2026年中考数学真题知识点专题 二次函数(二)

年中考数学真题知识点分类汇编之二次函数（二）一．选择题（共3小题）1．（2026•达州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，c＜0）的自变量x与函数y的部分对应值如表：x…﹣202…y…0cc…在下列结论中：①a＞0；②2a+b＝0；③当x＜1时，y的值随着x值的增大而增大；④x1＝﹣2，x2＝4是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根．正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2026•泸州）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：A(2，12)①函数y＝3x的图象上存在2个“倒数点”；②函数y＝|x﹣1|的图象上不存在“倒数点”；③函数y＝2x2+1的图象上存在1个“倒数点”；④若函数y＝kx+2的图象上存在“倒数点”，则k≤﹣1．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2026•台湾）已知坐标平面上有二次函数y＝﹣（x+5）2﹣20的图形，甲、乙两人提出以下看法：【甲】此函数图形上某个点的y坐标为﹣15；【乙】此函数图形上某个点的y坐标为25．对于甲、乙两人的看法，下列判断何者正确？（）A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确二．填空题（共8小题）4．（2026•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2+4x+4的图象经过点（m，y1）和（m+1，y2），若m＞0，则y1y2（填“＞”“＝”或“＜”）．5．（2026•贵州）一元二次方程ax2+2x+1＝0的两根分别是x1，x2，一元二次方程mx2+2x+1＝0的两根分别是x3，x4，若x1＜x3＜x4＜x2＜0，把a，m，0，1这四个数按从小到大的顺序用“＜”连接起来：．6．（2026•南京）二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为．7．（2026•巴中）如图，在边长为1的等边三角形ABC中，D为BC边上的动点（不与端点重合），过点D作DG⊥AB于点G．下列说法正确的有．（填写序号）①0＜DG＜1；②S△ADG＞S△BDG；③设AG＝x，则△ADG的面积S是关于x的二次函数；④仅存在一点D，使得S△ACD＝S△ADG．8．（2026•广西）二次函数y＝（x﹣20）2+26的最小值为．9．（2026•甘肃）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y（cm）与水平距离x（cm）近似满足函数关系y=−110x2+4x（x10．（2026•苏州）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1的图象为抛物线C，直线y＝a与抛物线C交于A，B两点，过抛物线C的顶点作x轴的平行线l，过A，B分别作l的垂线，垂足为M，N．若四边形ABNM为正方形，则a＝．11．（2026•南充）抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴交于A，B两点，且AB=5，则m的值为三．解答题（共9小题）12．（2026•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点(0，1−aa)，对称轴为（1）求b的值，并用含a的式子表示c；（2）已知M是抛物线C1上的点，M的横坐标为t，抛物线C2的顶点为M，且可以由抛物线C1平移得到（特别地，当M是C1的顶点时，C2即为C1）．若无论t为何值，抛物线C2都不经过点O，求a的取值范围．13．（2026•贵州）某课外实践小组用AI模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图①所示．跳弹在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示．飞机在距水面垂直高度为8.1的A处投放跳弹，跳弹与水面接触于点O开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为C1：y＝﹣0.25x2+2.5x，C2：y＝﹣0.25x2+mx+n，C3：y＝﹣0.25x2+px+q，与水面分别接触于点B，点C．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计）（1）已知点A与点O所在直线AO的表达式为y＝﹣0.9x，分别求出A，B两点的坐标；（2）若水面上D（12，0）处有一个高为2（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽DE＝4的暗礁，抛物线C2在x＝14时距水面最高，请判断跳弹沿路径C2运动时能否避开障碍物和暗礁；（3）在（2）的条件下，若跳弹从水面上点C弹起后，沿路径C3撞击对方目标截面F处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线FM加速飞向水面，接触水面后沿直线MN撞向目标，该过程始终保持FHMH=MHNH=12．且目标露出水面的垂直高度HG＝6，点H的坐标（20，0），打击点N距水面的距离为NH，且6≤14．（2026•南京）如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是AB的中点且AC＝CB＝10m，CD＝10m．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为331m，已知山顶F到点A的水平距离为364m．（1）请建立适当的直角坐标系，并求出该抛物线形拱桥的函数表达式．（2）若一人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为2m，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且PQ＝1.6m，请判断人眼在点Q处能否直接看到山顶F，并说明理由．（3）下列结论中，正确的是．①在挑桥的AD段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等；②在拱桥的BD段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等；③人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近；④人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近．