小学五年级数学思维训练：因数与倍数第十三讲教案

小学五年级数学思维训练：因数与倍数第十三讲教案

一、教学背景分析

（一）课程定位与价值

本讲内容隶属于小学五年级数学“数与代数”领域，是在学生系统学习了整数四则运算、初步认识除法分类（整除与有余数除法）之后开设的专题思维训练课。因数与倍数是数论知识在基础教育阶段的启蒙核心，它不仅是后续学习公因数、公倍数、约分、通分以及分数四则运算的基石，更是培养学生抽象思维、演绎推理和数学建模能力的绝佳载体。针对“枫叶新希望杯”思维训练层级，本讲超越教材基础要求，着力于从“程序性理解”上升为“结构性理解”，引导学生从零散技巧走向系统化认知。

（二）学情研判

五年级学生已具备初步的归纳能力，能从具体除法算式中抽象出“整除”的本质特征。但在日常教学中常出现以下迷思概念：其一，将因数与乘法算式中的乘数简单等同，忽略因数与倍数的相互依存关系；其二，认为较大的数因数个数一定更多；其三，机械记忆找一个数因数与倍数的方法，却不理解“有限”与“无限”的内在逻辑。针对上述学情，本设计以“概念本质—方法优化—模型应用”为主线，借助几何直观与数形结合，帮助学生在思维层面实现从“操作”到“算理”再到“思想”的三级跃升。

二、教学目标设计

（一）知识与技能

1.深刻理解因数与倍数的概念，准确描述二者相互依存的关系，能规范表达“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”【核心目标】。

2.掌握有序、不重复、不遗漏地找出一个非零自然数的全部因数的方法，并熟练找出指定范围内一个数的倍数。

3.能运用因数与倍数的知识解决简单的数论实际问题，如组数问题、分组问题等。

（二）过程与方法

1.经历“直观操作—符号记录—抽象概括—方法优化”的完整思维过程，培养数感和符号意识。

2.通过对比、分类、归纳等活动，体悟“枚举法”的数学价值，感悟“有序思考”在解决问题中的普适性。

3.初步建立“无限”与“有限”的直观感受，发展辩证思维。

（三）情感态度价值观

1.在探求完美、简洁的数学表达过程中，体验数学的严谨美与对称美。

2.通过挑战性思维问题的解决，树立不畏困难、追本溯源的科学态度。

三、教学重难点

（一）教学重点【非常重要】【高频考点】

1.因数与倍数概念的本质理解及相互依存关系的表述。

2.有序、完整地找出一个非零自然数的因数。

（二）教学难点【难点】【思维卡点】

1.理解“一个数的因数个数是有限的，倍数个数是无限的”。

2.运用因数与倍数思想解决逆向思维问题（如已知因数个数反推原数）。

四、教学准备

1.教具：12个小正方形磁片、数轴动态演示课件、因数配对卡。

2.学具：每小组一包12个小圆片、方格记录纸、彩色水笔。

3.任务单：包含基础练习、变式训练、拓展挑战三级任务。

五、教学实施过程

（一）激趣导入，唤醒经验——从“拼图游戏”到“数学问题”

上课伊始，教师为每组学生提供12个完全相同的小正方形磁片，发布挑战任务：“你能用这12个小正方形拼成形状完整、没有空隙的长方形吗？每排摆几个，摆几排？请将你能想到的所有拼法用小磁片摆出来，并在方格纸上画出示意图，写出对应的乘法算式。”学生动手操作，小组内分工合作。预设学生能够摆出1×12、2×6、3×4这三种规格，部分思维敏捷的学生可能摆出4×3、6×2、12×1，教师顺势引导：“其实4×3和3×4只是交换了长和宽的位置，本质上代表了同一种拼法。在数学中，我们通常只关注每排个数与排数的组合种类，而不关注方向。”这一环节巧妙地将“因数”具象化为长方形的“长”与“宽”，每一个乘法算式中的两个乘数都是12的因数。教师板书所有算式：1×12=12，2×6=12，3×4=12。追问：“如果没有小正方形帮忙，你还能想到12的其他乘法算式吗？”学生自然回答没有，从而初步感知12的因数就是可以相乘得到12的整数对。至此，从几何直观平滑过渡到数论抽象，因数概念不再是一组枯燥的数字，而是有形状、有结构的数学实体。【非常重要】【概念建构】

