2026新高二数学暑假专题：第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系（2知识点+4大题型）（解析版）

第05讲用空间向量研究直线、平面的位置关系

内容导航

01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向

02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理

03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解

题型01空间中直线的方向向量

题型02平面的法向量

题型03利用空间向量解决平行及其探索性问题

题型04利用空间向量解决垂直及其探索性问题

04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固

关键词学习目标导航

1.理解直线的方向向量与平面的法向量,培养数学抽象的核心素养.

1.直线的方向向量

2.掌握利用空间向量研究空间中直线与平面的位置关系,提升逻辑推理的核

2.平面的法向量

心素养.

3.用空间向量研究直

3.培养作图能力和空间想象能力,增强应用数学的意识,强化直观想象的核心

线、平面的位置关系

素养.

学习重点：会求直线的方向向量平面的法向量

学习难点：能用空间向量解决直线、平面的位置关系

1/32

知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01直线的方向向量、平面的法向量

一、用向量表示点、直线、平面的位置

1、用向量表示点的位置：

在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量OP表示.我们把向量OP称为点

P的位置向量.如图.

2、直线的方向向量

如图①,a是直线l的方向向量,在直线l上取ABa,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线l上的充要

条件是存在实数t,使得APta，即APtAB

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3、空间直线的向量表示式

如图②,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OPOAta①

或OPOAtAB②

①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确

定.

4、用向量表示空间平面的位置

如图（1），设两条直线相交于点o，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，由平面向量

基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x,y)，使得OPxayb．这样，点o与向量a和b不仅可以确

定平面，还可以具体表示出内的任意一点．

进一步地，如图（2），取定空间任意一点o，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在

实数x,y，使OPOAxAByAC（*）.我们把（*）式称为空间平面ABC的向量表示式．

二、平面的法向量

1、平面法向量的定义

如图，若直线l，取直线l的方向向量a，称a为平面的法向量；过点A且以a为法向量的平面完全确

定，可以表示为集合PaAP0．

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2、平面法向量的性质

（1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量；

（2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．

3、求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:

（1）设向量：设平面的法向量为n(x,y,z)

（2）选向量：选取两不共线向量AB,AC

nAB0

（3）列方程组：由列出方程组

nAC0

nAB0

（4）解方程组：解方程组

nAC0

（5）赋非零值：取其中一个为非零值（常取)

（6）得结论：得到平面的一个法向量.

即时即练

1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若A1,0,1，B2,1,2在直线l上，则直线l的一个方向向量是______

【答案】1,1,3（答案不唯一，只要与向量1,1,3共线即可）

【详解】因为A1,0,1，B2,1,2在直线l上，

所以AB1,1,3可以是直线l的一个方向向量.

2．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）ABC在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中OA1，OB4，

OC2．则平面ABC的一个法向量是（）

A．4,2,1B．1,2,4C．12,4D．1,2,4

【答案】B

【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标.

【详解】由题意，A(0,0,1),B(4,0,0),C(0,2,0),AB(4,0,1),BC(4,2,0).

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设平面ABC的法向量为n(x,y,z).

nAB4xz0

则，令x1，则z4,y2.

nBC4x2y0

平面ABC的一个法向量n(1,2,4)

【方法总结】

1、直线的方向向量

(1)直线的方向向量为非零向量.

(2)直线的方向向量有无数个,如果a是直线的方向向量,则λa(λ≠0)必是直线的方向向量.求一条直线的方向向

→

量,可以在直线上取两点a,b,则AB即为直线的一个方向向量.

2、平面的法向量的求解方法

(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z).

(2)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标:a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).

n·a=0,

(3)依据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组

n·b=0.

(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量,由于一个平面的法向量有无数多个,故可在方程组的解中取一个最

简单的作为平面的法向量.