15．（2026•广东）如图1，设O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（﹣3，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，连接AB，BC．（1）求二次函数的解析式；（2）求cos∠ABC的值；（3）如图2，动点P在线段AB上，过点P作AB的垂线PQ，与二次函数在第二象限的图象交于点Q，求BP+2PQ的最大值．16．（2026•陕西）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表：x…﹣2﹣1014…y…50﹣3﹣45…（1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；（2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是（填序号）；①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③当x＝1时，y有最小值为﹣4；④当x＞0时，y的值随x值的增大而增大．（3）若将该二次函数的图象沿y轴向下平移6个单位长度，交x轴于A，B两点，求AB的长．17．（2026•广元）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=12x+2的图象与x轴，y轴分别交于A，（1）如图1，若点P为线段AB的中点，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“顶点弦”为线段PB，且点P为顶点，求该二次函数的解析式；（2）在（1）的条件下，若直线AB上方抛物线上有一点E，使∠BPE+∠BAO＝45°，求点E的坐标；（3）点G在线段AB上，若抛物线F1：y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0）和抛物线F2：y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0）的“顶点弦”分别为GA和GB，点G为F1和F2的顶点，且a1+2a2＝0，求GAGB18．（2026•绥化）综合与探究已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点O为坐标原点，作直线BC．（1）求该抛物线的解析式．（2）在抛物线上有两个动点P，Q，点P在第一象限，横坐标为m，过点P作x轴的垂线，垂足为N，交BC于点M，点Q的横坐标为m−32．若△MCN的面积记作S1，△PMQ的面积记作S2，当S＝S1+S2有最大值时，求点（3）把抛物线y＝ax2+bx+4沿射线BC方向平移，平移后，新抛物线y′过点C，点E是新抛物线y′对称轴与x轴的交点，点F是新抛物线y′对称轴上的动点，连接FC，FO．若FO平分∠CFE，请直接写出符合条件的点F坐标．（自行完成作图并作答）19．（2026•巴中）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点．（1）求抛物线的表达式．（2）点D为抛物线在第二象限内的动点，求△ACD面积的最大值．（3）在第二象限内的抛物线上是否存在点Q，使得∠ACQ＝2∠OCB？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．20．（2026•甘孜州）如图1，抛物线y＝a（x+12）（x﹣6）（a≠0）与x轴负半轴交于点A，与y轴交于B(0，63（1）求抛物线的解析式；（2）将原点O，点B关于抛物线对称轴对称的点分别记为点C，点D，连接CD，AD，作∠OAD的平分线交CD于点E．①求点E的坐标；②如图2，点F为直线AD左侧抛物线上一点，连接FE并延长交x轴于点G，连接DG交抛物线于点H，连接EH，当∠DEH＝∠DEF时，求点H的横坐标．

2026年中考数学真题知识点分类汇编之二次函数（二）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）题号123答案CBB一．选择题（共3小题）1．（2026•达州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，c＜0）的自变量x与函数y的部分对应值如表：x…﹣202…y…0cc…在下列结论中：①a＞0；②2a+b＝0；③当x＜1时，y的值随着x值的增大而增大；④x1＝﹣2，x2＝4是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根．正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果．【解答】解：因为x…﹣202…y…0cc…，c＜0，∴当﹣2＜x＜0，y随x的增大而减小，∴开口向上，a＞0，故①正确；当x＝0，x＝2时，y为c，∴对称轴为直线x=0+2即−b即2a+b＝0，故②正确；∵开口向上，对称轴为直线x=0+2∴当x＜1时，y的值随着x值的增大而减小，故③错误；∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，函数图象过点（﹣2，0），∴二次函数y＝ax2+bx+c过x轴的另一个交点为（4，0），∴ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1＝﹣2，x2＝4，故结论④正确，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．2．（2026•泸州）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：A(2，12)①函数y＝3x的图象上存在2个“倒数点”；②函数y＝|x﹣1|的图象上不存在“倒数点”；③函数y＝2x2+1的图象上存在1个“倒数点”；④若函数y＝kx+2的图象上存在“倒数点”，则k≤﹣1．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质．