2026年中考数学真题知识点专题 二元一次方程组

年中考数学真题知识点分类汇编之二元一次方程组一．选择题（共12小题）1．（2026•北京）方程组x+y=43x−2y=7A．x=3y=1 B．x=3y=−1 C．x=5y=12．（2026•重庆）中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，则可列方程组为（）A．5x+y=3x+5y=2 B．5x−y=3C．5x+y=3x−5y=2 D．3．（2026•甘孜州）《九章算术》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？设有x人，y辆车，则符合题意的方程组是（）A．x=3(y−2)x−9=2y B．x=3(y+2)C．x=3(y−2)x=2y−9 D．4．（2026•齐齐哈尔）5月18日是国际博物馆日．某博物馆推出甲、乙两种文创纪念品，甲种文创纪念品每个3元，乙种文创纪念品每个5元．某游客欲将60元钱全部用于购买甲、乙两种文创纪念品（两种都要买），不同的购买方案有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种5．（2026•新疆）我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（）A．y=x+4.512y=x−1 C．y=x+4.512x=y−16．（2026•宜宾）我国古代算书《四书玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”大致意思是：999文钱买甜果和苦果共1000个，甜果11文钱买9个，苦果4文钱买7个，问买甜果和苦果各多少个，买甜果和苦果各多少钱？设买甜果x个，买苦果y个．下列所列方程组中正确的是（）A．x+y=100011B．x+y=10009C．x+y=99911D．x+y=9997．（2026•攀枝花）若方程组−x+y=△2x−y=5的解为x=4A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．28．（2026•眉山）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，其中记载了一道方程的应用题，大意为：五只雀，六只燕，共重16两；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀，燕各重多少？设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（）A．5x+6y=164x+y=5y+xB．5x+6y=165x+y=6y+xC．6x+5y=164x+y=5y+xD．6x+5y=169．（2026•甘肃）甘肃省是“一带一路”沿线上重要的节点省份，特色农产品正借势加速走向世界．兰州海关数据显示，2026年第一季度甘肃省农产品出口呈增长趋势，其中天水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为3.4亿元，苹果汁出口额比黄芪出口额的2倍少0.4亿元．设苹果汁和黄芪的出口额分别为x亿元、y亿元，则可列二元一次方程组为（）A．x+y=3.4x=2y+0.4 B．x+y=3.4C．x+y=3.4y=2x−0.4 D．10．（2026•苏州）《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤＝16两）．则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y两，根据题意，可列出的方程组为（）A．4x+y=5y+x5x+6y=16B．5x+y=6y+x5x+6y=16C．4x+y=5y+xx+y=16D．5x+y=6y+x11．（2026•云南）方程组x+2y=93x−2y=−1A．x=2y=72 B．x=−2y=7 C．12．（2026•成都）有一首古诗算：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，剩余14竿；每人8竿，恰好用完．则牧童的人数和竹竿的根数分别为（）A．8，64 B．7，56 C．6，48 D．5，40二．填空题（共3小题）13．（2026•扬州）《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”一章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何．”大意是：甲、乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各带了多少钱．设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组．14．（2026•烟台）路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有x辆车、y个人，根据题意，可列关于x、y的方程组为．15．（2026•遂宁）值日生小明整理同学们的水杯时发现：把同一款杯子整齐地叠放，4个杯子叠放成一摞的总高度为14cm，9个杯子叠放成一摞的总高度为24cm，如图所示．请问将50个这款杯子放在限高45cm的摆放区，至少需要叠放摞．三．解答题（共8小题）16．（2026•内蒙古）某超市的一部货运电梯的额定载重量为1000千克，甲、乙两位搬运师傅用这部电梯搬运货物上楼，两位师傅每次都和货物一起乘梯，已知甲、乙两位师傅的身体质量分别为75千克和65千克．（不考虑空间因素）（1）现有一批货物质量共3000千克，两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要多少次？请说明理由；（2）若该超市购进大量A，B两种货物，A种货物每箱的质量为100千克，B种货物每箱的质量为80千克，为了尽快搬运上楼，这两位师傅决定满载搬运，有哪几种满载搬运的搭配方案？