知识点02空间向量在直线、平面的平行与垂直中的应用

1、空间中直线、平面的平行

设直线的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则

l1,l2abnm

线线平行⇔⇔

l1l2abab(R)

线面平行⇔⇔

l1anan0

面面平行⇔nm⇔nm

2、空间中直线、平面的垂直

设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，

l1a(a1,b1,c1)l2b(a2,b2,c2)n(x1,y1,z1)

平面的法向量为，则

m(x2,y2,z2)

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线线垂直⇔⇔

l1l2ab0a1a2b1b2c1c20

a1x1

线面垂直⇔⇔⇔

l1ananb1y1

c1z1

面面垂直⇔⇔⇔

nmnm0x1x2y1y2z1z20

即时即练

1．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平

面ABCD，且PAAB1，点E是PD的中点，求证：直线PB//平面AEC；

【答案】证明见解析

【分析】建立适当空间直角坐标系，设ACa，写出相关点的坐标，求出向量PB和平面AEC的一个法向

量n，利用PBn0即可证明；

【详解】因为PA平面ABCD，AB,AC平面ABCD，

所以PAAB,PAAC，又ABAC，

故可以AC,AB,AP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

设ACa，因为PAAB1，

所以A(0,0,0),B(0,1,0),C(a,0,0),D(a,1,0),P(0,0,1)，

a11

又因为E是PD的中点，所以E(,,)，

222

a11

所以PB(0,1,1),AC(a,0,0),AE(,,)，

222

设平面AEC的一个法向量为n(x,y,z)，

6/32

nACax0

则有a11，取y1，则n0,1,1，

nAExyz0

222

所以PBn110，所以PBn，

所以直线PB//平面AEC.

2．如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，

侧面PBC底面ABCD．

(1)证明：PABD；

(2)证明：平面PAD平面PAB．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】第（1）问先建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量数量积为零证明线线垂直；

第（2）问取中点构造向量，证明该向量与平面内两条相交直线垂直，从而得到线面垂直，再推出面面垂直.

【详解】（1）证明：取BC的中点O，连接PO，

因为平面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形，

所以PO底面ABCD．

以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示．

不妨设CD1，则ABBC2，PO3．

所以A1,2,0，B1,0,0，D1,1,0，P0,0,3．

所以BD2,1,0，PA1,2,3．

因为BDPA2112030，

所以PABD，所以PABD．

7/32

（2）取PA的中点M，连接DM，

13

则M,1,．

22

33

因为DM,0,，PB1,0,3，

22

33

所以DMPB10030，

22

所以DMPB，即DM^PB．

33

因为DMPA10230，

22

所以DMPA，即DMPA．

又因为PAPBP，PA，PB平面PAB，

所以DM平面PAB．

因为DM平面PAD，

所以平面PAD平面PAB．

【方法总结】

1、用向量法证明线线平行的思路

要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证明a∥b即可.具体方法有如下两种.

(1)坐标法:根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线.

(2)基向量法:取空间一个基底,用基底表示两直线的方向向量,证明它们共线.

2、利用空间向量证明线面平行的三种方法

(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示.

(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证.

(3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.

3、用向量法证明面面平行的三种思路

(1)证明两个平面的法向量共线.

(2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线.

(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.

4、用向量法证明线线垂直的方法

用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明

a·b=0即可,具体方法有以下两种.

(1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向

量,计算出两向量的数量积为0.

8/32

(2)基向量法:利用向量的加减运算,结合图形,将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来,利用数量积

运算说明两向量的数量积为0.

5、用向量法证明线面垂直的两种方法

(1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线.

(2)根据线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两个相交向量垂直.

6、用向量法证明面面垂直的两种思路

(1)证明两个平面的法向量垂直.

(2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面.

题型01空间中直线的方向向量

1．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）若点A1,0,2，B2,1,1在直线l上，则直线l的一个方向向量

为（）

A．3,1,3B．(1,3,2)C．(3,1,3)D．3,1,3

【答案】A

【分析】通过直线的方向向量和向量的坐标运算求解.

【详解】依题意，直线l的一个方向向量为AB2,1,11,0,23,1,3.

故选：A

2．（25-26高二上·北京·阶段检测）在空间直角坐标系Oxyz中，设直线l1的方向向量为a1,2,2，直线l2

的方向向量为b2,3,m，若l1l2，则m（）

1

A．1B．2C．D．3

2

【答案】B

【分析】由两直线垂直有对应方向向量的数量积为0，再应用空间向量数量积的坐标表示列方程求参数值.