【答案】B【分析】根据“倒数点”定义，若（x，y）为倒数点，则满足xy＝1（x≠0），即y=1x，联立各函数与【解答】解：由定义得，倒数点满足xy＝1，x≠0，即y=1①联立xy=1y=3x，则3x=整理得3x2＝1，解得x=±3∴方程有2个不同解，故存在2个倒数点，故①正确；②联立xy=1y=|x−1|∵y＝|x﹣1|≥0，∴x＞0，当x≥1时，x−1=1x，整理得x2﹣Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5≥0，解得x1=1+正根x=1+∴图象上存在倒数点，故②错误；③联立xy=1y=2∴1x画出函数y=1x和y＝2x∴由图象知：函数y=1x和y＝2x∴1x∴存在1个倒数点，故③正确；④联立xy=1y=kx+2整理得kx2+2x﹣1＝0，当k＝0时，方程为2x﹣1＝0，解得x=12，y＝2，满足此时k＝0＞﹣1，故④错误；综上，正确的结论共2个，故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，掌握其相关知识点是解题的关键．3．（2026•台湾）已知坐标平面上有二次函数y＝﹣（x+5）2﹣20的图形，甲、乙两人提出以下看法：【甲】此函数图形上某个点的y坐标为﹣15；【乙】此函数图形上某个点的y坐标为25．对于甲、乙两人的看法，下列判断何者正确？（）A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】B【分析】根据题意，将y＝﹣15和y＝25分别代入函数解析式进行计算即可．【解答】解：由题知，当y＝﹣15时，﹣（x+5）2﹣20＝﹣15，则（x+5）2＝﹣5，此方程无解，所以此函数图形上不存在纵坐标为﹣15的点，故甲错误；当y＝25时，﹣（x+5）2﹣20＝25，则（x+5）2＝﹣45，此方程无解，所以此函数图形上不存在纵坐标为25的点，故乙错误，故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．二．填空题（共8小题）4．（2026•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2+4x+4的图象经过点（m，y1）和（m+1，y2），若m＞0，则y1＜y2（填“＞”“＝”或“＜”）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】＜．【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合m＞0判断两点横坐标的位置，即可比较1与y2的大小．【解答】解：对函数解析式配方得y＝x2+4x+4＝（x+2）2，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，∵m＞0，∴m+1＞m＞0＞﹣2，∴y1＜y2，故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．5．（2026•贵州）一元二次方程ax2+2x+1＝0的两根分别是x1，x2，一元二次方程mx2+2x+1＝0的两根分别是x3，x4，若x1＜x3＜x4＜x2＜0，把a，m，0，1这四个数按从小到大的顺序用“＜”连接起来：0＜a＜m＜1．【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】0＜a＜m＜1．【分析】设y1=ax2+2x+1【解答】解：一元二次方程ax2+2x+1＝0的两根分别是x1，x2，一元二次方程mx2+2x+1＝0的两根分别是x3，x4，若x1＜x3＜x4＜x2＜0，设y1=ax则两个函数都经过点（0，1），对称轴分别为x=−22a=−∵一元二次方程ax2+2x+1＝0的两根分别是x1，x2，一元二次方程mx2+2x+1＝0的两根分别是x3，x4，∴x1，x2为抛物线y1与x轴的交点的横坐标，x3，x4为抛物线y2与x轴的交点的横坐标，∵x1＜x3＜x4＜x2＜0，∴抛物线y1与抛物线y2的对称轴均在y轴的左侧，∴−1a＜0∴a＞0，m＞0，∴两条抛物线的开口向上，∵x1＜x3＜x4＜x2＜0，∴抛物线y1的开口大于抛物线y2的开口，∴a＜m，∵两条抛物线与x轴都有两个交点，∴Δ1=2∴a＜1，m＜1，综上：0＜a＜m＜1．故答案为：0＜a＜m＜1．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键．6．（2026•南京）二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为m＜﹣1．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】m＜﹣1．【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则a﹣b＝m且a+b＝m+2，从而a＝m+1＜0，进而计算可以得解．【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），∴a﹣b＝m且a+b＝m+2，∴2a＝2m+2．∴a＝m+1＜0．∴m＜﹣1．故答案为：m＜﹣1．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．7．（2026•巴中）如图，在边长为1的等边三角形ABC中，D为BC边上的动点（不与端点重合），过点D作DG⊥AB于点G．下列说法正确的有①②③④．（填写序号）①0＜DG＜1；②S△ADG＞S△BDG；③设AG＝x，则△ADG的面积S是关于x的二次函数；④仅存在一点D，使得S△ACD＝S△ADG．【考点】二次函数的性质；含30度角的直角三角形；特殊角的三角函数值．【专题】三角形．【答案】①②③④．【分析】由题意易得∠C＝∠B＝60°，AB＝BC＝AC＝1，则有DG=BD⋅sin∠B=32BD，【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为1，∴∠C＝∠B＝60°，AB＝BC＝AC＝1，∵DG⊥AB，∴DG=BD⋅sin∠B=32BD，∵D为BC边上的动点（不与端点重合），∴0＜BD＜1，∴0＜DG＜32＜1，0＜BG＜∵AG＝AB﹣BG＝1﹣BG，∵0＜BG＜1∴12∴AG＞BG，∵S△ADG=1∴S△ADG＞S△BDG，故②说法正确；设AG＝x，则有BG＝1﹣x，∴DG=BG⋅tan∠B=3∴S=1∴△ADG的面积S是关于x的二次函数，故③说法正确；过点D作DH⊥AC，如图所示：∵DH=DC⋅sin∠C=3设AG＝x，则BG＝1﹣x，∴BD＝2BG＝2﹣2x，∴DC＝BC﹣BD＝2x﹣1，∴DH=3∴S△ADC∵S△ADG=−32x2+32∴−3解得：x=2∴仅存在一点D，使得S△ACD＝S△ADG，故④说法正确；综上所述：正确的有①②③④，故答案为：①②③④．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，含30度角的直角三角形，特殊角的三角函数值，掌握其相关知识点是解题的关键．