2026新高二数学暑假专题：第04讲 空间向量及其运算的坐标表示（3知识点+5大题型）（解析版）

第04讲空间向量及其运算的坐标表示

内容导航

01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向

02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理

03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解

题型01空间向量中点的坐标表示与对称问题

题型02空间向量线性运算、数量积的坐标表示

题型03空间向量坐标中夹角、模长的运算

题型04空间向量坐标中平行、垂直、共面关系的运算

题型05空间向量坐标中投影向量的运算

04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固

关键词学习目标导航

1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标

1.空间直角坐标系系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置,培养直观想象的核心素养.

2.空间向量运算的坐2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示,提升数学抽象的核心素养.

标表示3.掌握向量平行、向量垂直的坐标表示,并能解决相关的向量的平行、向量的

3.空间向量数量积运垂直问题,强化数学运算的核心素养.

算应用的坐标表示4.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式,提升逻辑推理的核

心素养

学习重点：学会建立合理的空间直角坐标系并求出点的坐标

学习难点：掌握空间向量的平行、垂直、数量积、模长、夹角的坐标运算

1/39

知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01空间向量的正交分解及其坐标表示

一、空间向量的正交分解及其坐标表示

1、空间直角坐标系

(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以O为原点，分别以i,j,k的方向

为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建

立了一个空间直角坐标系Oxyz.

(2)相关概念：O叫做原点，i,j,k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy

平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．

2、空间向量的坐标表示

（1）空间一点的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，i,j,k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向

量OA，且点A的位置由向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使

OAxiyjzk.在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)叫做点A在此空间

直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的

2/39

竖坐标．

（2）空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作OAa.由空间向量基本定理，存在

唯一的有序实数组(x,y,z)，使axiyjzk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的

坐标，上式可简记作a(x,y,z).

（3）右手直角坐标系的定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方

向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．如无特别说明，我们建立的坐标系都

是右手直角坐标系．

二、特殊的的坐标及点的对称坐标

1、几类特殊位置的点的坐标

（1）x轴上的点的坐标为x,0,0

（2）y轴上的点的坐标为0,y,0

（3）z轴上的点的坐标为0,0,z

（4）Oxy平面内的点的坐标为x,y,0

（5）Ozx平面内的点的坐标为x,0,z

（6）Oyz平面内的点的坐标为0,y,z

2、空间中点的对称点的坐标：设点P(x,y,z)为空间直角坐标系中的点，则

（）与点关于原点对称的点是

1PP1(x,y,z)

（）与点关于轴对称的点是

2PxP2(x,y,z)

（）与点关于轴对称的点是

3PyP3(x,y,z)

（）与点关于轴对称的点是

4PzP4(x,y,z)

（）与点关于平面对称的点是

5POxyP5(x,y,z)

（）与点关于平面对称的点是

6POzxP6(x,y,z)

（）与点关于平面对称的点是

7POyzP7(x,y,z)

注：对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论．

三、空间中两点的距离公式

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

（）

1ABOBOA(x2,y2,z2)(x1,y1,z1)(x2x1,y2y1,z2z1)

即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．

3/39

2

（2）222，

|AB|AB(x2x1)(y2y1)(z2z1)

或222．

dA,B(x2x1)(y2y1)(z2z1)

即时即练

1．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的底面三角形ABC中，CACB1，

BCA90，AA12，N为A1A的中点，试建立恰当的空间直角坐标系．

(1)写出A，B，A1，N四点的坐标；

写出向量，，的坐标．

(2)BNBA1A1B

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据题设构建空间直角坐标系Cxyz，结合已知写出对应点坐标；

（2）应用空间向量的坐标表示及（1）中对应点坐标写出向量的坐标.

【详解】（1）由BCA90，知ACBC，结合直三棱柱的性质知侧棱CC1AC，CC1BC，即AC,BC,CC1

两两互相垂直，

y

以C为原点，分别以CA,CB,CC1的方向为x轴、轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，如图所

示，

易知，点A在x轴上，点B在y轴上，且CACB1，AA12，

则A1,0,0，B0,1,0，A11,0,2，N1,0,1；

（2）BN10,01,101,1,1，

4/39

BA110,01,201,1,2，

A1BBA11,1,2．

2．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）点M1,2,3关于平面yOz的对称点的坐标是（）

A．1,2,3B．1,2,3C．1,2,3D．1,2,3

【答案】A

【详解】∵空间直角坐标系中，点关于平面yOz对称时，纵坐标与竖坐标保持不变，横坐标变为原横坐标

的相反数.