【详解】由l1l2，则ab1(2)23(2)m0，故m2.

故选：B

2

3．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量a(4,2,6),b4,2x,6x都是直线l的方向向量，则x

的值是（）

A．1或1B．1C．3D．1

【答案】B

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【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解.

2

242x6x

【详解】依题意，向量a(4,2,6),b(4,2x,6x)共线，则，

426

所以x1.

故选：B

4．（24-25高二上·吉林松原·阶段检测）已知Ax,1,2,B3,y,0，若直线l的方向向量v1,2,2与直线

AB的方向向量平行，则xy（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】D

、

【分析】求出AB，再利用AB//v，解得得到关于xy的方程，求解即可.

【详解】因为Ax,1,2,B3,y,0，所以AB3x,y1,2，

由已知AB//v，v1,2,2，

3x

1

3xy121x2

所以，即，解得，

122y1y3

1

2

所以xy5.

故选：D.

5．（24-25高二上·河南濮阳·期中）在空间直角坐标系中，直线l过点A1,0,1且以3,2,4为方向向量，

Mx,y,z为直线l上的任意一点，则点M的坐标满足的关系式是（）

x1yz1x1yz1

A．B．

234324

x1yz1x1yz1

C．D．

324243

【答案】C

【分析】求出向量AM，再利用空间向量共线的充要条件列式判断即得.

x1yz1

【详解】依题意，AM(x1,y,z1)，AM//，则，

324

x1yz1

所以点M的坐标满足的关系式是.

324

故选：C.

【技巧归纳】

直线的方向向量

(1)直线的方向向量为非零向量.

10/32

(2)直线的方向向量有无数个,如果a是直线的方向向量,则λa(λ≠0)必是直线的方向向量.求一条直线的方向向

→

量,可以在直线上取两点a,b,则AB即为直线的一个方向向量.

题型02平面的法向量

1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点A1,0,0,B2,1,0,C1,1,1，则平面ABC

的一个法向量可以是（）

A．1,1,1B．1,1,1C．1,1,1D．1,1,1

【答案】D

【分析】设平面ABC的法向量为nx,y,z，根据法向量的定义计算.

【详解】由题意得，AB1,1,0，AC0,1,1，

ABnxy0

设平面ABC的法向量为nx,y,z，则，

ACnyz0

令x1，则n1,1,1，

则n1,1,1是平面ABC的一个法向量.

故选：D

2．如图，四棱锥PABCD的底面是边长为4的正方形，E为BC上的点，F为PC的中点，PD底面

ABCD,PD2,CE1，则以下向量可以作平面DEF的法向量的是（）

A．4,2,1B．4,1,2C．4,1,2D．4,2,1

【答案】B

【分析】求出平面DEF内的两个不共线向量DE,DF的坐标，然后根据法向量的定义验证．

【详解】由题意E(1,4,0)，P(0,0,2)，C(0,4,0)，F是PC中点，则F(0,2,1)，

因此DE(1,4,0),DF(0,2,1)，

对于A选项，4,2,1DF04130，不是法向量，A错；

对于B选项，4,1,2DE4400,4,1,2DF0220，是法向量，B正确；

11/32

对于C选项，（4,1,2）DE44080，不是法向量，C错；

对于D选项，(4,2,1)DE48040，不是法向量，D错；

故选：B．

3．（25-26高二上·河北雄安·期中）已知点P02,1,1在平面内，向量n1,1,2为平面的一个法向量，

则下列各点不在平面内的是（）

A．1,0,1B．0,1,1C．1,2,2D．1,2,0

【答案】C

【分析】设点Px,y,z为平面内任意一点，有P0Px2,y1,z1，由题意可得P0Pn0，可得x，y，

z的关系，将选项分别代入检验，即可得答案.

【详解】设点Px,y,z为平面内任意一点，有P0Px2,y1,z1，

所以P0Pnx2y12z10，可得xy2z10.