8．（2026•广西）二次函数y＝（x﹣20）2+26的最小值为26．【考点】二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】26．【分析】依据题意，由二次函数为y＝（x﹣20）2+26，则抛物线开口向上，对称轴是直线x＝20，从而可以得解．【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝（x﹣20）2+26，∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝20．∴当x＝20时，y取最小值为26．故答案为：26．【点评】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．9．（2026•甘肃）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y（cm）与水平距离x（cm）近似满足函数关系y=−110x2+4x（x【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；运算能力．【答案】不能．【分析】依据题意，把x＝20代入解析式：y=−1【解答】解：由题意，把x＝20代入解析式：y=−1∵昆虫纵坐标为50，40≠50，∴不能击中．故答案为：不能．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．10．（2026•苏州）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1的图象为抛物线C，直线y＝a与抛物线C交于A，B两点，过抛物线C的顶点作x轴的平行线l，过A，B分别作l的垂线，垂足为M，N．若四边形ABNM为正方形，则a＝5．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】5．【分析】先求出抛物线顶点的坐标，据此表示出BN的长，再分别求出点A和点B的坐标，据此表示出AB的长，最后根据四边形ABNM为正方形建立方程进行求解即可．【解答】解：由题知，因为y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1，所以抛物线的顶点坐标为（m，1）．因为点B在直线y＝a上且BN⊥l，所以BN＝a﹣1．由x2﹣2mx+m2+1＝a得，x=m±a−1所以AB=m+a−1因为四边形ABNM为正方形，所以AB＝BN，则2a−1解得a＝1（舍去）或a＝5，所以a的值为5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．11．（2026•南充）抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴交于A，B两点，且AB=5，则m的值为1或3【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】1或3．【分析】利用二次函数与x轴的交点坐标关系，当y＝0时，利用根与系数的关系解答．【解答】解：当y＝0时，x2+mx+m﹣2＝0，∴x1+x2＝﹣m，x1•x2＝m﹣2．∵AB=5∴|x1﹣x2|=(∴m2﹣4m+3＝0，∴m＝1或3．故答案为：1或3．【点评】此题考查了一元二次方程的解法，要注意选择适宜的解题方法．三．解答题（共9小题）12．（2026•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点(0，1−aa)，对称轴为（1）求b的值，并用含a的式子表示c；（2）已知M是抛物线C1上的点，M的横坐标为t，抛物线C2的顶点为M，且可以由抛物线C1平移得到（特别地，当M是C1的顶点时，C2即为C1）．若无论t为何值，抛物线C2都不经过点O，求a的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题．【答案】（1）b＝﹣2，c=1−a（2）a＜12且【分析】（1）利用抛物线过(0，1−aa)直接得c，再套用对称轴公式x=−（2）先写出顶点为M（t，y1）的平移后抛物线C2，代入原点（0，0）得到关于t的一元二次方程，方程无实数根则判别式Δ＜0，解不等式得到a范围．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y=ax∴c=1−a∵抛物线C1的对称轴为x=1∴−b∴b＝﹣2；（2）设点M（t，y1），∵M是抛物线C1上的点，∴y1由题意，抛物线C2设抛物线C2与y轴交于点N（0，y2），则y2∵无论t为何值，抛物线C2都不经过点O，∴无论t为何值，都有y2≠0，∴关于t的方程2at∴Δ＜0，即4−8a⋅1−a4﹣8（1﹣a）＜0，化简得：8a﹣4＜0，解得：a＜1∴a＜1∴a＜1【点评】本题考查了平面直角坐标系、二次函数的基本性质等，掌握二次函数的综合知识是解题的关键．13．（2026•贵州）某课外实践小组用AI模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图①所示．跳弹在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示．飞机在距水面垂直高度为8.1的A处投放跳弹，跳弹与水面接触于点O开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为C1：y＝﹣0.25x2+2.5x，C2：y＝﹣0.25x2+mx+n，C3：y＝﹣0.25x2+px+q，与水面分别接触于点B，点C．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计）（1）已知点A与点O所在直线AO的表达式为y＝﹣0.9x，分别求出A，B两点的坐标；（2）若水面上D（12，0）处有一个高为2（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽DE＝4的暗礁，抛物线C2在x＝14时距水面最高，请判断跳弹沿路径C2运动时能否避开障碍物和暗礁；（3）在（2）的条件下，若跳弹从水面上点C弹起后，沿路径C3撞击对方目标截面F处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线FM加速飞向水面，接触水面后沿直线MN撞向目标，该过程始终保持FHMH=MHNH=12．且目标露出水面的垂直高度HG＝6，点H的坐标（20，0），打击点N距水面的距离为NH，且6≤【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题．