∴点M1,2,3关于平面yOz的对称点坐标为(1,2,3)

【方法总结】

1、建系确定点的坐标的原则

(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则:

①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.

②充分利用几何图形的对称性.

(2)求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射

影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标.

2、空间中点的对称点的坐标：设点P(x,y,z)为空间直角坐标系中的点，则

（1）与点P关于原点对称的点是P1(x,y,z)

（2）与点P关于x轴对称的点是P2(x,y,z)

（3）与点P关于y轴对称的点是P3(x,y,z)

（4）与点P关于z轴对称的点是P4(x,y,z)

（5）与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x,y,z)

（6）与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x,y,z)

（7）与点P关于Oyz平面对称的点是P7(x,y,z)

注：对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论．

知识点02空间向量运算的坐标表示

、设=，，,=，，，空间向量的坐标运算法则如下表所示：

1a(a1a2a3)b(b1b2b3)

5/39

运算坐标表示

加法=＋，＋，＋

ab(a1b1a2b2a3b3)

减法=－，－，－

ab(a1b1a2b2a3b3)

数乘＝，，,

a(a1a2a3)R

数量积＋＋

aba1b1a2b2a3b3

即时即练

1．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知a2,3,1,b2,0,3,c0,0,2，则a6b8c为（）

A．14,3,3B．14,3,7C．10,3,1D．10,3,3

【答案】A

【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解.

【详解】已知a(2,3,1)，b(2,0,3)，c(0,0,2)，分别计算三个坐标：

x坐标：2628014

y坐标：360803

z坐标：16382118163

因此a6b8c(14,3,3).

2．（25-26高二上·广东河源·期末）已知a2,4,1，b2,2,m，且ab7，则m（）

A．-5B．1C．3D．5

【答案】A

【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示求参数即可.

【详解】已知a2,4,1，b2,2,m，且ab7，

所以ab22421m7.

解得m5.

故选：A.

【方法总结】

空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法

(1)根据已知向量的坐标,代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算.

(2)熟练应用有关的公式:

①(a+b)2=a2+2a·b+b2;

6/39

②(a-b)2=a2-2a·b+b2;

③(a+b)·(a-b)=a2-b2.

(3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似,可类比记忆.计算2a·(-b),既可以利用运算律把

它化成-2(a·b),也可以先求出2a,-b,再求数量积.

知识点03空间向量平行、垂直、数量积运算应用的坐标运算

1、两个向量的平行与垂直

=，，,=，，

a(a1a2a3)b(b1b2b3)

a1b1

平行（）

abab(b0)aba2b2R

a3b3

垂直（）（均为非零向量）

ababab0a1b1a2b2a3b30a,b

a1b1

特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才

ab(b0)a2b2Rb

a3b3

aaaa

能写成123例如，若与坐标平面平行，则，这样3就没有意义了

.bxOyb30.

b1b2b3b3

2、向量长度的坐标计算公式

2

若a=(a，a，a)，则2222，即222

123|a||a|aa1a2a3|a|a1a2a3

空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的

体对角线的长度

3、两个向量夹角的坐标计算公式

aba1b1a2b2a3b3

设=，，,=，，，则

a(a1a2a3)b(b1b2b3)cosa,b222222

|a||b|a1a2a3b1b2b3

即时即练

1．（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）已知ax,4,1,b2,y,1,c3,2,z，a//b,bc，求：

(1)a,b,c；

(2)向量ac与bc夹角的余弦值.

7/39

【答案】(1)a2,4,1,b2,4,1,c3,2,2

2

(2)

19

x41

【详解】（1）因为a//b，所以，

2y1

解得x2,y4，则a2,4,1,b2,4,1，

因为bc，所以b·c0，即68z0，

解得z2，所以c3,2,2.

（2）由（1）得ac5,2,3,bc1,6,1，

所以向量ac与bc夹角的余弦值为

ac·bc51232

.

acbc383819

2．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知向量a2,1,2,b1,1,4.求：

(1)2a3b

(2)a,b

【答案】(1)2a3b310

(2)a,b

4

【分析】（1）先通过“数乘向量”分别计算2a、3b，再通过“向量减法”得到2a3b的坐标，最后利用“空间

向量模长公式（222）计算模长；

”cc1c2c3

（2）先通过“空间向量点积公式”计算ab，再分别计算a、b的模长，最后代入“向量夹角公式”

ab

（cosa,b），结合夹角范围确定最终角度.

ab

【详解】（1）2a22,1,24,2,4，3b31,1,43,3,12，

222

2a3b43,23,4121,5,8,2a3b1(5)890310，

故2a3b310.

