窄带高斯随机过程的产生

本科实验报告

实验名称：窄带高斯随机过程的产生

一、实验目的

熟悉窄带随机过程的定义，了解窄带随机过程产生的原理与方法，最后估计实验产生

的窄带随机过程的功率谱；掌握具有指定功率谱的随机过程产生方法，并以此产生窄带

随机过程。

二、实验内容

本实验模拟产生一段时长为5ms的窄带高频随机过程X⑴的样本函数。根据窄带班机

过程的理论,X(t)可表示为

X(/)=A⑺cos2%/一As(t)cos2次/

其中，Ac⑴和As(l)均为低频的高斯随机过程，因此，要模拟产生X(t),首先要产生两个

相互独立的面斯随机过程Ac⑴和As(t),然后用两个正交载波cos2Ji电和sin2nR)t进行调

制，如图所不。

假定Ac⑴和As⑴的功率谱密度均为，其中为功率谱密度的3dB带宽。在3.7节中介绍

了有色高斯随机过程的产生，请按照频域法或时域滤波器法分别产生时长5ms的低通过程

Ac⑴和As⑴，然后按图所示合成X(t),其中0)=1000/人要求分别画出模拟产生的Ac(l)、

As⑴、X⑴的波形。

三、实验原理

(一)、有色高斯随机过程的模拟一一频域法

首先将X⑴进行周期延拓.得到一个周期信号,再对周期信号进行傅里叶级数展开.即

~001

k=FL

由于傅里叶级数是Xk的线性组合，所以，如果Xk是零均值的盲斯随机变量，那么也是

零均值高斯过程，如果｛Xk｝是两两正交的序列，则周期信号的功率谱为线谱，即

G.(/)=松)(g：=£(|X,|2))

XK=~a>

通过选择gk就可以得到期望的功率谱。

假定Gx(f)是带限的.即

Gx(f)=O(|f]>B)

那么，｛gk2｝只有有限项,即｛｝,其中M=[B/R)],[・]表示取整,与此对应的傅里叶级数系数

｛Xk卜也是2M+1项。因此，只需产生2M+1个相互正交的零均值高斯随机变量｛｝,其方差，并

在1式中将时间限定为(O,Td)就可以得到模拟过程X⑴。应与成比例，即，系数B的选择满足

下式:

HMMM

fGx(/)#=X却X/]=£gi=0£Gx(kf。)

k=-MJt=-JWJt=-A/

[GAfW

P~M

总结如下：

1.根据所需过程的时长Td确定频率R),并确定傅里叶级数系数的长度M=fB/ro]：

fGx(f)df

2.根据p=，确定由

之Gx颂)

k=-M

3.产生2M+1个独立的高斯随机变量，即

X卜~N(0,13Gx(kfo》,k=—用,—MM—1,M

4.构建时域样本函数

M

X[i]=X(/Az)=ZX，颉"3)

k=-M

其中Z为任意小的时间间隔。

五、实验结论及分析

1.有色高斯随机过程的模拟一一频域法

频率（Hz）

3.有色高斯随机过程的模拟一一时域滤波法

4.图4:时域滤波法产生有色高斯噪声

5.窄带随机过程的产生

按图3.4所示方法产生Ac（I）和As（I）,并进行载波调制，产生窄带高斯随机过程:

200

100

m0

-100

-200

00.511.522.533.544.55

时间(ms)

图5:窄带高斯随机过程

六、心得体会

1.本实验锻炼了我的MATLAB编程能力，学到了随机信号模拟的基本函数；

2.本实验让我对有色高斯噪声有了更深入的认识，学会/模拟产生具有特定频率谱的高

斯随机过程：

3.了解了频域法和时域滤波法的原理和思想；

4.锻炼了实践能力和自学能力。

七、代码附录

治窄带随机过程的产生

clc;clear;

%设置参数

fc=1000/pi;*信号的载波频率

dt=0.00001;1采样间隔

Td=0.005;金信号时长

df=1000;告3dB带宽

B=6*df;

fo=l/Td;%中心频率点

M=floor(B*Td);%傅里叶级数系数长度

m=;

I=sqrt(-1);名虚数i

x=0:0.01:10;

psd=l./(l+x.A4);%功有度的函数表达式

symsfreal

power=vpa(int(1/(1+(f/1000)A4),-6000,6000),5);1功率绝对大小

s=l./(l+((m*fo)/df).A4);当以为单位，s即为各个离散点处功率谱密度函数的值

beta=power/sum(s);号系数B

s=beta*s;%s=^Gx(kfo),而所需的，故beta*s即为所要的功率谱密度

石原功率谱密度函数图-8000Hz-8000Hz

f=[-8:0.01:8]*df;

psd0=l./(l+(f/df).A4);

义作图显示

subplot211;

stem(m*fozs/foz'b');W点线图，横轴为频率，以f。为单立值，纵轴为功率谱相对值

holdon;

plot(f,psd0,'r');5连续的功率谱密度

axis([-8*df8*df01.2]);

xlabel。频率(Hz)');

ylabel「功率谱，)；

务生成时域信号对应的傅立叶变换

z0=randn(1);z0=z0*sqrt(s(M+l));

zplus=sqrt(s(M+2:2*M+1)/2).*(randn(1,M)+I*randn(1,M));

zminus=conj(fliplr(zplus));

z=[zminuszOzplus];

义做反停立叶变换，求出时域信号，即窄带随机过程频域法高斯有色信号X(t)Ac(t)

t=0:dt:Td;号时长5ms

x=zeros(1,length(t));

for

X=X+z(m+M+1)*exp(I*2*pi*m*fo*t);

end;

holdon;

subplot212;

plot(t*1000,real(X)z'b');

xlabel(1时间(ms),);

ylabel('X(t)');

T=0.005；%时域长度5ms

fs=100000;%采样频率10kHz

n=round(T*fs)+1;会采样点数

t=linspace(0,Tzn);

W=randn(1,n);%高斯白噪声

v/0=sqrt(2)*pi*df;

h=-2*wO*exp(-w0*t).*cos(w0*t);

Y=conv(W,h);

As=T*Y(l:n);

*生成时域信号对应的傅立叶变换

z0=randn(1);z0=z0*sqrt(s(M+l));

zplus=sqrt(s(M+2:2*M+l)/2).*(randn(1,M)+I*randn(1,M));

zminus=conj(fliplr(zplus));

z=[zminuszOzplus];

会做反傅立叶变换，求出时域信号，即窄带随机过程频域法高斯有色信号X(t)Ac(t)

t=0:dt:Td;与时长5ms

As=zeros(1,length(t));

for

AO-AG+Z(m+M+l)*cxp(I*2*pi*m*fo*t);

end;

figure

subplot211

plot(t,As)

xlabel(1时间(s),);

ylabel(*Z(