选项A：102110，故在平面内；

选项B：012110，故在平面内；

选项C：1222120，故不在平面内；

选项D：122010，故在平面内；

故选：C

4．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知平面的一个法向量为m1,1,2，点A1,2,3,Bt,1,2均

在平面内，则t__________.

【答案】14

【分析】根据法向量得出线线垂直结合空间向量数量积公式计算求解.

【详解】因为ABt1,3,5，且ABm，所以t13100，解得t14.

故答案为：14.

5．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，

E为PD的中点，ABAP1，AD3，试建立恰当的空间直角坐标系，求：

(1)平面ACE的一个法向量;

(2)直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．

【答案】(1)3,1,3

12/32

(2)方向向量1,3,1，法向量为0,1,3

【详解】（1）因为PA平面ABCD，AB,AD平面ABCD，所以PAAB,PAAD，

因为底面ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直，

以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

31

则A0,0,0,D0,3,0,E0,,,B1,0,0,C1,3,0,P0,0,1，

22

31

则AE0,,,AC1,3,0，

22

设平面ACE的法向量为mx1,y1,z1，

31

AEmy1z10

则，令，则，

22x13m3,1,3

ACmx13y10

则平面ACE的一个法向量为3,1,3；

（2）直线PC的一个方向向量为PC1,3,1.

设平面PCD的法向量为nx,y,z.

因为PD0,3,1，

nPC0x3yz0

由，得，令y1，则z3.

nPD03yz0

所以平面PCD的一个法向量为n0,1,3.

6．（25-26高二上·全国·课后作业）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑

ABCD中，AB平面BCD，BDC90，BDABCD．若建立如图所示的空间直角坐标系，求平面ACD

的一个法向量．

13/32

【答案】答案见解析

【分析】设BDABCD1，法一：根据已知标注出相关点坐标，进而得DC1,0,0，AD0,1,1，求

出平面ACD的法向量；法二：过点B作BMAD于点M，则M为AD的中点，再由线面垂直的判定及性

质定理得BM平面ACD，写出BM的坐标，即可得.

【详解】根据题意，设BDABCD1，

法一：D0,1,0，C1,1,0，A0,0,1，则DC1,0,0，AD0,1,1，

DCmx0

设平面ACD的法向量为mx,y,z，则有，

ADmyz0

令y1，得z1，则m0,1,1为平面ACD的一个法向量．（答案不唯一）

法二：过点B作BMAD于点M，则M为AD的中点，

AB平面BCD，CD平面BCD，

ABCD，

BDC90，

CDBD，又BDABB，BD,AB平面ABD，

CD平面ABD，BM平面ABD，

CDBM，又CDADD，且CD，AD平面ACD，

BM平面ACD，易得D0,1,0，B0,0,0，A0,0,1，

1111

M0,,，故BM0,,，

2222

11

平面ACD的一个法向量为BM0,,（答案不唯一）.

22

14/32

【技巧归纳】

平面的法向量的求解方法

(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z).

(2)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标:a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).

n·a=0,

(3)依据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组

n·b=0.

(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量,由于一个平面的法向量有无数多个,故可在方程组的解中取一个最

简单的作为平面的法向量.

题型03利用空间向量解决平行及其探索性问题

1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量m2,1,1是直线l的一个方向向量，向量n2,k1,1是

平面的一个法向量，若l//，则k（）

A．0B．2C．4D．3

【答案】C

【详解】因为l//，所以mn，

则mn221k1110，解得k4.

2．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知平面、的法向量分别为a1,2,2，b2,4,m，若//，

则m（）

A．4B．4C．5D．5

【答案】B

【分析】利用空间向量平行的坐标公式求解.

【详解】//，平面、的法向量分别为a，b，

a//b，axb，

a1,2,2，b2,4,m，

12x1

x

1,2,2x2,4,m，24x，2，m4.

2mxm4

故选：B.

3．（25-26高二上·北京延庆·期中）已知v是空间中直线l的方向向量，n是平面的一个法向量，那么“vn”

是“直线l与平面平行”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

15/32

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】要解决这个问题，我们需要分析“vn”与“直线l与平面平行”之间的逻辑关系，判断是充分条件、

必要条件还是充要条件.