17．（2026•广东）低空经济赋能乡村振兴，在广东某地万亩高标准农田里，农业无人机旋翼轰鸣，稻种精准洒落，科技助农的场景让农户们连连感叹．现有A，B两种型号的无人机可用来播种．（1）如果购买1台A型无人机和3台B型无人机需9万元，购买3台A型无人机和1台B型无人机需11万元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元．（2）每台A型无人机比B型无人机日均播种面积多200亩，每台A型无人机播种1500亩所用时间与B型无人机播种900亩所用时间相等，求两种型号的无人机每台日均分别播种多少亩．18．（2026•吉林）吉林玉米黄金带是世界三大玉米黄金带之一，吉林玉米享誉全国．购买7箱“吉林一号”玉米和9箱“吉林二号”玉米共花费580元；购买2箱“吉林一号”玉米比1箱“吉林二号”玉米多花费5元．求每箱“吉林一号”玉米和每箱“吉林二号”玉米的售价．19．（2026•深圳）解二元一次方程组：x+2y=92x+3y=1620．（2026•河南）近视可防可控不可逆，保持“一尺、一拳、一寸”的正确书写姿势能有效预防近视．小文发现，一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺．这本书的长度和小文的一拳长分别是多少尺？21．（2026•乐山）解方程组：2x+y=5x+y=122．（2026•自贡）在七年级校园足球赛中，每班球队要进行15场比赛．每场比赛结果分为胜、平、负，胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分．（1）1班负了3场，总积分为20分，求1班胜了多少场？（2）2班总积分为15分，请直接写出2班比赛胜、平、负场数可能的结果（写出两种情况即可）．23．（2026•安徽）广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由A，B，C，D四个小矩形组成，如图所示．C的面积比A的面积的2倍多2m2，D的面积比B的面积的3倍少3m2．设A的面积为xm2，B的面积为ym2．（1）C的面积为m2（用含x的代数式表示）；D的面积为m2（用含y的代数式表示）；（2）若A的面积与B的面积之和为10m2，C的面积比D的面积少5m2，求x和y．

2026年中考数学真题知识点分类汇编之二元一次方程组参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）题号1234567891011答案AAAAAAAADAA题号12答案B一．选择题（共12小题）1．（2026•北京）方程组x+y=43x−2y=7A．x=3y=1 B．x=3y=−1 C．x=5y=1【考点】解二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】A【分析】利用加减消元法解方程组即可．【解答】解：x+y=4①3x−2y=7②①×2+②得：5x＝15，解得：x＝3，将x＝3代入①得：3+y＝4，解得：y＝1，则该方程组的解为x=3y=1故选：A．【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．2．（2026•重庆）中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，则可列方程组为（）A．5x+y=3x+5y=2 B．5x−y=3C．5x+y=3x−5y=2 D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】A【分析】根据“5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．【解答】解：根据题意得：5x+y=3x+5y=2故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．3．（2026•甘孜州）《九章算术》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？设有x人，y辆车，则符合题意的方程组是（）A．x=3(y−2)x−9=2y B．x=3(y+2)C．x=3(y−2)x=2y−9 D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】A【分析】根据“若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵若3人坐一辆车，则两辆车是空的，∴x＝3（y﹣2）；∵若2人坐一辆车，则9人需要步行，∴x﹣9＝2y．∴根据题意可列出方程组x=3(y−2)x−9=2y故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．4．（2026•齐齐哈尔）5月18日是国际博物馆日．某博物馆推出甲、乙两种文创纪念品，甲种文创纪念品每个3元，乙种文创纪念品每个5元．某游客欲将60元钱全部用于购买甲、乙两种文创纪念品（两种都要买），不同的购买方案有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【考点】二元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】A【分析】设购买x个甲种文创纪念品，y个乙种文创纪念品，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有3种购买方案．【解答】解：设购买x个甲种文创纪念品，y个乙种文创纪念品，根据题意得：3x+5y＝60，∴y＝12−35又∵x，y均为正整数，∴x=5y=9或x=10y=6或∴共有3种购买方案．故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．5．（2026•新疆）我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（）A．