【答案】（1）A（﹣9，8.1），B（10，0）；（2）能避开障碍物和暗礁；（3）414【分析】（1）将y＝8.1，代入y＝﹣0.9x，求得A的坐标，将y＝0，代入C1：y=−0.25x（2）先根据对称轴为x＝14，得出m＝7，代入B（10，0）求得n＝﹣45，得出C2：y=−0.25x2+7x−45（3）设F（20，f），根据已知得出32≤f≤52，将C（18，0）代入C3，得出q＝81﹣18p，将x＝20代入，得出【解答】解：（1）∵飞机在距水面垂直高度为8.1的A处投放跳弹，直线AO的表达式为y＝﹣0.9x，当y＝8.1时，﹣0.9x＝8.1，解得：x＝9，∴A（﹣9，8.1），∵C1当y＝0时，﹣0.25x2+2.5x＝0，解得：x1＝0，x2＝10，∴B（10，0）；（2）∵C2：y=−0.25x2+mx+n，抛物线∴x=−m2×(−0.25)=14∴C2∵C2过点B（10，0），∴当x＝10时，﹣0.25×102+7×10+n＝0，解得：n＝﹣45，∴C2当y＝0时，﹣0.25x2+7x﹣45＝0，解得：x1＝10，x2＝18，∴C（18，0），∵水面上D（12，0）处有一个高为2（宽忽略不计）的障碍物，∴当x＝12时，y＝﹣0.25×122+7×12﹣45＝3，∵3＞2，∴跳弹能避开障碍物，∵暗礁的一个截面宽DE＝4，OD＝12，∴OE＝12+4＝16，∴当x＝16时，y＝﹣0.25×162+7×16﹣45＝3，∵3＞0，∴跳弹能避开暗礁，综上所述，跳弹沿路径C2运动时能避开障碍物和暗礁；（3）点H的坐标（20，0），设F（20，f），∵FHMH=MH∴FH=1∴32≤FH≤5∵C3过点C（18，0），当x＝18时，﹣0.25×182+18p+q＝0，即q＝81﹣18p，∴当x＝20时，C3：y=−0.25×202+20p+q=−100+20p+q=−100+20p+81﹣18p＝﹣19+2p∵32∴−19+2p≤5解得：414【点评】本题考查二次函数的实际应用，正确地求出C2的函数解析式是解题的关键．14．（2026•南京）如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是AB的中点且AC＝CB＝10m，CD＝10m．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为331m，已知山顶F到点A的水平距离为364m．（1）请建立适当的直角坐标系，并求出该抛物线形拱桥的函数表达式．（2）若一人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为2m，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且PQ＝1.6m，请判断人眼在点Q处能否直接看到山顶F，并说明理由．（3）下列结论中，正确的是①．①在挑桥的AD段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等；②在拱桥的BD段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等；③人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近；④人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近．【考点】二次函数综合题．【答案】（1）抛物线形拱桥的函数表达式为：y=−110x（2）确实存在这样一个M点（横坐标为﹣1）；（3）①．【分析】（1）建系求函数：以拱底中点C为原点，AB为x轴，CD为y轴，设顶点式y＝ax2+10代入A（﹣10，0）得解析式．（2）判断视线遮挡：求出Q和F坐标，写出视线直线方程，与抛物线作差，证明差值恒正，即视线在桥面上方．（3）判断仰角相等点，设AD段动点M（x），写出仰角正切表达式，令其等于P点处仰角正切0.9，解方程得x＝﹣1或﹣8，从而判断①对②错．判断距离最近点，分别别计算点D、B到F的距离的平方，比较x＝5时，对应的点到F的距离平方即可判断③④错误．【解答】解：（1）以点C为原点，以AB所在直线为x轴，以CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则：A（﹣10，0），B（10，0），D（0，10），因为抛物线顶点为D（0，10），设抛物线为：y＝ax2+10，把A（﹣10，0）代入：0＝a•102+10，a=−1所以抛物线形拱桥的函数表达式为：y=−110x（2）由（1）可知点A坐标为（﹣10，0），且点P到点A的水平距离为2m，因为P在桥上且在A的右侧，所以P的横坐标是：xp＝﹣10+2＝﹣8，将x＝﹣8代入抛物线y=−1得：yP所以P（﹣8，3.6），眼睛Q在P正上方1.6m，所以Q（﹣8，5.2），点A（﹣10，0），山顶到点A的水平距离为364m（在右侧），所以xF＝﹣10+364＝354，由于山高331m，所以F（354，331），根据Q（﹣8，5.2），F（354，331），可求得直线QF方程为：y＝0.9x+12.4，设视线高度为y1＝0.9x+12.4，桥面高度为y2=−1所以y1﹣y2＝（0.9x+12.4）﹣（−1h（x）＝0.1x2+0.9x+2.4，令y＝0.1（x2+9x）+2.4，配方可得：y＝0.1（x+4.5）2+0.375，所以y1﹣y2≥0.375＞0，所以视线QF在拱桥范围内的每一个点上，都比拱桥高出至少0.375m，即视线完全在拱桥上方，没有任何遮挡．所以，人眼在点Q处能直接看到山顶F；（3）①设拱桥AD段上任意一点M的横坐标为x（﹣10≤x≤0），由抛物线y=−1人站在M点，眼睛在正上方1.6m处，所以眼睛坐标为Q'（x，−1从点Q'看山顶F（354，331），所以仰角α的正切为：tanα=331−(−由于点P（﹣8，3.6），眼睛Q（﹣8，5.2），从Q看山顶F，其仰角为β，所以tanβ=331−5.2令tanα＝tanβ，解方程：319.4+0.1x化简得：（x+1）（x+8）＝0，解得：x＝﹣1，或x＝﹣8，当x＝﹣8正好是点P的横坐标，x＝﹣1在AD段内（因为﹣10≤﹣1≤0），且与P不重合，所以确实存在这样一个M点（横坐标为﹣1）；②在拱桥的BD段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等这个结论是错误的，根据结论①的推导，我们解出的两个使仰角相等的点，横坐标分别为：x＝﹣8和x＝﹣1这两个点都在AD段（即x≤0的左侧），而BD段对应的是0≤x≤10，在BD段内，没有任何一个x能满足上述方程，所以，拱桥的BD段上不存在这样的点；③用反例说明：当人位于点D时，x＝0，眼睛坐标为（0，11.6）．