六年级上册数学期末复习教案：分数除法专题精讲与突破

六年级上册数学期末复习教案：分数除法专题精讲与突破

一、设计总览与前沿理念

（一）设计指导思想

本专题复习设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》核心理念为根本遵循，立足于发展学生核心素养，聚焦“分数除法”这一小学阶段数与代数领域的核心与难点内容。设计摒弃简单机械的知识罗列与题海战术，倡导结构化、整体性的知识建构，强调在真实问题情境中深化对算理与算法的理解，培养学生迁移创新的能力与高阶数学思维。复习过程注重“教—学—评”一致性，通过诊断性评价、形成性评价与终结性评价的有机结合，实现以评促学、以评导教。

（二）内容定位与学情深度分析

分数除法是学生在完整建构分数乘法的意义、算理及应用之后，对数系运算的又一次关键性拓展。它不仅是分数乘法的逆运算，更是沟通分数、除法、比、百分数、比例等核心概念的重要桥梁。对于六年级学生而言，经过单元新知学习，已初步掌握分数除法的基本计算方法，但在知识体系的内部融通、复杂情境中的灵活应用、以及利用分数除法解决实际问题的模型构建等方面，普遍存在以下认知断层：其一，对“除以一个数等于乘这个数的倒数”这一算法背后所蕴含的算理——如分数除法的意义、与整数、小数除法意义的统一性——理解尚不深刻，容易陷入机械记忆；其二，面对分数乘除混合运算、四则混合运算时，运算顺序的把握和简算意识的灵活运用存在摇摆；其三，在解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”及相关的分数、百分数复合应用题时，未能有效建立此类问题的统一数学模型，审题、分析与检验能力有待提升。因此，本次复习旨在帮助学生穿点成线、织线成网，实现从“会算”到“懂理”，再到“善用”的认知飞跃。

（三）核心素养聚焦与跨学科关联

本次复习直指以下数学核心素养的培育：

运算能力：在理解算理的基础上，追求运算的准确性、熟练性与灵活性，形成良好的数感。

推理意识：通过观察、类比、归纳，理解分数除法法则的必然性，并能运用法则进行合理推演。

模型意识：从大量实际问题中抽象出“单位‘1’未知的分数问题”基本模型，并运用该模型求解和解释现实现象。

应用意识：自觉运用分数除法知识解决生活、科学及其他学科中的简单问题，认识数学的价值。

跨学科关联视野：本专题与科学中的浓度配比、工程效率计算，与社会科学中的数据分析、比例分配，乃至与音乐中的节奏划分等均存在内在联系，复习中将适时创设跨学科背景的问题情境，拓宽学生数学应用的视野。

（四）复习目标三维设定

知识与技能目标：

1.系统梳理并牢固掌握倒数的概念、求法。

2.深刻理解分数除法的意义，熟练掌握分数除以整数、一个数除以分数的计算法则，能准确、迅速地进行计算。

3.掌握分数四则混合运算的顺序，能灵活运用运算定律进行简便计算。

4.熟练掌握“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的分数除法应用题的解题思路与方法，并能解决稍复杂的分数、百分数实际问题。

过程与方法目标：

5.经历知识网络自主构建的过程，掌握分类、归纳、对比的复习方法。

6.在解决典型例题和变式练习的过程中，发展分析、综合、抽象、概括以及问题解决的能力。

7.通过一题多解、多题归一等训练，提升思维的发散性与深刻性。

情感、态度与价值观目标：

8.体验数学知识之间的内在联系与逻辑之美，增强学好数学的自信心。

9.在克服复习难点、解决复杂问题的过程中，培养勇于探索、严谨细致的科学态度。

10.感受分数除法在解决实际问题中的强大作用，增强数学应用意识和社会责任感。

二、教学实施环节详案

第一阶段：核心考点深度梳理——构建知识网络体系

（一）考点一：倒数的再认识与深化

师生活动：

教师引导学生脱离教材，尝试自主绘制“倒数”概念图。学生可能从定义、特性、求法、特例四个维度进行梳理。

1.定义本质：乘积是1的两个数互为倒数。强调“互为”的双向关系，并引导学生用字母表示：若a×b=1(a≠0,b≠0)，则a是b的倒数，b也是a的倒数。

2.核心特性：

1.3.互为倒数的两个数乘积恒为1。

2.4.求倒数的方法：求一个数（0除外）的倒数，就是把这个数的分子、分母交换位置。

3.5.特例剖析：1的倒数是其本身；0没有倒数；求真分数、假分数、带分数、整数、小数的倒数的方法归纳与对比。

6.深化探究：组织小组讨论——“为什么0没有倒数？”（从定义和除法角度论证）；“一个数与它的倒数的大小关系如何？”（分大于1、等于1、小于1且大于0三种情况讨论）。