y=x+4.512y=x−1 C．y=x+4.512x=y−1【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】A【分析】根据题意列出二元一次方程组即可．【解答】解：根据题意可得：y=x+4.51故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意是关键．6．（2026•宜宾）我国古代算书《四书玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”大致意思是：999文钱买甜果和苦果共1000个，甜果11文钱买9个，苦果4文钱买7个，问买甜果和苦果各多少个，买甜果和苦果各多少钱？设买甜果x个，买苦果y个．下列所列方程组中正确的是（）A．x+y=100011B．x+y=10009C．x+y=99911D．x+y=999【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】A【分析】设买甜果x个，买苦果y个，根据甜果和苦果共1000个，可得方程x+y＝1000，求出单个甜果的价格为119文，单个的苦果价格为47文，根据总花费一共是999文，可得方程【解答】解：设买甜果x个，买苦果y个，∵甜果和苦果共1000个，∴x+y＝1000，∵11文钱可以买9个甜果，4文钱可以买7个苦果，∴单个的苦果价格为47文，单个甜果的价格为11∵总花费一共是999文，∴119∴可得方程组x+y=100011故选：A．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．7．（2026•攀枝花）若方程组−x+y=△2x−y=5的解为x=4A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】二元一次方程组的解．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】方程组的解满足第一个方程，把x＝4，y＝3代入﹣x+y＝△，直接计算△的值．【解答】解：方程组的解满足第一个方程，把x＝4，y＝3代入﹣x+y＝△，直接计算△的值，将x=4y=3代入﹣x+y△＝﹣4+3＝﹣1，故选：A．【点评】本题考查二元一次方程组解的定义．熟练将方程组的解代入方程求未知常数是解题关键．8．（2026•眉山）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，其中记载了一道方程的应用题，大意为：五只雀，六只燕，共重16两；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀，燕各重多少？设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（）A．5x+6y=164x+y=5y+xB．5x+6y=165x+y=6y+xC．6x+5y=164x+y=5y+xD．6x+5y=16【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】A【分析】根据“五只雀，六只燕，共重16两；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵五只雀，六只燕，共重16两，∴5x+6y＝16；∵雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，∴4x+y＝5y+x．∴根据题意可列出方程组5x+6y=164x+y=5y+x故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9．（2026•甘肃）甘肃省是“一带一路”沿线上重要的节点省份，特色农产品正借势加速走向世界．兰州海关数据显示，2026年第一季度甘肃省农产品出口呈增长趋势，其中天水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为3.4亿元，苹果汁出口额比黄芪出口额的2倍少0.4亿元．设苹果汁和黄芪的出口额分别为x亿元、y亿元，则可列二元一次方程组为（）A．x+y=3.4x=2y+0.4 B．x+y=3.4C．x+y=3.4y=2x−0.4 D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】D【分析】根据“天水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为3.4亿元，苹果汁出口额比黄芪出口额的2倍少0.4亿元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵天水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为3.4亿元，∴x+y＝3.4；∵苹果汁出口额比黄芪出口额的2倍少0.4亿元，∴x＝2y﹣0.4．∴根据题意可列出方程组x+y=3.4x=2y−0.4故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．10．（2026•苏州）《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤＝16两）．则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y两，根据题意，可列出的方程组为（）A．4x+y=5y+x5x+6y=16B．5x+y=6y+x5x+6y=16C．4x+y=5y+xx+y=16D．5x+y=6y+x【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】A【分析】根据题意，若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者重量相同，已知5只雀和6只燕的总重量为1斤，据此列出方程组即可．