高中数学 第1章 三角函数 7 7.3 正切函数的诱导公式（教师用书）教学设计 北师大版必修4

上课时间上课时间高中数学第1章三角函数77.3正切函数的诱导公式（教师用书）教学设计北师大版必修42025年12月任课老师任课老师魏老师教学内容分析教学内容分析1.本节课的主要教学内容为正切函数的诱导公式。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课基于学生已掌握的三角函数基础知识和诱导公式，通过引入正切函数的诱导公式，帮助学生理解和应用正切函数的周期性、奇偶性和对称性。教材章节为北师大版必修4第1章三角函数第7节。核心素养目标分析核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养。通过正切函数诱导公式的学习，学生能够抽象出正切函数的性质，进行逻辑推理，建立数学模型解决问题，并提高数学运算的准确性和效率。此外，通过探究和验证过程，培养学生的探索精神和合作意识。学习者分析学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了三角函数的基本概念，包括正弦、余弦和正切函数的定义、性质以及简单的三角恒等式。他们能够应用这些知识解决一些基础问题，如求特殊角度的三角函数值和简单三角形的计算。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学的兴趣因人而异，但大多数学生对三角函数这一与日常生活联系较紧密的数学内容保持一定的兴趣。学生的能力水平不一，部分学生可能在抽象思维和逻辑推理方面表现较好，而另一些学生可能在数学运算和公式记忆上遇到困难。学习风格方面，有学生偏好通过图形直观理解数学概念，而有的学生则更倾向于通过公式推导和逻辑推理来学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在学习正切函数的诱导公式时，可能会遇到以下困难和挑战：一是理解和记忆诱导公式，特别是对于公式中的符号和变换规则；二是将公式应用于解决实际问题，如在不同象限中应用公式求解角度或边长；三是理解公式背后的逻辑关系，即为什么这些公式是正确的。这些挑战需要教师通过有效的教学策略和辅导来帮助学生克服。教学资源教学资源-软件资源：几何画板、数学软件（如MATLAB、Mathematica）

-课程平台：学校内部教学平台、在线教育平台（如国家中小学网络云平台）

-信息化资源：正切函数诱导公式相关教学视频、在线互动练习题库

-教学手段：多媒体教学设备（投影仪、电脑）、实物教具（如三角板）、黑板或白板教学过程设计教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示生活中常见的三角函数应用场景，如建筑、工程、物理等领域。