【详解】当vn时，直线l与平面平行或直线l在平面内，

因此，“vn”不能推出“直线l与平面平行”，所以充分性不成立.

如果直线l与平面平行，那么直线l的方向向量v与平面的一个法向量n一定垂直，

所以“直线l与平面平行”可以推出“vn”，因此必要性成立.

综上，“vn”是“直线l与平面平行”的必要不充分条件.

故选：B

4．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平

面ABCD，且PAAB1，点E是PD的中点，求证：直线PB//平面AEC；

【答案】证明见解析

【分析】建立适当空间直角坐标系，设ACa，写出相关点的坐标，求出向量PB和平面AEC的一个法向

量n，利用PBn0即可证明；

【详解】因为PA平面ABCD，AB,AC平面ABCD，

所以PAAB,PAAC，又ABAC，

故可以AC,AB,AP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

设ACa，因为PAAB1，

所以A(0,0,0),B(0,1,0),C(a,0,0),D(a,1,0),P(0,0,1)，

a11

又因为E是PD的中点，所以E(,,)，

222

a11

所以PB(0,1,1),AC(a,0,0),AE(,,)，

222

16/32

设平面AEC的一个法向量为n(x,y,z)，

nACax0

则有a11，取y1，则n0,1,1，

nAExyz0

222

所以PBn110，所以PBn，

所以直线PB//平面AEC.

5．在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB4，BCCD2，AA12，

F是棱AB的中点．试用向量的方法证明：平面AA1D1D//平面FCC1．

【答案】证明见解析

【分析】先根据直棱柱及DMCD建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定

理得证．

【详解】因为AB4，BCCD2，F是棱AB的中点，

所以BFBCCF，所以BCF为正三角形．

因为ABCD为等腰梯形，AB4，BCCD2，

所以BADABC60．

取AF的中点M，连接DM，则DMAB，所以DMCD．

以D为原点，DM所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，

则D0,0,0，D10,0,2，A3,1,0，F3,1,0，C0,2,0，C10,2,2，

所以DD10,0,2，DA3,1,0，CF3,1,0，CC10,0,2，

DA//CF

所以DD1//CC1，DA//CF，所以DD1//CC1，

又因为CC1平面FCC1，DD1平面FCC1，所以DD1//平面FCC1，

17/32

因为DA//CF，CF平面FCC1，DA平面FCC1，所以DA//平面FCC1，

又DD1DAD，DD1,DA平面AA1D1D，所以平面AA1D1D//平面FCC1.

【技巧归纳】

1、用向量法证明线线平行的思路

要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证明a∥b即可.具体方法有如下两种.

(1)坐标法:根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线.

(2)基向量法:取空间一个基底,用基底表示两直线的方向向量,证明它们共线.

2、利用空间向量证明线面平行的三种方法

(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示.

(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证.

(3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.

3、用向量法证明面面平行的三种思路

(1)证明两个平面的法向量共线.

(2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线.

(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.

题型04利用空间向量解决垂直及其探索性问题

1．（25-26高二上·北京通州·期中）已知直线l的方向向量为ux,2,1，平面的法向量为n2,y,2，

若l，则xy（）

A．5B．4C．3D．2

【答案】C

【分析】根据线面垂直的性质可得u//n，进而求得x,y，即得xy.

【详解】因为l，所以u//n，

又ux,2,1,n2,y,2，

x21

即，

2y2

解得：x1,y4，

所以xy143，

故选：C.

18/32

2．（25-26高二下·海南儋州·开学考试）若平面的一个法向量为n2,1,1，平面平面，则平面

的法向量的坐标可以是（）

A．4,2,2B．1,1,1C．4,2,2D．2,1,1

【答案】B

【分析】根据两平面垂直，则其法向量垂直，进而其数量积为0，逐一验证即可.

【详解】设平面的法向量为m，因为平面平面，所以mnmn0，

因为4,2,22,1,182240，

1,1,12,1,12110，

4,2,22,1,1822120，

2,1,12,1,141140.