【解答】解：根据题意可得方程组为4x+y=5y+x5x+6y=16故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．11．（2026•云南）方程组x+2y=93x−2y=−1A．x=2y=72 B．x=−2y=7 C．【考点】解二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】A【分析】利用加减消元法解方程组即可．【解答】解：x+2y=9①3x−2y=−1②①+②，得4x＝8，解得：x＝2，把x＝2代入①，得2+2y＝9，解得：y=7∴方程组的解为x=2y=故选：A．【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．12．（2026•成都）有一首古诗算：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，剩余14竿；每人8竿，恰好用完．则牧童的人数和竹竿的根数分别为（）A．8，64 B．7，56 C．6，48 D．5，40【考点】二元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】B【分析】设牧童的人数为x，竹竿的根数为y，根据“每人6竿，剩余14竿；每人8竿，恰好用完”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设牧童的人数为x，竹竿的根数为y，根据题意得：6x+14=y8x=y解得：x=7y=56∴牧童的人数和竹竿的根数分别为7，56．故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．二．填空题（共3小题）13．（2026•扬州）《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”一章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何．”大意是：甲、乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各带了多少钱．设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组x+12【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】x+1【分析】根据“若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，∴x+12∵乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，∴23x+y∴根据题意可列出方程组x+1故答案为：x+1【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14．（2026•烟台）路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有x辆车、y个人，根据题意，可列关于x、y的方程组为5(x−3)=y4x+9=y【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】5(x−3)=y4x+9=y【分析】根据“五人同车三车空，四人同车九步行”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵五人同车三车空，∴5（x﹣3）＝y；∵四人同车九步行，∴4x+9＝y．∴根据题意可列出方程组5(x−3)=y4x+9=y故答案为：5(x−3)=y4x+9=y【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．15．（2026•遂宁）值日生小明整理同学们的水杯时发现：把同一款杯子整齐地叠放，4个杯子叠放成一摞的总高度为14cm，9个杯子叠放成一摞的总高度为24cm，如图所示．请问将50个这款杯子放在限高45cm的摆放区，至少需要叠放3摞．【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．【答案】3．【分析】设1个杯子的高度为xcm，每多叠放1个杯子高度增加ycm，根据“4个杯子叠放成一摞的总高度为14cm，9个杯子叠放成一摞的总高度为24cm”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，设可以叠放m个杯子，根据摆放区限高45cm，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出最高可叠放的杯子的数量，再结合共有50个杯子，即可得出至少需要叠放3摞．【解答】解：设1个杯子的高度为xcm，每多叠放1个杯子高度增加ycm，根据题意得：x+(4−1)y=14x+(9−1)y=24解得：x=8y=2∴1个杯子的高度为8cm，每多叠放1个杯子高度增加2cm．设可以叠放m个杯子，则8+2（m﹣1）≤45，解得：m≤39∵m为正整数，∴m的最大值为19，又∵50÷19＝2（摞）……12（个），2+1＝3（摞），∴至少需要叠放3摞．故答案为：3．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．三．解答题（共8小题）16．（2026•内蒙古）某超市的一部货运电梯的额定载重量为1000千克，甲、乙两位搬运师傅用这部电梯搬运货物上楼，两位师傅每次都和货物一起乘梯，已知甲、乙两位师傅的身体质量分别为75千克和65千克．（不考虑空间因素）（1）现有一批货物质量共3000千克，两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要多少次？请说明理由；（2）若该超市购进大量A，B两种货物，A种货物每箱的质量为100千克，B种货物每箱的质量为80千克，为了尽快搬运上楼，这两位师傅决定满载搬运，有哪几种满载搬运的搭配方案？