（2）ab2111242189，

222

a2(1)(2)4143，

b1212(4)211161832，

8/39

ab912

cosa,b，

ab33222

因为向量夹角范围是0,，所以a,b.

4

3．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量a2,0,1,b1,1,0,c0,,1，若a,b,c共面，则

（）

A．2B．1C．2D．1

【答案】C

【分析】由题意得cmanb，列出方程组求解即可．

【详解】因为a,b,c共面，所以存在m,nR，使得cmanb，

2mn0m1

即0,,1m2,0,1n1,1,0n，解得n2，

m12

所以2．

4．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量a2,2,0在向量b3,0,4上的投影长为（）

652

A．B．32C．D．

5263

【答案】A

【分析】先求投影向量，再求模即可.

【详解】因为向量a2,2,0,b3,0,4，

所以ab2320046,b3202425，

babbabb

所以向量a在向量b上的投影向量为：cacosa,ba，

babbbb

abbabbab66

所以向量a在向量b上的投影长为：c.

bbbbb55

【方法总结】

(1)判断向量是否平行、垂直,可根据向量平行、垂直的坐标表示转化为判断代数等式是否成立.

(2)根据向量的平行、垂直求参数,可转化为解关于参数的方程(组).

(3)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数的值,

则利用平行或垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解.

(4)利用向量证明直线平行或垂直,则要建立恰当的空间直角坐标系,求出相关向量的坐标,利用向量平行、垂

9/39

直的充要条件证明.

(5)通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点在坐标轴上,以便写点的坐标时更便捷.建

立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标表示,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算

求解夹角和距离问题

题型01空间向量中点的坐标表示与对称问题

1．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知点B是点A1,2,5在坐标平面Oxz内的投影，则点B的坐标为（）

A．0,2,0B．1,2,0C．1,0,5D．0,2,5

【答案】C

【分析】根据点在坐标平面上的投影的性质求解.

【详解】因为点A1,2,5在坐标平面Oxz内的投影横、竖坐标不变，纵坐标为0.

所以B1,0,5.

故选：C

2．（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A3,1,0，若向量AB2,5,3，

则（）

A．B5,4,3B．B1,6,3C．B1,6,3D．B2,5,3

【答案】A

【分析】利用向量AB的坐标公式直接计算即可.

【详解】设Bx,y,z，已知A3,1,0，向量AB2,5,3.

所以ABx3,y1,z2,5,3，

解得：x5，y4，z3.

所以B5,4,3.

故选：A

3．（25-26高二上·河南洛阳·期末）在空间直角坐标系Oxyz中，点M(3,2,1)关于平面Oxz对称的点为M1，

点M2与点M1关于y轴对称，则点M2的坐标为（）

A．(3,2,1)B．(3,2,1)

C．(3,2,1)D．(3,2,1)

【答案】D

10/39

【分析】根据对称性规则逐一求出M1,M2的坐标.

【详解】由题意得M13,2,1，则M23,2,1.

故选：D

4．（25-26高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，对空间中任意一点Px,y,z，则下

列叙述错误的是（）

A．点P关于x轴的对称点是P1x,y,zB．点P关于平面yOz的对称点是P2x,y,z

C．点P关于y轴的对称点是P3x,y,zD．点P关于原点的对称点是P4x,y,z

【答案】C

【详解】在空间直角坐标系中：

关于x轴对称，x坐标不变，y、z坐标变为相反数，即x,y,zx,y,z，选项A正确；

关于平面yOz对称，平面yOz上的点满足x0，对称时x变为相反数，y、z不变，即x,y,zx,y,z，

选项B正确；

关于y轴对称，y坐标不变，x、z坐标变为相反数，即x,y,zx,y,z.选项C中x,y,z是关于平

面xOz对称得到的坐标，故选项C错误；

关于原点对称，x、y、z坐标都变为相反数，即x,y,zx,y,z，选项D正确.

5．如图长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD4,AA12,M,N分别是A1C1,CD1的中点，如图所示建系，则

M,N中点的坐标为（）

3

A．2,3,3B．2,3,

2

1

C．0,1,D．0,1,1

2

【答案】B

【分析】根据给定的图形，求出相关点的坐标，再利用中点坐标公式求解作答.

【详解】依题意，A1(0,0,2),C1(4,4,2),C(4,4,0),D1(0,4,2)，

因此线段A1C1的中点M(2,2,2)，线段CD1的中点N(2,4,1)，

3

所以M,N中点的坐标为(2,3,).

