc，则BE（）

11111111

A．abcB．abcC．abcD．abc

22222222

【答案】A

【详解】连接AE，如图所示，

∵E是CD的中点，ACb，ADc，

11

∴AEACADbc，

22

在ABE中，BEBAAEABAE，

9/39

111

又ABa，∴BEabcabc．

222

3．（25-26高二下·湖北·阶段检测）如图，三棱锥OABC中，G为ABC的重心，M是OC的中点，则MG

（）

111111

A．OAOBOCB．OAOBOC

333336

1211uuur1uuur1uuur

C．OAOBOCD．OAOBOC

336336

【答案】D

111

【详解】因为G为ABC的重心，所以OGOAOBOC，

333

1

又M是OC的中点，所以OMOC.

2

1111111

所以MGOGOMOAOBOCOCOAOBOC.

3332336

4．（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱ABCA1B1C1中，E是AB的中点，GE2CG，则用向量AB，

AC，AA1表示向量GB1应为（）

12

A．GBABACAA

1631

521

B．GBABACAA

16321

52

C．GBABACAA

1631

52

D．GBABACAA

1631

10/39

【答案】C

21

【详解】在三棱柱ABCA1B1C1中，由GE2CG，得GECE，由点E是AB的中点，得EBAB，

32

2121

所以GBGEEBBBCEABAA(CAAE)ABAA

11321321

21152

(ACAB)ABAAABACAA.

3221631

5．（25-26高二上·四川成都·期末）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在

13

线段AN上，且MNON,APAN，则OP（）

24

111111

A．OAOBOCB．OAOBOC

444444

111111

C．OAOBOCD．OAOBOC

424424

【答案】A

【分析】运用共线向量的线性表示法，结合线段的比例关系确定点N的位置向量，然后利用向量加法的线

性运算，通过逐步表示从已知点出发的路径向量，最终将所求向量用已知基底表示.

13

【详解】因为M是BC中点，N在线段OM上，满足MNON，P在线段AN上，满足APAN，

24

OBOC2

所以OM，ONOM，

23

2OBOCOBOCOBOC

于是ON，ANONOAOA，

3233

333

已知APAN，所以APAN，于是：OPOAAPOAAN，

444

11/39

3OBOC13111

所以OPOAOAOAOBOCOAOAOBOC.

4344444

故选：A

【技巧归纳】

用基底表示向量的步骤

(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.

(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量

的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.

(3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能

含有其他形式的向量.

题型03空间向量基本定理中的参数问题

1．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知a,b,c是空间的一组基底，其中AB2ab，ACac，ADbc，

若A，B，C，D四点共面，则的值为（）

11

A．B．C．2D．2

22

【答案】C

【分析】根据A,B,C,D四点共面得到ABxACyAD，然后列出等式求得参数的值.

【详解】因A，B，C，D共面，故ABxACyAD，

即2abxacybcxaybyxc，

解得x2，y1,xy0，即20，2.

故选：C.

2．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E,F分别

1

为线段PB,PD上的点，若PGGC，且AGxAEyAF，则xy（）

2

12/39

43

A．1B．2C．D．

32

【答案】C

【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解.

1

【详解】由题意可得，PGGC，设PEPB，PFPD，

2

且AGxAEyAFxAPPEyAPPFxyAPxPByPD，

112121

AGAPPGAPPAACAPACAPABBC，

333333

因为ADBC，

2121121111411

所以APABBCAPABADAPAPPBAPPDAPPBPD

3333333333333

4

所以xy.

3

3．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在正四棱锥PABCD中，PE2EB，PFFD，设平面AEF与

直线PC交于点G，则PG：PC（）

1277

A．B．C．D．

551530

【答案】B

3

【分析】假设PGPC，由PCPBPDPA，综合题目条件得PGPE2PFPA，利用共面向

2

量基本定理求解.

【详解】假设PGPC，

因为PCPBBCPBADPBPDPA，

2

因为PFFD，PE2EB，所以PD2PF，PEPB，

3

3

所以PCPE2PFPA，又PGPC，

2

3

所以PGPE2PFPA,

2

13/39

32

因为A、E、F、G四点共面，所以21，解得，

25

所以PG:PC2:5.

故选：B.