【考点】二元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．【答案】（1）至少需要4次，理由如下：设需要x次，根据题意得：（1000﹣75﹣65）x≥3000，解得：x≥32143又∵x为正整数，∴x的最小值为4，∴两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要4次；（2）共有2种满载搬运的搭配方案，方案1：每次搬运7箱A种货物，2箱B种货物；方案2：每次搬运3箱A种货物，7箱B种货物．【分析】（1）设需要x次，根据x次搬运的货物总质量大于等于货物总质量，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论；（2）设每次搬运m箱A种货物，n箱B种货物，根据每次搬运货物的总质量与两位师傅的身体质量之和为1000千克，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各搭配方案．【解答】解：（1）至少需要4次，理由如下：设需要x次，根据题意得：（1000﹣75﹣65）x≥3000，解得：x≥32143又∵x为正整数，∴x的最小值为4，∴两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要4次；（2）设每次搬运m箱A种货物，n箱B种货物，根据题意得：100m+80n+75+65＝1000，∴m=43−4n又∵m，n均为非负整数，∴m=7n=2或m=3∴共有2种满载搬运的搭配方案，方案1：每次搬运7箱A种货物，2箱B种货物；方案2：每次搬运3箱A种货物，7箱B种货物．【点评】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．17．（2026•广东）低空经济赋能乡村振兴，在广东某地万亩高标准农田里，农业无人机旋翼轰鸣，稻种精准洒落，科技助农的场景让农户们连连感叹．现有A，B两种型号的无人机可用来播种．（1）如果购买1台A型无人机和3台B型无人机需9万元，购买3台A型无人机和1台B型无人机需11万元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元．（2）每台A型无人机比B型无人机日均播种面积多200亩，每台A型无人机播种1500亩所用时间与B型无人机播种900亩所用时间相等，求两种型号的无人机每台日均分别播种多少亩．【考点】二元一次方程组的应用；分式方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；应用意识．【答案】（1）A型无人机的单价是3万元/台，B型无人机的单价是2万元/台；（2）A型无人机每台日均播种500亩，B型无人机每台日均播种300亩．【分析】（1）设A型无人机的单价是x万元/台，B型无人机的单价是y万元/台，根据“购买1台A型无人机和3台B型无人机需9万元，购买3台A型无人机和1台B型无人机需11万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A型无人机每台日均播种m亩，则B型无人机每台日均播种（m﹣200）亩，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合每台A型无人机播种1500亩所用时间与B型无人机播种900亩所用时间相等，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即A型无人机每台日均播种亩数），再将其代入（m﹣200）中，即可求出B型无人机每台日均播种亩数．【解答】解：（1）设A型无人机的单价是x万元/台，B型无人机的单价是y万元/台，根据题意得：x+3y=93x+y=11解得：x=3y=2答：A型无人机的单价是3万元/台，B型无人机的单价是2万元/台；（2）设A型无人机每台日均播种m亩，则B型无人机每台日均播种（m﹣200）亩，根据题意得：1500m解得：m＝500，经检验，m＝500是所列方程的解，且符合题意，∴m﹣200＝500﹣200＝300．答：A型无人机每台日均播种500亩，B型无人机每台日均播种300亩．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．18．（2026•吉林）吉林玉米黄金带是世界三大玉米黄金带之一，吉林玉米享誉全国．购买7箱“吉林一号”玉米和9箱“吉林二号”玉米共花费580元；购买2箱“吉林一号”玉米比1箱“吉林二号”玉米多花费5元．求每箱“吉林一号”玉米和每箱“吉林二号”玉米的售价．【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力；应用意识．【答案】每箱“吉林一号”玉米的售价为25元，每箱“吉林二号”玉米的售价为45元．【分析】通过设“吉林一号”和“吉林二号”玉米的单价分别为未知数，依据“7箱一号加9箱二号共580元”以及“2箱一号比1箱二号贵5元”这两个等量关系列出方程组．求解后得出“吉林一号”单价为25元，“吉林二号”单价为45元，经代入原题验证无误．【解答】解：设每箱“吉林一号”玉米的售价为x元，每箱“吉林二号”玉米的售价为y元．根据题意列出方程：7x+9y＝580，∵购买2箱“吉林一号”玉米比1箱“吉林二号”玉米多花费5元．∴列方程：2x﹣y＝5，7x+9y=580①由方程②可以变形得到y的表达式：y＝2x﹣5③，将③代入①中，消去y：7x+9（2x﹣5）＝580，展开括号：7x+18x﹣45＝580，合并同类项：25x﹣45＝580，移项：25x＝580+45，25x＝625，解得：x=625将x＝25代入③中求y：y＝2×25﹣5＝50﹣5＝454．答：每箱“吉林一号”玉米的售价为25元，每箱“吉林二号”玉米的售价为45元．【点评】题目考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键在于相关知识的灵活运用．