2

11/39

故选：B

6．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知空间向量p2a3b3c，q3abc，则pq以a,b,c为单

位正交基底时的坐标为（）

A．5,3,4B．5,2,4C．2,3,3D．3,1,1

【答案】B

【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理，结合单位正交基底，求向量的坐标.

【详解】空间向量p2a3b3c，q3abc，则pq5a2b4c，

故pq以a,b,c为单位正交基底时的坐标为5,2,4.

故选：B.

7．（25-26高二上·广西玉林·期末）已知点A1,2,2，B1,3,4，若AP2AB，则点P的坐标是______.

【答案】(1,4,6)

【分析】利用空间向量坐标运算求解即可.

【详解】由点A1,2,2，B1,3,4，得AB(0,1,2)，则AP2AB(0,2,4)，

所以点P的坐标是(1,4,6).

故答案为：(1,4,6)

8．（23-24高二上·河南新乡·期中）一束光线自点P1,2,3发出，被Oxy平面反射后到达点Q4,4,4被吸收，

则该光线所走的路程是______．

【答案】62

【分析】先求出点Q4,4,4关于平面Oxy的对称点Q4,4,4，再根据光的反射定律，将所求路程转化为

点P1,2,3到点Q4,4,4的距离，即可求解.

【详解】因为入射光线被Oxy平面反射后到达点Q4,4,4被吸收，所以根据光的反射定律可知，入射光线

必过点Q4,4,4，

222

故该光线从发射到吸收所走过的路程为PQ41424362．

故答案为：62.

π

9．（24-25高二上·全国·课后作业）在直三棱柱ABOABO中，AOB，AO4，BO2，AA4，

11121

111

D为A1B1的中点，以OA,OB,OO1为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求DO，AB

4241

的坐标．

12/39

【答案】DO2,1,4；A1B4,2,4

11

【分析】根据空间向量的线性运算可得DOOAOBOO，ABOBOAOO，进而结合题设求

22111

解即可.

1

【详解】由题意DOODOO1O1DOO1O1A1O1B1

2

111

，

OO1OAOBOAOBOO1

222

所以DO2,1,4.

又A1BOBOA1OBOAAA1OBOAOO1，

所以A1B4,2,4

【技巧归纳】

1、建系确定点的坐标的原则

(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则:

①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.

②充分利用几何图形的对称性.

(2)求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射

影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标.

2、空间中点的对称点的坐标：设点P(x,y,z)为空间直角坐标系中的点，则

（1）与点P关于原点对称的点是P1(x,y,z)

（2）与点P关于x轴对称的点是P2(x,y,z)

（3）与点P关于y轴对称的点是P3(x,y,z)

（4）与点P关于z轴对称的点是P4(x,y,z)

（5）与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x,y,z)

13/39

（6）与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x,y,z)

（7）与点P关于Oyz平面对称的点是P7(x,y,z)

注：对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论．

题型02空间向量线性运算、数量积的坐标表示

1．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知a3,2,5，b1,5,2，则abab（）

A．21B．8C．68D．-3

【答案】B

【详解】根据题意，ab2,7,3,ab4,3,7，

则abab2473378.

2．（25-26高二上·河北张家口·期末）已知空间中三点A1,0,2，B2,3,1，C3,4,2，则BC3AC（）

A．1,3,1B．1,3,1C．5,11,1D．5,11,1

【答案】D

【分析】利用空间向量的坐标规则进行线性运算即可.

【详解】因为BC1,1,1，AC2,4,0，3AC32,4,06,12,0，

所以BC3AC1,1,16,12,016,112,105,11,1

故选：D.

1

3．（25-26高二上·全国·单元测试）在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，已知正方体的棱长为2，PRPQ，

3

则点R的坐标为（）

241144

A．,2,B．,2,C．1,2,1D．,2,

333333

【答案】D

14/39

【分析】由题意，得到P2,2,2，Q0,2,0，再利用向量线性关系求解.

122

【详解】由题意，P2,2,2，Q0,2,0，所以PQ(2,0,2)，PRPQ,0,，

333

44

所以R,2,．

33

故选：D

4．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知A1,0,2，B1,3,1，M是z轴上一点，若MAMB，则M点的

坐标为（）

A．0,1,0B．0,0,1C．0,0,3D．0,0,3

【答案】C

【分析】设点M坐标，由坐标系中点与点的距离公式求出MA,MB，然后建立方程解得M坐标.

【详解】设M0,0,a，

22

则MA1202a2，MB1232a1，

∵MAMB，

22

∴1202a21232a1，即a24a5a22a11，

∴a3，即M0,0,3.

故选：C.