设计意图：将“倒数”从单一的预备知识提升为具有丰富内涵的研究对象，深化理解，为分数除法计算法则的牢固掌握奠基。

（二）考点二：分数除法计算法则的算理追溯与算法统整

师生活动：

采用“问题链”驱动探究。

问题1：分数除法有哪些基本类型？请举例说明。

（分数除以整数：如(4/5)÷2；一个数除以分数：包含整数除以分数如2÷(1/4)、分数除以分数如(3/4)÷(2/5)）。

问题2：这些类型能否统一为一种运算？其核心法则是什么？

（核心法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数）。

问题3：为什么可以这样计算？请以“(4/5)÷(2/5)”为例，用尽可能多的方法说明其合理性。

学生可能提出的论证路径：

1.利用除法的意义：(4/5)÷(2/5)表示“(4/5)里面包含几个(2/5)”，因为(4/5)=2×(2/5)，所以结果是2。

2.利用商不变的规律：(4/5)÷(2/5)=[(4/5)×(5/2)]÷[(2/5)×(5/2)]=(4/5)×(5/2)÷1=(4/5)×(5/2)。

3.利用分数与除法的关系：(4/5)÷(2/5)=(4÷5)÷(2÷5)=4÷2=2，逆向推导出算法。

4.利用方程思想：设(4/5)÷(2/5)=x，则(2/5)×x=(4/5)，根据因数与积的关系，x=(4/5)×(5/2)。

教师整合学生观点，强调算法统一的算理支撑，并将分数除法与整数、小数除法的意义进行贯通：“除法都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算”。

设计意图：打破类型壁垒，追溯算理本源，实现算法的实质性理解与高位统整。

（三）考点三：分数四则混合运算的策略优化

师生活动：

1.顺序固本：重申“先乘除后加减，有括号先算括号里面”的运算顺序，进行快速口答练习。

2.简算升华：呈现一组算式，引导学生识别简算结构，回顾运算定律在分数运算中的推广应用。

1.3.识别“凑整”机会：如(5/7+2/3)×21，利用乘法分配律。

2.4.识别“约分”机会：如(8/9)÷4×(3/4)，调整运算顺序先乘后除或先除后乘以实现全程约分。

3.5.处理带分数：将带分数化为假分数参与运算通常是通用策略。

6.错例诊断：展示典型错误（如顺序错误、乱用运算律、约分不当），让学生扮演“小医生”进行诊断并纠正。

设计意图：在巩固基本顺序的基础上，着力提升运算的策略性、灵活性和简洁性，培养高阶运算能力。

（四）考点四：分数除法应用题的模型建构与拓展

师生活动：

这是复习的重中之重。采用“模型树”的方式展开。

1.根基：基本模型“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”。

1.2.引导学生用线段图表征题目：“一个数的(2/3)是12，这个数是多少？”

2.3.抽象数量关系：单位“1”×对应分率=对应量→单位“1”=对应量÷对应分率。

3.4.方程与算术法并重：设这个数为x，列方程(2/3)x=12；直接列算式12÷(2/3)。比较两种思路的联系（除法是乘法的逆运算，方程是顺向思维）。

5.主干：模型在复杂情境中的变式。

1.6.情境变式1：“比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数”。

例题：一台电脑现价比原价降低了(1/8)，现价是4200元，原价是多少元？

分析：将“降低(1/8)”转化为“现价是原价的(1-1/8)=7/8”。回归基本模型：原价×(7/8)=现价。

2.7.情境变式2：“已知一个数连续两次变化后的结果，求原数”。

例题：一堆煤，第一次运走它的(1/4)，第二次运走剩下的(1/3)，还剩24吨，这堆煤原有多少吨？

分析：引导学生用线段图或倒推法分析。关键找准剩余24吨对应的分率。第一次运走后剩下(3/4)，第二次运走这(3/4)的(1/3)即总量的(1/4)，所以两次共运走(1/2)，剩下(1/2)，对应24吨。原煤=24÷(1/2)。

