2026新高二数学暑假专题：复习（5）：立体几何初步

【数学】复习（5）：立体几何初步——高一暑假C计划

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则

积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几

何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不

规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为().

A.7B.10C.7πD.10π

2．已知a，b是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且a，b，a//，

b//，则“a与b为异面直线”是“//”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3．在正四棱锥PABCD中，底面边长为2，侧棱长为3，则侧棱PA

与底面

ABCD

所成角的正弦值为()

2366

A.B.C.D.

2336

4．已知直线l,m与平面,其中m,则“lm”是“l”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5．已知l、m、n是三条不重合的直线,、、是三个不重合的平面,则下列结论正

确的是()

A.若l//,//,则l//B.若l//,m,则l//m

C.若mn,m,n,则D.若m,m,则

6．如图，在三棱锥PABC中，点D、F分别为棱PB，AC上的点，且PDBD，

1

AFFC，E为线段BC上的点，若BEBC，且满足AD//平面PEF，则()

2

1211

A.B.C.D.

2343

二、多选题

7．如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,给出以下判断,其中正确的有()

A.AD平面ABB1A1B.A1B1//平面ACD1

C.AD1与B1C是异面直线D.B1D平面ACD1

三、填空题

8．如图,“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成,球的半径为2,圆柱的底

面半径为1,高为4,则该几何体的表面积为_______.

π

9．如图,在直三棱柱ABCABC中,BAC,AAABAC1,CC1的中点为H,点

11121

A1N

N在棱A1B1上,HN//平面A1BC,则的值为________.

A1B1

四、解答题

10．如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F,G分别为棱A1D1,A1B1,D1C1的中点.

（1）求证:平面AEF//平面GBD;

（2）记A1C平面GBDP,A1C1平面GBDQ,CC1平面GBDR,求证:P,Q,R三

点共线.

参考答案

1．答案：A

2

解析：正四棱台的上底面边长为1，故上底面积S上11；

2

下底面边长为2，故下底面积S下24，棱台高h3

1

所以V3(1414)1(52)7.

3

2．答案：A

解析：过b作平面γ，使平面平面l，由线面平行的性质定理可得l//b，因为a

与b为异面直线，所以l与a必然相交，（否则有l//a，l//b得到a//b，与a与b是异

面直线

矛盾），所以由面面平行的判定定理知//；反过来若//，则a与b不一定为异面

直

线，可能a//b，故“a与b为异面直线”是“//”的充分不必要条件.

故选：A

3．答案：B

解析：连接AC，BD交于点O，连接PO，

由正四棱锥的性质可知，PO平面ABCD，

所以直线PA与平面ABCD所成角为PAO，

又因为ABCD为正方形，AB2，

11

所以OAACAB2BC22，

22

则POPA2AO2321，

PO13

在Rt△PAO中，sinPAO，

PA33

故选：B.

4．答案：B

解析：如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,B1Cl,BC1m,平面A1BC1为平面,

其中B1CBC1,BC1平面A1BC1,显然B1C与平面A1BC1不垂直,故“lm”不是“l”

的充分条件；

若l,且m,根据线面垂直的性质定理,可知lm成立,所以“lm”是“l”的必

要条件.

所以,“lm”是“l”的必要不充分条件.

5．答案：D

解析：对于A选项,若l//,//,则l//或l,A错；

对于B选项,若l//,m,则l//m或l、m异面,B错；

对于C选项,若mn,m,n,则、平行或相交（不一定垂直）,C错；

对于D选项,若m,m,由面面垂直的判定定理可知,则,D对.

故选:D.

6．答案：A

解析：如图，取BE的中点M，连接DM，AM，

由PDBD，所以D为PB的中点，又M为BE的中点，所以MD//PE，

MD平面PEF，PE平面PEF，所以MD//平面PEF，

又AD//平面PEF，且ADMDD，AD,MD平面ADM，

所以平面PEF//平面ADM，由AM平面ADM，所以AM//平面PEF

又AM平面ABC，平面ABC平面PEFEF，所以AM//EF

1111

又AFFC，所以MEEC，所以BEBC，故

2222

故选：A

7．答案：ACD

解析：对于选项A,因为ABCDA1B1C1D1为正方体,所以AD平面A1B1BA,所以A正确;

对于选项B,因为A1B1//CD,CD平面ACD1C,

所以A1B1与平面ACD1也有交点,所以B错误;

对于选项C,因为AD1//BC1,BC1与B1C相交,所以B1C与AD1异面,所以C正确;

对于选项D,因为A1B1平面ADD1A1,A1D平面ADD1A1,

所以A1B1AD1,AD1A1D且A1B1A1DA1,

所以AD1平面A1B1D,B1D平面A1B1D,所以AD1B1D,

同理ACB1D,ACAD1A,所以B1D平面ACD1,所以D正确.

故选:ACD.

8．答案：20π

解析：依题意,该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧面积的和,

所以所求表面积为S2π22π222π1420π.

故答案为:20π

1

9．答案：

2

解析：取BB1,A1B1中点M,N,连接HM,MN,

故MH//BC,MN//A1B,又MH,MH在平面A1BC外,BC,MN平面A1BC

所以MH//平面A1BC,MN//平面A1BC,又MH,MH相交在平面HMN内,故平面A1BC//

A1N1

平面HMN,即HN//平面A1BC,故.

A1B12

1

故答案为:.

2

10．答案：（1）证明见解析

（2）证明见解析

解析：（1）连接FG,又点F,G分别为棱A1B1,D1C1的中点,所以ADFG,AD//FG,

所以四边形ADGF是平行四边形,所以AF//DG,

又AF平面GBD,DG平面GBD,所以AF//平面GBD,

连接B1D1,又点E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点,所以EF//B1D1,

在正方体ABCDA1B1C1D1中,BB1//DD1,BB1DD1,

所以四边形DBB1D1是平行四边形,

所以DB//B1D1,所以EF//BD,

又EF平面GBD,DB平面GBD,所以EF//平面GBD,

又EFAFF,EF,AF平面AEF,所以平面AEF//平面GBD.

（2）因为A