5．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知a,b,c满足2ab0,5,10,c1,2,2，ac5则bc的值

为（）

A．18B．18C．20D．20

【答案】D

【分析】根据已知由空间向量的坐标运算求得2abc10，根据数量积的运算律结合ac5，即可

得bc的值．

【详解】由已知，2abc0102010，

所以2abc2acbc10，

又ac5，所以bc20.

故选：D.

6．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为正方形，

M为AB的中点，N为PD的中点．若PA4，AB2，则MNPC（）

15/39

A．0B．-4C．-8D．8

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，写出P，C，M，N的坐标，求出MN，PC的坐标，利用向量的数量积

公式求解.

【详解】PA平面ABCD，底面ABCD为正方形，

以A为原点，以AB,AD,AP所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

PA4，AB2，

A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，

M为AB的中点，N为PD的中点，M(1,0,0)，N(0,1,2)，MN(1,1,2)，

PC(2,2,4)，MNPC12122(4)8.

故选：C.

【技巧归纳】

空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法

(1)根据已知向量的坐标,代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算.

(2)熟练应用有关的公式:

①(a+b)2=a2+2a·b+b2;

②(a-b)2=a2-2a·b+b2;

③(a+b)·(a-b)=a2-b2.

(3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似,可类比记忆.计算2a·(-b),既可以利用运算律把

它化成-2(a·b),也可以先求出2a,-b,再求数量积.

16/39

题型03空间向量坐标中夹角、模长的运算

1．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知向量AB1,2,2，CD2,1,2，则cosAB,CD（）

42312

A．B．C．D．

9933

【答案】A

【分析】利用空间向量数量积坐标运算即可求解.

⃗⃗

⃗⃗AB⋅CD−1,2,2⋅2,1,244

【详解】由于cosAB,CD====，

⃗⃗−12+22+22×22+12+223×39

AB⋅CD

故选：A.

2．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量ax,0,3，b0,1,2，若ab3，则x的取值为（）

A．±1B．7C．1D．7

【答案】B

【分析】根据模长公式即可求解.

【详解】因为向量ax,0,3，b0,1,2，

所以abx,1,1,又因为ab3，

222

所以abx113，故x7，

故选：B

3．（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）已知a1,1,0,b0,1,1,c1,0,1,pab,qa2bc，则

cosp，q的值为（）

55

A．B．

1010

55

C．D．

55

【答案】A

【分析】由题可得p，q坐标，然后由空间向量夹角余弦坐标公式可得答案.

【详解】pab1,0,1,qa2bc0,3,1.

pq115

cosp,q

则2.

pq12132122510

故选：A

4．（25-26高二上·山东淄博·期中）已知空间向量a1,k,2，b2,1,3．若abab，则实数k的

17/39

值为（）

A．4B．6C．8D．10

【答案】C

【分析】由abab得ab0，结合空间向量数量积的坐标表示建立关于k的方程，解之即可求解.

【详解】由题意知，ab2k68k，

由abab，得(ab)2(ab)2，

2222

即a2abba2abb，

所以ab0，所以8k0，解得k8.

故选：C

4

5．（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量a1,2,，b2,2,1，若cosa,b，则正实数的值为

9

（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【分析】由向量的夹角公式结合向量的数量积与模长公式进行计算即可.

【详解】因为a(1,2,),b(2,2,1)，则有ab246，

ab64

cosa,b，

ab122222222(1)29

122

解得2或，由题得0，故2.

7

故选：B

6．（25-26高二上·贵州黔南·期末）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点，则

直线EF与直线CG所成角的余弦值为（）

15153030

A．B．C．D．

15153030

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角的余弦值.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．

18/39

设正方体的棱长为1．由E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点，

1111

可得C0,1,0,G1,1,,E0,0,,F,,0，

2222

1111

所以CG1,0,,EF,,．

2222

11

CGEF15

由向量夹角公式，得cosCG,EF24，

5315

CGEF

44

15

因此直线EF与CG所成角的余弦值为．

15

故选：B

7．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量a2,1,1，bm,3,3，若a与b的夹角是锐角，则m

的取值范围是（）

A．,66,3B．,3

C．3,66,D．3,

【答案】C

【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可.

【详解】因为空间向量a2,1,1，bm,3,3，

若a与b的夹角是锐角，则a·b2m330且23m不成立，

所以3m6或m6.

故选：C.

8．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形ABCD中，若向量AB3,5,2,CD7,1,4，点E,F

分别为线段BC,AD的中点，则EF（）

2230

A．B．C．22D．30

22

【答案】C

19/39

11

【分析】利用ABB