3.8.情境变式3：与分数乘法应用题的对比辨析。

出示配对题：

A.果园有桃树120棵，梨树是桃树的(5/6)，梨树有多少棵？（乘法，求比较量）

B.果园有梨树100棵，是桃树的(5/6)，桃树有多少棵？（除法，求单位“1”）

通过对比，强化“知‘1’求比较量用乘法，知比较量求‘1’用除法（或方程）”的模型选择策略。

9.枝叶：与工程问题、百分数问题的融合。

1.10.工程问题实质是分数除法应用题的一种特例，将工作总量抽象为单位“1”。

例题：修一条路，甲队单独修要10天，乙队单独修要15天。两队合修，几天完成？

分析：甲队效率(1/10)，乙队效率(1/15)，合作效率和(1/10+1/15)。工作时间=工作总量“1”÷工作效率和。

2.11.将分率替换为百分率，模型完全适用。

设计意图：通过构建以基本模型为根、多种变式为干、融合应用为叶的“模型树”，帮助学生形成结构化、可迁移的问题解决图式。

第二阶段：典型例题多维剖析

（一）计算类例题精讲

例题1（算理与算法）：计算(2/3)÷(4/5)，并说明每一步的依据。

讲解要点：直接应用法则：(2/3)÷(4/5)=(2/3)×(5/4)=(5/6)。依据：除以一个数（4/5）等于乘这个数的倒数（5/4）。

例题2（混合运算与简算）：计算[(3/4)-(1/2)]÷(5/8)+(7/10)。

讲解要点：先算小括号内减法，通分得(1/4)；再算除法，(1/4)÷(5/8)=(1/4)×(8/5)=(2/5)；最后算加法，(2/5)+(7/10)=(4/10)+(7/10)=(11/10)或1.1。强调步骤的清晰书写。

例题3（灵活简算）：计算(5/6)×(2/3)÷((5/6)×(2/3))。

讲解要点：引导学生观察，发现被除数和除数相同（且不为0），根据除法的意义，直接得出商为1。避免复杂运算。

（二）应用类例题精讲

例题4（基本模型）：学校合唱队有女生24人，占总人数的(3/5)。合唱队共有多少人？

讲解：线段图辅助。单位“1”（总人数）未知。方程法：设总人数为x，(3/5)x=24，x=24÷(3/5)=40（人）。算术法：24÷(3/5)=40（人）。答：合唱队共有40人。

例题5（“比多比少”变式）：一种商品，提价(1/10)后是110元，这种商品原价是多少元？

讲解：“提价(1/10)”即现价是原价的(1+1/10)=(11/10)。设原价x元，(11/10)x=110，x=100。或110÷(11/10)=100（元）。

例题6（综合变式）：一本书，第一天读了全书的(1/4)，第二天读了余下的(2/3)，这时还剩45页没读。这本书共多少页？

讲解：方法一（抓剩余量）：第一天后剩下全书的(1-1/4)=(3/4)。第二天读了(3/4)的(2/3)，即全书的(1/2)。两天共读(1/4+1/2)=(3/4)，还剩全书的(1/4)，对应45页。全书页数=45÷(1/4)=180（页）。

方法二（转化单位“1”）：设全书为“1”。第一天后剩下(3/4)。第二天读后剩下(3/4)×(1-2/3)=(3/4)×(1/3)=(1/4)。下同方法一。

例题7（工程问题融合）：一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。两人合作，中途甲休息了若干天，结果共用了15天完成。甲休息了几天？

讲解：将工程总量视为“1”，甲效率(1/20)，乙效率(1/30)。设甲工作了x天，则甲休息了(15-x)天。乙工作了15天。根据工作总量关系列方程：(1/20)x+(1/30)×15=1。解得x=10，所以甲休息了15-10=5（天）。

第三阶段：分层巩固阶梯训练

（一）基础达标练习（面向全体，巩固法则与基本模型）

1.求倒数：写出(7/9)、8、0.25、1(3/5)的倒数。

2.直接写得数：(5/8)÷5=;6÷(2/3)=;(9/10)÷(3/5)=;0÷(7/8)=。

3.解方程：(2/5)x=14;x÷(3/8)=12;(1-1/6)x=25。

4.看图列式并计算：（图示：一条线段被分成4段，前3段标为“？吨”，最后一段标“60吨”并注明“占全部的(1/4)”）。

5.基本应用题：一辆汽车行驶(2/3)小时耗油(8/15)升，照这样计算，1小时耗油多少升？

（二）能力提升练习（面向多数，熟练变式与混合运算）

1.脱式计算（能简算要简算）：

(1)((5/6)+(3/4))÷(1/12)

(2)(7/8)×(4/5)÷(7/10)

(3)13÷((1/4)+(5/6))×(3/5)