（二）概念建构，深度理解——因数和倍数的“共生”关系

1.因数概念的精准定义

教师指着板书上的三道算式：“在整数乘法中，我们称这些乘数都是12的因数。你能尝试用自己的话说说什么叫因数吗？”学生回答后，教师规范表述：“如果a×b=c（a、b、c都是非零自然数），那么a和b就是c的因数，c是a和b的倍数。”强调必须是在非零自然数范围内，且除法是乘法的逆运算，因此因数也可以从整除的角度定义：整数c除以整数a，商是整数且没有余数，那么a就是c的因数。此环节通过对比乘法定义与除法定义，打通两种定义的内在联系，使学生认识到因数的本质是“整数c可以被整数a平均分尽”。【核心概念】【高频考点】

2.倍数概念的同步建构

接着，教师以3为例：“根据因数的定义，3是12的因数，反过来12是3的倍数。你能像这样再举出几个3的倍数吗？”学生列举3、6、9、12……教师追问：“能写完吗？”学生体会到“永远也写不完”，于是教师自然引出：“一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。”此时，教师借助数轴动态演示：从0点开始，每跳3个单位落点为一个倍数，点越跳越远，无穷无尽。数轴的直观性将“无限”这一抽象概念可视化，破解难点。【重要】【思维难点】

3.依存关系的哲学思辨

教师出示一组判断题：“因为6×0.5=3，所以6和0.5是3的因数，3是6和0.5的倍数。”学生辨析后发现0.5不是自然数，因此不在本课研究范畴。再出示：“因为12÷2=6，所以12是倍数，2是因数。”学生激烈争论，最终明确：因数和倍数是相互依存的，不能孤立地说某数是因数或倍数，必须说清谁是谁的因数，谁是谁的倍数。此环节设计精巧，直击学生表达习惯的软肋，是考试中判断、填空题型的高频失分点，必须通过反复变式强化。【非常重要】【易错警示】

（三）方法探究，策略形成——找因数与倍数的“最优路径”

1.找一个数的因数：“成对枚举，直至重叠”

以找36的全部因数为任务驱动。教师不直接讲授方法，而是让学生独立尝试，暴露典型错误：漏写、重复、无序。展示两份典型错例，一份是跳跃式寻找导致遗漏（如写出1、2、3、4、6、12、18、36，漏了9），另一份是无序书写导致重复（如1、36、2、18、3、12、4、9、6、6，写了两个6）。教师引导学生对比分析：怎样才能既不重复也不遗漏？学生总结出“从1开始，一对一对地找，每次用除法求出对应的另一个因数，直到两个因数非常接近甚至相等为止”。教师板书示范：1×36=36，2×18=36，3×12=36，4×9=36，6×6=36，当乘数重复时停止。强调书写规范：一般从小到大排列因数，重复的数字只写一个。至此，“成对枚举法”成为学生思维工具箱中的利器。此方法不仅是本讲【重要考点】，更是后续学习质数、合数的基础。【高频考点】【方法核心】

2.找一个数的倍数：“乘上自然数序列”

教师提出：“找出50以内7的倍数。”学生发现可以用7×1、7×2、7×3……依次计算，直到乘积最接近50为止。教师进一步追问：“为什么不能写成7×0？”学生结合倍数定义，自然数从1开始，从而强化倍数范围。对比因数与倍数的找法，学生自主建构认知结构：因数是“有限可穷尽”，需要用除法或成对乘法逆向思考；倍数是“无限需截取”，需要用乘法正向延伸。【重要】【对比辨析】

3.特殊数因数的辩证认知

教师抛出思辨问题：“1的因数有哪些？0有没有因数？”学生在讨论中明确：1只有因数1，且1是任何非零自然数的因数；任何非零自然数至少有两个因数（1和本身），但1只有它自己，因此1是特例。关于0，由于0不能作为除数，且0乘任何数都得0，导致0的因数有无数个，为避免混乱，小学阶段研究因数与倍数一般不包括0。这一环节虽非考试重点，但有助于完整认知。【一般】

（四）关联辨析，体系建构——打通知识模块的“任督二脉”

1.因数、倍数与整除的三位一体

教师呈现结构化板书，以集合图形式（虽不用图，但语言描述）呈现：整除是前提，因数和倍数是整除这一事件的两个侧面。以15÷3=5为例，15是3和5的倍数，3和5是15的因数。渗透“关系性理解”，摒弃“大数是倍数，小数是因数”的片面印象。

2.与后续知识的隐性衔接

教师设疑：“为什么我们只研究到36的因数？如果给你一个非常大的数，比如2024，你还能用成对枚举法找出它的全部因数吗？”学生感到麻烦，教师顺势点明：当数字很大时，我们需要更高级的工具——质因数分解，这将是下一阶段的核心内容。同时，引出“完全数”概念（如6的因数1、2、3，其和等于本身），激发学生课后探究兴趣。【拓展思维】