所以平面的法向量的坐标可以是1,1,1.

3．（24-25高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的

直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵ABCA1B1C1中，ACBCCC1，M，N分别是线段A1C，BC1上的点，

且A1M2MC，BN2NC1，则下列说法正确的是（）

A．A1CABB．A1BMNC．A1CMND．A1CBC1

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，设ACBCCC13，应用空间向量的数量积计算判断各个选项．

【详解】在堑堵ABCA1B1C1中，分别以CA,CB,CC1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

不妨设ACBCCC13，因A1M2MC，BN2NC1，

则得A13,0,3,A3,0,0,C0,0,0,B0,3,0,C10,0,3,M1,0,1,N0,1,2.

对于，因，由可得不成立，故错误；

AA1C3,0,3,AB3,2,0A1CAB90A1CABA

对于因，由，可得不成立，故错

B,MN1,1,1,A1B3,2,3MNA1B32320A1BMNB

误；

对于，因，由，可得，故正确；

CMN1,1,1,A1C3,0,3A1CMN3030A1CMNC

对于，因，由，可得不成立，故

DBC10,2,3,A1C3,0,3BC1A1C00990A1CBC1D

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错误.

4．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACAB，AB1，

PAAC2，D是棱AC上一点，且AC3AD，M为棱PC的中点．证明：PC平面ABM；

【答案】证明见解析

【分析】以A为原点，AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证

PCAB,PCAM，进而利用线面垂直的判定定理证明即可.

【详解】以A为原点，AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

由已知：AB1，AC2,PA2得A0,0,0,B1,0,0,C0,2,0,P0,0,2．

22

D在AC上且AC3AD，故AD，D0,,0.

33

M为PC中点，则M0,1,1．计算向量：AB1,0,0,AM0,1,1,PC0,2,2．

PCAB0120200PCAB，

PCAM0021210PCAM.

又ABAMA，AB,AM平面ABM，故PC平面ABM．

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【技巧归纳】

1、用向量法证明线线垂直的方法

用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明

a·b=0即可,具体方法有以下两种.

(1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向

量,计算出两向量的数量积为0.

(2)基向量法:利用向量的加减运算,结合图形,将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来,利用数量积

运算说明两向量的数量积为0.

2、用向量法证明线面垂直的两种方法

(1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线.

(2)根据线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两个相交向量垂直.

3、用向量法证明面面垂直的两种思路

(1)证明两个平面的法向量垂直.

(2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面.

1．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点A(2,3,2)，B(1,0,5)，下列向量不是该直线的方

向向量的为（）

A．a(1,1,1)B．a(1,1,1)C．a(3,3,3)D．a(1,1,1)

【答案】A

【分析】先求出直线所在向量AB，则与向量AB共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的

概念逐一计算判断选项．

【详解】直线经过点A(2,3,2)，B(1,0,5)，AB(3,3,3)，

与向量AB共线的非零向量均为该直线的方向向量，

选项A：假设向量a(1,1,1)与AB共线，则ABa，

由3·1得3，3·1得3，故不存在唯一的，使得ABa成立，

故向量a(1,1,1)不是该直线的方向向量；

选项B：假设向量a(1,1,1)与AB共线，则ABa，解得3，

故向量a(1,1,1)是该直线的方向向量；

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选项C：假设向量a(3,3,3)与AB共线，则ABa，解得1，

故向量a(3,3,3)是该直线的方向向量；

选项D：假设向量a(1,1,1)与AB共线，则ABa，解得3，

故向量a(1,1,1)是该直线的方向向量．

故选：A．

2．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量m2,1,1是直线l的一个方向向量，向量n2,k1,1是

平面的一个法向量，若l//，则k（）

A．0B．2C．4D．3

【答案】C

【详解】因为l//，所以mn，

则mn221k1110，解得k4.

3．（25-26高二上·北京·期中）已知直线l的一个方向向量为v1,2,2，平面的一个法向量为nx,1,1，

且l，则x的值为（）

11

A．B．C．4