到F（354，331）的距离平方为：dD此时眼睛坐标为（5，−1到F的距离平方为：dx=52=（354﹣5）2+（331﹣9.1）2＝3492比较dD2−dx=52=354＝（3542﹣3492）+（319.42﹣321.92）＝（354﹣349）（354+349）+（319.4﹣321.9）（319.4+321.9）＝5×703+（﹣2.5）×641.3＝3515﹣1603.25＝1911.75＞0，也就是说，在x＝5处时，眼睛到山顶的距离比在点D处更近，既然存在比D点更近的位置，那么点D是最近点的说法就不成立；④同样用反例说明：当人位于点B时，x＝10，眼睛坐标为（10，1.6），到F的距离平方为：d仍然拿x＝5时的距离来比较：此时眼睛坐标为（5，9.1），到F的距离平方为：dx=52=（354﹣5）2+（331﹣9.1）2＝3492所以dB2−dx=52=344＝（3442﹣3492）+（329.42﹣321.92）＝（344﹣349）（344+349）+（329.4﹣321.9）（329.4+321.9）＝（﹣5）×693+7.5×651.3＝﹣3465+4884.75＝1419.75＞0，也就是说，在x＝5处时，眼睛到山顶的距离比在点B处更近，既然存在比D点更近的位置，那么点D是最近点的说法就不成立；故答案为：①．【点评】本意主要考查了二次函数建模、一次函数与二次函数的位置比较（视线遮挡）、解直角三角形（仰角正切）以及利用函数思想分析动点最值问题．建立合适的坐标系并准确表示动点坐标，是解题的关键．本题亮点在于将“能否看见”转化为“直线与抛物线是否相交”的代数判断，将仰角相等转化为方程求解，将距离最近转化为特殊值计算，体现了数形结合和转化思想．对初中生而言计算量稍大，但对巩固二次函数应用能力很有价值．15．（2026•广东）如图1，设O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（﹣3，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，连接AB，BC．（1）求二次函数的解析式；（2）求cos∠ABC的值；（3）如图2，动点P在线段AB上，过点P作AB的垂线PQ，与二次函数在第二象限的图象交于点Q，求BP+2PQ的最大值．【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）25（3）252【分析】（1）运用待定系数法求解即可；（2）过点C作CK⊥AB于点K，先由勾股定理求解BC，然后运用等积法求解CK，再由勾股定理求解BK，即可求解cos∠ABC；（3）过点Q作QE⊥x轴交AB、x轴于点D，E，可得△ADE，△QDP为等腰直角三角形，设PQ＝PD＝m，则QD=2m，设DE＝AE＝n，则AD=2n，表示出Q(n−3，n+2m)，将点Q(n−3，n+2m)代入y＝﹣x2﹣2【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（﹣3，0），∴﹣9﹣3b+3＝0，解得：b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴C（﹣1，0），当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），如图1，过点C作CK⊥AB于K，∵A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，0），∴AC＝2，AB＝32，BC=10∵cos∠BAC=AKAC=∴AK=2∴BK＝AB﹣AK＝22，∴cos∠ABC=BK（3）过点Q作QE⊥x轴交AB、x轴于点D，E，设抛物线顶点为点F，对称轴与线段AB的交点为点G，由（2）知OA＝OB＝3，∵∠AOB＝90°，∴∠A＝45°，∴∠ADE＝∠QDP＝45°，△ADE为等腰直角三角形，∵QP⊥AB，∴△QDP为等腰直角三角形，QP＝DP，∴QD=Q设PQ＝PD＝m，则QD=2同理设DE＝AE＝n，则AD=2∴OE＝OA﹣AE＝3﹣n，∴Q(n−3，n+2将点Q(n−3，n+2m)代入y＝﹣x2﹣2则−(n−3)整理得，m=−2∵BP+2PQ=32∴BP+2PQ=32整理得，BP+2PQ=−2∵y＝﹣（x+1）2+4，∴F（﹣1，4），同理可得△ACG为等腰直角三角形，∴CA＝CG＝2，∴G（﹣1，2），∴BF2+BG2＝（﹣1﹣0）2+（4﹣3）2+（﹣1﹣0）2+（3﹣2）2＝4，FG2＝（4﹣2）2＝4，∴BF2+BG2＝FG2，∴BF⊥AB，∴当点P与点B重合时，则点Q与抛物线顶点F重合，则点D为抛物线对称轴与线段AB的交点G，∴0＜n≤2，∵−2∴当n=−222×(−22∴最大值为−2【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等积法，等腰直角三角形的性质，二次函数的性质等，掌握其相关知识点是解题的关键．16．（2026•陕西）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表：x…﹣2﹣1014…y…50﹣3﹣45…（1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；（2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是①②③（填序号）；①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③当x＝1时，y有最小值为﹣4；④当x＞0时，y的值随x值的增大而增大．（3）若将该二次函数的图象沿y轴向下平移6个单位长度，交x轴于A，B两点，求AB的长．【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题．【答案】（1）（2）①②③；（3）210．【分析】（1）先描点，再连线即可作图象；（2）根据函数图象分析即可；（3）先求出原抛物线的表达式，然后求出平移后的抛物线表达式，再令y＝0，求出其与x轴的两个交点坐标，即可求解AB．【解答】解：（1）如图，二次函数图象即为所求：（2）由函数图象可得，抛物线开口向上，故a＞0，①正确；抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，②正确；由图象可得，当x＝1时，y有最小值为﹣4，③正确；由图象可得，当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，④错误，∴正确的有①②③，故答案为：①②③；（3）根据函数图象可得，顶点坐标为（1，﹣4），故设表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点（0，﹣3）代入得，a﹣4＝﹣3，解得a＝1，∴抛物线表达式为y＝（x﹣1）2﹣4，∴沿y轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为y＝（x﹣1）2﹣4﹣6，即为y＝（x﹣1）2﹣10，令y＝0，则（x﹣1）2﹣10＝0，解得x1=10∴抛物线y＝（x﹣1）2﹣10与x轴的交点为(10∴AB=10【点评】本题主要考查了二次函数图象，平移的性质，抛物线与x轴的交点等，掌握其相关知识点是解题的关键．