2.应用题：

(1)果园里有苹果树和梨树共360棵，其中梨树是苹果树的(4/5)。两种树各有多少棵？（建议用方程解）

(2)修一条水渠，第一天修了全长的(1/5)多20米，第二天修了全长的(1/4)少15米，还剩185米没修。这条水渠全长多少米？（提示：将多修的米数和少修的米数纳入总量考虑）

(3)录入一份稿件，甲单独录入需10小时，乙单独录入需12小时。两人合作，几小时能完成这份稿件的(3/4)？

（三）思维拓展挑战（面向学有余力，综合创新）

1.巧算：(1-(1/2))÷(1/2)+((1/2)-(1/3))÷(1/6)+((1/3)-(1/4))÷(1/12)+…+((1/99)-(1/100))÷(1/9900)。

2.应用题：一批货物，第一次运走总数的(2/5)，第二次运走余下的(1/3)还多20吨，第三次运走的是第二次运走后的(3/4)，还剩50吨没运。这批货物原有多少吨？（提示：用倒推法或方程，注意统一单位“1”）

3.探究题：如果a÷(1/2)=b÷(1/3)=c÷(1/4)，且a、b、c均不为0，请比较a、b、c的大小，并说明理由。

第四阶段：综合真题实战演练

（选取或改编自近年小学毕业考试及质量检测真题，限时模拟）

一、填空题。

1.()的倒数是它本身，()没有倒数。

2.在○里填上“>”、“<”或“=”。

(5/6)÷(1/2)○(5/6)(3/4)÷2○(3/4)×(1/2)(7/8)÷(5/4)○(7/8)

3.把(4/5)米长的铁丝平均分成4段，每段长()米，每段占全长的()。

4.一辆汽车(2/5)小时行24千米，照这样的速度，1小时行()千米，行1千米需要()小时。

5.一个数的(3/8)是12，这个数的(5/6)是()。

二、选择题。

6.下面算式中，结果最大的是（）。

A.(3/4)÷(1/3)B.(3/4)×(1/3)C.(3/4)÷(4/3)D.(3/4)×(4/3)

7.一条绳子剪去(1/3)后，还剩(1/2)米，这根绳子原来长多少米？正确列式是（）。

A.(1/2)÷(1/3)B.(1/2)÷(1-(1/3))C.(1/2)×(1-(1/3))D.(1/2)+(1/3)

8.加工一批零件，师傅单独做要6小时，徒弟单独做要10小时。师徒合作，几小时可以完成？列式正确的是（）。

A.1÷(6+10)B.1÷((1/6)+(1/10))C.(1/6)+(1/10)D.(1/2)÷((1/6)+(1/10))

三、计算题。

9.直接写出得数。

(3/4)÷3=(5/9)÷(1/3)=0÷(11/13)=(7/8)÷14=

(2/3)+(1/4)=(3/5)×(10/9)=1÷(5/7)=((1/2)-(1/3))÷(1/6)=

10.脱式计算。

((2/3)+(1/2))÷((7/8)-(3/4))(5/12)×(3/4)÷((5/8)+(1/4))

[1-((1/4)+(3/8))]÷(1/4)(7/9)÷(11/5)+(5/11)×(2/9)

四、解决问题。

11.学校图书馆有科普读物320本，占全部图书的(2/5)。学校图书馆共有图书多少本？

12.一项工程，甲队单独做15天完成，乙队单独做12天完成。两队合作4天后，剩下的由乙队单独完成，还需要多少天？

13.六年级一班举行元旦联欢会，买来一些水果。其中苹果占水果总数的(2/9)，香蕉占水果总数的(1/3)，橘子有28千克。一共买了多少千克水果？

14.一辆客车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的(1/4)，第二小时行了全程的(2/5)，这时距离乙地还有63千米。甲、乙两地相距多少千米？

第五阶段：总结反思与迁移

（一）课堂总结

引导学生以思维导图的形式，自主回顾并绘制本专题的知识网络图，应包含“倒数”、“计算法则”、“混合运算”、“解决问题”四大主干，以及每个主干下的核心要点、易错点和方法策略。组织小组交流，互相补充完善。

（二）错题归因与个性化反思

要求学生整理本次复习过程中的典型错题，建立“错题档案”。针对每一道错题，必须完成以下分析：

1.原题重现。

2.错误答案。

3.错误原因归类（如：概念不清、算理不明、审题失误、计算粗心、模型误用等）。

4.正确解法与分析。

5.反思与改进措施（如：“