4．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M,N分别为棱BC，A1B1的中点，点O在平面DMN上，且AOAC1，

则的值为（）

3434

A．B．C．D．

5589

【答案】D

【分析】先将AO,AC1用平行六面体的棱向量表示，AO可由DM,DN线性表示，建立向量等式，根据向量

相等时对应系数相等，列方程求解.

【详解】设基底，以为原点，令，则，因此，

AABa,ADb,AA1cAC1abcAO(abc)D

点，ADb，

11

M是BC中点，AMab，因此DMAMADab，

22

11

N是AB中点，ANac，因此DNANADabc，

1122

因为O在平面DMN上，所以DO可表示为平面内的向量的线性组合，DOsDMtDN，

11

即：AOADsabtabc，

22

ts

代入AOabc，整理得：a(1)bcsatbtc，

22

t

94

s，解得s，代入得1，即.

2249

s

1

2

5．（25-26高二上·山东聊城·期中）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为梯形，

PF

AD//BC，且AD2BC,E是棱PD的中点，设PC平面ABEF，则的值为__________.

PC

14/39

2

【答案】

3

【分析】利用空间向量基本定理，以AP,AB,AD为一组基底，分别表示PF和PC向量，再根据向量PF与

PC共线的条件PFPC求出参数即可.

1

【详解】以AP,AB,AD为一组基底，所以PCPAABBCAPABAD，

2

PFPAAFAPAF，由已知点F在平面ABE内，即AF与AB,AE共面，

11

可设AFmABnAE，又因为E为PD的中点，所以AEAPAD，

22

11

所以PFn1APmABnAD，由PF与PC共线，设PFPC，

22

1

n1

2

12

所以PFAPABAD，即m，解得mn，

23

11

n

22

PF2

所以，

PC3

2

故答案为：.

3

6．（25-26高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥PABC中，点G为ABC的重心，点M在PG上，且

PM3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若PDmPA，PEnPB，

111

PFtPC，则的值为__________．

mnt

15/39

【答案】4

【分析】以PA,PB,PC为空间一组基底，结合D,E,F,M四点共面，用两种方法表示出PM，由空间向量

111

的基本定理求得的值.

mnt

【详解】连接AG并延长，交BC于点H，以PA,PB,PC为空间一组基底，

由于G是ABC的重心，点M在PG上，且PM3MG，

33332

所以PMPGPAAGPAAH

44443

31131111

PAABACPAPBPAPCPAPAPBPC①，

42244444

连接DM，因为D,E,F,M四点共面，所以存在实数x,y，使得DMxDEyDF，

即PMPDxPEPDyPFPD，PM1xyPDxPEyPF1xymPAxnPBytPC②，

111111

由①②以及空间向量的基本定理可知：1xym,xn,yt，41xy,4x,4y，所

444mnt

111

以41xy4x4y4.

mnt

故答案为：4.

题型04空间向量基本定理的应用（平行、垂直、数量积、模长、夹角问题）

1．（24-25高二上·吉林长春·阶段检测）如图，正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，

H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设ABa,ACb,ADc．

16/39

(1)a,b,c表示EF，并求EF的长；

(2)求EFGF．

1112

【答案】(1)EFabc；EF

2222

1

(2)

4

【分析】（1）根据题意结合空间向量的线线运算求EF，再根据向量的数量积运算求EF即可；

（2）根据题意结合空间向量的线线运算求GF，再根据向量的数量积运算可得EFGF.

【详解】（1）因为E，F分别为棱BC，AD的中点，且ABa，ACb，ADc，

1111

可得EFEBBAAFCBABADABACABAD

2222

111111

ABACADabc，

222222

1

因为正四面体ABCD的棱长为1，则abc1，且abacbc，

2

2

2

111121212111

可得EFabcabcabacbc

222444222

1111111111

，

4442222222

22

即EF，所以EF的长为.

22

111

（2）由题意得GFBDADABca，

222

1122

可得EFGFabccaacab2acbc

44

11111

112，

42224

1

所以EFGF.

4

2．（25-26高二下·甘肃金昌·阶段检测）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，

AA13A1ABA1ADBAD60，设ABa，ADb，AA1c．

17/39

若点，满足，，试用，，表示；

(1)MNBC2BMDN3ND1abcMN

(2)求MN与AC夹角的余弦值．

13

【答案】(1)MNabc