17．（2026•广元）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=12x+2的图象与x轴，y轴分别交于A，（1）如图1，若点P为线段AB的中点，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“顶点弦”为线段PB，且点P为顶点，求该二次函数的解析式；（2）在（1）的条件下，若直线AB上方抛物线上有一点E，使∠BPE+∠BAO＝45°，求点E的坐标；（3）点G在线段AB上，若抛物线F1：y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0）和抛物线F2：y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0）的“顶点弦”分别为GA和GB，点G为F1和F2的顶点，且a1+2a2＝0，求GAGB【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【答案】（1）y=14x2+（2）E（2，5）；（3）12【分析】（1）求出P（﹣2，1），根据题意可得y＝a（x+2）2+1，将B点代入，求出a的值即可求解；（2）设直线PE与x轴交于F点，过P作PH⊥x轴交于H，则∠FPH+∠BAO＝∠PFH＝45°，求出F（﹣3，0），可求直线EF的解析式为y＝x+3，直线PE与抛物线的交点即为E；（3）设G（m，12m+2），则y＝a1（x﹣m）2+12m+2，y＝a2（x﹣m）2+12m+2，再由A点在抛物线F1上，B点在抛物线F2上，可得a1（﹣4﹣m）2+12m+2＝0①，a2m2+12m+2＝2②，a1+2a2＝0③，联立①②③，解得m=−83或m【解答】解：（1）y=12x+2与x轴交点A（﹣4，0），∵点P为线段AB的中点，∴P（﹣2，1），∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“顶点弦”为线段PB，且点P为顶点，∴y＝a（x+2）2+1，将B点代入，4a+1＝2，解得a=1∴y=14x2+（2）设直线PE与x轴交于F点，过P作PH⊥x轴交于H，∵∠BPE+∠BAO＝45°，∴∠FPH+∠BAO＝∠PFH＝45°，∵PH＝1，∴FH＝1，∴F（﹣3，0），∴直线EF的解析式为y＝x+3，当x+3=14x2+x+2时，解得x＝2或∴E（2，5）；（3）设G（m，12m∴y＝a1（x﹣m）2+12m+2，y＝a2（x﹣m）2+∵A点在抛物线F1上，B点在抛物线F2上，∴a1（﹣4﹣m）2+12m+2＝0①，a2m2+12∵a1+2a2＝0③，联立①②③，解得m=−83或过G点作GK⊥x轴交于K点，∴GAGB∴GAGB【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄懂定义是解题的关键．18．（2026•绥化）综合与探究已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点O为坐标原点，作直线BC．（1）求该抛物线的解析式．（2）在抛物线上有两个动点P，Q，点P在第一象限，横坐标为m，过点P作x轴的垂线，垂足为N，交BC于点M，点Q的横坐标为m−32．若△MCN的面积记作S1，△PMQ的面积记作S2，当S＝S1+S2有最大值时，求点（3）把抛物线y＝ax2+bx+4沿射线BC方向平移，平移后，新抛物线y′过点C，点E是新抛物线y′对称轴与x轴的交点，点F是新抛物线y′对称轴上的动点，连接FC，FO．若FO平分∠CFE，请直接写出符合条件的点F坐标．（自行完成作图并作答）【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；推理能力．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）P（2，6）；（3）(−52，【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+4，结合已知可得P（m，﹣m2+3m+4）（0＜m＜4），N（m，0），M（m，﹣m+4），Q(m−32，−m2+6m−114)，则MN＝﹣m+4，PM＝﹣m2+4m，xP−x（3）根据题意判断出点C与点B是平移前后的对应点，则把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线y'，根据平移规律得出y'＝﹣（x+52）2+414，则新抛物线的对称轴为直线x=−52，E（−52，0），根据角平分线的定义和平行线的性质可得出∠CFO＝∠COF＝∠EFO，根据等边对等角得出CF＝CO，设【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣1，0），B（4，0），∴a−b+4=016a+4b+4=0解得a=−1b=3∴y＝﹣x2+3x+4；（2）当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），设直线BC的解析式为y＝k1x+b1，则4k解得k1∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∴M（m，﹣m+4），∴MN＝﹣m+4，PM＝（﹣m2+3m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，∴S＝S1+S2=1=1=−5∵−5当m＝2时，面积有最大值．此时，﹣m2+3m+4＝6．即P点坐标为（2，6）；（3）∵原抛物线沿射线BC方向平移后经过点C，∴相当于点C与点B是平移前后的对应点．即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度，则y'=−(x+5新抛物线y'的对称轴是x=−52，点设点F(−5过点F作FG⊥y轴，垂足为G，∴FG=5∵FO平分∠CFE，∴∠EFO＝∠CFO，∵EF∥y轴，∴∠EFO＝∠COF，∴∠CFO＝∠COF，∴CO＝FC＝4，在△FGC中，GC=F∴如图1，EF=OG=CO+CG=4+39如图2，EF=OG=CO−CG=4−39∴F1(−5【点评】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．