（五）分层练习，思维进阶——从“熟练技能”到“灵活策略”

本环节设计三级任务群，采用“全班共练—小组互研—独立挑战”交替模式，确保每个学生都在最近发展区内获得提升。

1.基础性练习——概念巩固与技能熟练

（1）口头抢答题：根据算式18÷2=9，说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。变式：18÷5=3.6，为什么不说5是18的因数？强化自然数前提。【重要】【高频考点】

（2）书面任务：写出24的全部因数，并写出100以内8的倍数。要求书写规范，集体订正后组内交换检查，重点关注“有序”与“完整”。【一般】

2.综合性练习——辨析判断与语境应用

（1）判断题组：①一个数的因数一定比它的倍数小。（错，反例：本身）②因为7×8=56，所以56是倍数，7和8是因数。（错，依存关系表述缺失）③一个非零自然数至少有两个因数。（错，1只有一个因数）【非常重要】【高频易错】

（2）生活应用题：五（1）班有36名同学参加团体操表演，要求每排人数相同且每排不少于4人，也不多于20人，有哪些排法？此题实质是求36的因数中在4到20之间的部分，既考查因数知识，又培养根据实际情况筛选信息的能力。【热点应用】

3.拓展性练习——逆向思维与数论启蒙

（1）一个数是42的因数，同时也是3的倍数，这个数可能是多少？学生需要先列举42的全部因数，再从其中筛选出3的倍数，培养双向思维。【难点】【思维进阶】

（2）有一个数，它的因数个数是奇数个，这个数有什么特征？（引导学生从成对枚举法反向思考：只有当某个因数与自己相乘得到该数时，即该数是完全平方数时，因数个数为奇数）此题为竞赛常见压轴题，不要求全员掌握，但为资优生提供挑战空间。【重要】【高频考点（竞赛层级）】

（3）猜数游戏：甲数是乙数的因数，乙数是丙数的倍数，丙数是丁数的因数，丁数是100，甲数最大是多少？这是一道综合推理题，考查学生对依存关系的灵活运用，需用倒推法分析。【难点】【思维体操】

（六）课堂总结，反思升华——从“学会”走向“会学”

教师组织学生以“今天的学习我有哪些收获？还存在哪些困惑？”为线索进行复盘。学生发言可能集中在：学会了成对找因数、倍数无限多、因数和倍数不能单独说。教师在此基础上进行结构化总结，形成如下认知链条：

（1）知识层面：因数与倍数是刻画整数之间整除关系的“孪生概念”，二者永不分离。

（2）方法层面：找因数要成对枚举、有序思考；找倍数要依次相乘、按需截取。

（3）思想层面：从有限到无限，从具体到抽象，从孤立到联系，数学让世界更有序。

六、板书设计

（左侧区域）

12个小正方形拼长方形：

1×12=12

2×6=12

3×4=12

→1、2、3、4、6、12是12的因数

→12是1、2、3、4、6、12的倍数

（中间区域）

找36的因数（成对枚举法）：

1×36

2×18

3×12

4×9

6×6

→36的因数：1,2,3,4,6,9,12,18,36

（右侧区域）

概念核心：

因数与倍数相互依存，不能孤立存在。

一个数因数的个数有限，最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数倍数的个数无限，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

七、作业布置

（一）巩固性作业

完成任务单“基础闯关”部分：写出45和60的全部因数，写出50以内9的倍数。要求使用成对枚举法，保留计算痕迹。

（二）探究性作业

“完美数”的秘密：阅读教材小资料，了解什么是完美数，找出30以内的完美数，并尝试说明为什么这些数是完美数。下节课分享你的发现。

（三）挑战性作业（选做）

已知一个自然数A，它的因数个数是4个，并且A介于20与30之间，求A是多少？你能总结出因数个数是4个的数有什么特征吗？

八、教学反思

（本环节仅呈现反思的实质维度，不加评价性语言）

1.概念构建的具象化路径：以拼长方形引入因数，学生不仅理解了因数的内涵，更在脑海中建立了因数与矩形长宽的对应关系，后续遇到“因数个数”“公因数”等问题时，部分学生会自发联想到图形分割，这种数形结合思想将长期发挥作用。

2.迷思概念的精准破除：判断题中“因为12÷2=6，所以12是倍数，2是因数”的错误率极高，经过小组辩论和教师点拨，学生从“默认正确”转变为“敏锐辨析”，依存关系成为条件反射。

3.思维梯度的合理设置：三级练习覆盖了从基本技能到竞赛思维的全光谱，基础题保证全体达标，拓展题满足资优生需求。尤