19．（2026•深圳）解二元一次方程组：x+2y=92x+3y=16【考点】解二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】x=5y=2【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可．【解答】解：x+2y=9①2x+3y=16②由①×2﹣②得y＝2，将y＝2代入①解得x＝5，∴方程组的解为x=5y=2【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握该知识点是关键．20．（2026•河南）近视可防可控不可逆，保持“一尺、一拳、一寸”的正确书写姿势能有效预防近视．小文发现，一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺．这本书的长度和小文的一拳长分别是多少尺？【考点】二元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】这本书的长度是0.8尺，小文的一拳长是0.2尺．【分析】设这本书的长度是x尺，小文的一拳长是y尺，根据“一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺”列出二元一次方程组求解．【解答】解：设这本书的长度是x尺，小文的一拳长是y尺．书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺．根据题意，得x+y=12x−3y=1解这个方程组，得x=0.8y=0.2答：这本书的长度是0.8尺，小文的一拳长是0.2尺．【点评】本题考查二元一次方程组的应用，正确进行计算是解题关键．21．（2026•乐山）解方程组：2x+y=5x+y=1【考点】解二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】x=4y=−3【分析】利用加减消元法解方程组即可．【解答】解：2x+y=5，①x+y=1．②①﹣②得：x＝4，把x＝4代入②得：4+y＝1，解得：y＝﹣3，故原方程组的解为x=4y=−3【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．22．（2026•自贡）在七年级校园足球赛中，每班球队要进行15场比赛．每场比赛结果分为胜、平、负，胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分．（1）1班负了3场，总积分为20分，求1班胜了多少场？（2）2班总积分为15分，请直接写出2班比赛胜、平、负场数可能的结果（写出两种情况即可）．【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）1班胜了4场；（2）2班比赛胜4场，平3场，负8场或胜3场，平6场，负6场（答案不唯一，写出两种即可）．【分析】（1）设1班胜了x场，平了y场，根据每班球队要进行15场比赛，1班负了3场，总积分为20分，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设2班胜m场，平n场，则负（15﹣m﹣n）场，根据每班球队要进行15场比赛，2班总积分为15分，列出二元一次方程，求出非负整数解，即可解决问题．【解答】解：（1）设1班胜了x场，平了y场，由题意得：x+y+3=153x+y=20解得：x=4y=8答：1班胜了4场；（2）设2班胜m场，平n场，则负（15﹣m﹣n）场，由题意得：3m+n＝15，∵m、n均为非负整数，∴m=5n=0或m=4n=3或m=3n=6或m=2n=9或答：2班比赛胜4场，平3场，负8场或胜3场，平6场，负6场（答案不唯一，写出两种即可）．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．23．（2026•安徽）广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由A，B，C，D四个小矩形组成，如图所示．C的面积比A的面积的2倍多2m2，D的面积比B的面积的3倍少3m2．设A的面积为xm2，B的面积为ym2．（1）C的面积为（2x+2）m2（用含x的代数式表示）；D的面积为（3y﹣3）m2（用含y的代数式表示）；（2）若A的面积与B的面积之和为10m2，C的面积比D的面积少5m2，求x和y．【考点】二元一次方程组的应用；列代数式．【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）（2x+2），（3y﹣3）；（2）x＝4，y＝6．【分析】（1）由题意分别列出代数式即可；（2）根据A的面积与B的面积之和为10m2，C的面积比D的面积少5m2，列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）∵C的面积比A的面积的2倍多2m2，D的面积比B的面积的3倍少3m2，C的面积为（2x+2）m2，D的面积为（3y﹣3）m2，故答案为：（2x+2），（3y﹣3）；（2）由题意得：x+y=10(3y−3)−(2x+2)=5解得：x=4y=6答：x＝4，y＝6．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式等知识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

考点卡片1．数学常识数学常识此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．平时要注意多观察，留意身边的小知识．2．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．3．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实