19．（2026•巴中）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点．（1）求抛物线的表达式．（2）点D为抛物线在第二象限内的动点，求△ACD面积的最大值．（3）在第二象限内的抛物线上是否存在点Q，使得∠ACQ＝2∠OCB？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题．【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；（2）1；（3）存在点Q，使得∠ACQ＝2∠OCB，Q(−6【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）由题意易得C（0，2），连接OD，设D（t，﹣t2﹣t+2），﹣2＜t＜0，然后根据割补法得到△ACD的面积，进而根据二次函数的性质进行求解即可；（3）过点O作OE∥CQ，交AC于点E，过点E作EG⊥OC，取OA的中点F，连接CF，过点F作FH⊥BC，过点O作OP⊥AC，由题意易得OA＝OC＝2，OB＝1，BC=OB2+OC2=5，∠ACO＝45°，然后可得∠【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点，∴4a−2b+2=0a+b+2=0解得：a=−1b=−1∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）由（1）可知：抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2，∴令x＝0时，则有y＝2，即C（0，2），连接OD，设D（t，﹣t2﹣t+2），﹣2＜t＜0，∵A（﹣2，0），C（0，2），∴OA＝OC＝2，S△AOC=12OA⋅OC=2∴S△ADC＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC＝﹣t2﹣t+2﹣t﹣2＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，当t＝﹣1时，△ACD的面积最大，最大值为1；（3）存在点Q，使得∠ACQ＝2∠OCB，理由如下：∵A（﹣2，0），C（0，2），B（1，0），∴OA＝OC＝2，OB＝1，∴BC=OB2过点O作OE∥CQ，交AC于点E，过点E作EG⊥OC，取OA的中点F，连接CF，过点F作FH⊥BC，过点O作OP⊥AC，如图所示：∴OF=12OA=1=OB，∠ACQ＝∠OEC∵OC⊥BF，∴CF=BC=5∴∠BCO＝∠FCO，∴∠BCF＝2∠BCO＝∠ACQ＝∠OEC，∵S△BCF∴FH=2×2∴sin∠FCB=FH∴sin∠OEC=OP∴OE=5∴PE=O∴CE=CP+PE=7∴EG=CG=CE⋅sin45°=7∴OG=OC−CG=1∴E(−7设OE的解析式为y＝kx，则有−7∴k=−1∴OE的解析式为y=−1∵OE∥CQ，∴设直线CQ的解析式为y=−17x+m，把点C∴直线CQ的解析式为y=−1联立y=−1解得：x=−67y=∴Q(−6【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数，三角形面积，二次函数的性质，三角函数及勾股定理等，掌握其相关知识点是解题的关键．20．（2026•甘孜州）如图1，抛物线y＝a（x+12）（x﹣6）（a≠0）与x轴负半轴交于点A，与y轴交于B(0，63（1）求抛物线的解析式；（2）将原点O，点B关于抛物线对称轴对称的点分别记为点C，点D，连接CD，AD，作∠OAD的平分线交CD于点E．①求点E的坐标；②如图2，点F为直线AD左侧抛物线上一点，连接FE并延长交x轴于点G，连接DG交抛物线于点H，连接EH，当∠DEH＝∠DEF时，求点H的横坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；推理能力．【答案】（1）y=−3（2）①E(−6，23)；②【分析】（1）直接将B(0，63（2）①由题意可得A（﹣12，0），对称轴为x＝﹣3，进而得到C（﹣6，0），D(−6，63)，即OC＝6，AC＝6，CD=63，再利用角平分线的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形可得CE=2②设H(h，−312h2−32h+63)，G（g，0）（g＞﹣6），利用待定系数法分别求得直线EG的解析式为y=−23g+6x+23gg+6、直线DH的解析式为y=−312hx+6【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x+12）（x﹣6）（a≠0）与y轴交于B(0，63∴63解得a=−3∴y=−3即y=−3（2）①∵抛物线y=−312x2−∴A（﹣12，0），对称轴为x=−−原点O，点B关于抛物线对称轴x＝﹣3对称的点分别记为点C，点D，∴C（﹣6，0），D(−6，63∴OC＝6，AC＝﹣6﹣（﹣12）＝6，CD=63∴tan∠OAD=CDAC=∵AE平分∠OAD，∴∠CAE=1∵tan∠CAE=CE∴CE6解得CE=23∴E(−6，23②设H(h，−312h2−32设直线EG的解析式为y＝kx+b，则23解得k=−2∴直线EG的解析式为y=−2设直线DH的解析式为y＝mx+n，则63解得m=−3∴直线DH的解析式为y=−312hx+63∴G(72∴g=72如图，延长EF到，使得EJ＝EH，连接HJ，∵∠DEH＝∠DEF，∴ED⊥HJ，ED是中线，∴ED是HJ的垂直平分线，∴点H和点关于CD对称，∴J(−12−h，−3∴−3解得：h=35−3g=6∴点H的横坐标为35【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．

考点卡片1．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．2．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．3．二次函数的图象（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移|b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−4．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=−b2a，二次函数y＝ax2①当a