2.提出问题：引导学生思考正切函数在现实生活中的应用，激发学生探究正切函数诱导公式的兴趣。

3.学生分享：请学生举例说明正切函数在生活中的应用，并简要介绍正切函数的基本性质。

二、讲授新课（20分钟）

1.回顾三角函数基本概念：正弦、余弦和正切函数的定义、性质及简单三角恒等式。

2.引入正切函数诱导公式：介绍诱导公式的概念，强调其在解决实际问题中的重要性。

3.举例讲解：通过具体例子，展示如何运用正切函数诱导公式解决实际问题。

4.推导过程：引导学生逐步推导出正切函数诱导公式，培养学生的逻辑推理能力。

三、巩固练习（10分钟）

1.课堂练习：布置与正切函数诱导公式相关的练习题，让学生在规定时间内完成。

2.学生展示：请部分学生展示解题过程，教师点评并总结。

四、课堂提问（5分钟）

1.提问环节：教师针对练习题中的难点和易错点进行提问，引导学生深入思考。

2.学生回答：学生积极回答问题，教师给予及时反馈和指导。

五、师生互动环节（5分钟）

1.小组讨论：将学生分成小组，讨论如何运用正切函数诱导公式解决实际问题。

2.小组汇报：每组选派代表汇报讨论成果，教师点评并总结。

六、核心素养拓展（5分钟）

1.思考与讨论：引导学生思考正切函数诱导公式在数学学习中的意义，以及如何将其应用于其他领域。

2.总结与反思：教师总结本节课所学内容，引导学生反思自己的学习过程。

教学过程流程环节如下：

1.导入环节（5分钟）

2.讲授新课（20分钟）

-回顾三角函数基本概念（5分钟）

-引入正切函数诱导公式（5分钟）

-举例讲解（5分钟）

-推导过程（5分钟）

3.巩固练习（10分钟）

4.课堂提问（5分钟）

5.师生互动环节（5分钟）

6.核心素养拓展（5分钟）

总用时：45分钟教学资源拓展教学资源拓展1.拓展资源：

-正切函数的图像与性质：介绍正切函数图像的特点，如周期性、奇偶性、对称性等，以及这些性质在实际问题中的应用。

-三角函数的复合函数：探讨正切函数与其他三角函数的复合，如正切函数与余弦函数、正弦函数的复合，以及这些复合函数的性质。

-正切函数在几何中的应用：分析正切函数在解决几何问题中的应用，如计算直角三角形的边长、角度测量等。

-正切函数在物理中的应用：介绍正切函数在物理学中的角色，如计算斜面的倾斜角度、速度与加速度的关系等。

-正切函数在工程中的应用：探讨正切函数在工程领域的应用，如建筑设计、机械设计中的角度计算等。

2.拓展建议：

-阅读相关教材章节，深入理解正切函数诱导公式的推导过程和应用场景。

-利用网络资源或图书馆资源，查找关于正切函数在各个领域应用的案例研究。

-完成课后习题，巩固对正切函数诱导公式的理解和应用。

-参与数学竞赛或项目，尝试将正切函数的知识应用于解决实际问题。

-与同学组成学习小组，共同讨论和解决与正切函数相关的问题。

-观看教育视频或参加讲座，了解正切函数在数学史上的地位和发展。

-尝试自己推导正切函数的诱导公式，加深对公式本质的理解。

-通过制作数学模型或实验，直观展示正切函数的性质和图像特征。

-在教师的指导下，尝试将正切函数的知识与其他学科知识相结合，进行跨学科学习。典型例题讲解典型例题讲解例题1：

已知正切函数y=tanx在x=π/4时的函数值为1，求函数y=2tanx在x=π/4时的函数值。

解答：由于y=2tanx是y=tanx的线性变换，即y=2tanx=2*tan(π/4)=2*1=2。因此，当x=π/4时，y=2tanx的函数值为2。

例题2：

在直角三角形ABC中，∠A=30°，∠B=60°，求∠C的正切值。

解答：在直角三角形ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。已知∠A=30°，∠B=60°，则∠C=180°-30°-60°=90°。由于在30°-60°-90°的直角三角形中，对边与邻边的比例是1:√3，所以tan(60°)=√3。因此，∠C的正切值为√3。

例题3：

已知tan(α+β)=2/3，tanα=1/2，求tanβ的值。

解答：使用正切的和角公式，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)。将已知值代入，得到2/3=(1/2+tanβ)/(1-1/2tanβ)。通过代数运算，解得tanβ=5/12。

例题4：

在单位圆上，点P的坐标为(3/5,4/5)，求∠OPB的正切值。

解答：在单位圆上，点P的坐标表示的是cosθ和sinθ的值。因此，cosθ=3/5，sinθ=4/5。由于tanθ=sinθ/cosθ，所以tanθ=(4/5)/(3/5)=4/3。因此，∠OPB的正切值为4/3。

例题5：

如果tanx=3，求tan(2x)的值。

解答：使用正切的二倍角公式，tan(2x)=2tanx/(1-tan^2x)。将tanx=3代入，得到tan(2x)=2*3/(1-3^2)=6/(1-9)=6/(-8)=-3/4。因此，tan(2x)的值为-3/4。教学反思与总结教学反思与总结今天的课，我觉得还是有不少收获的。首先，我在导入环节设计了一个生活中的实际案例，发现学生们对正切函数的应用兴趣很浓，他们能够很快地参与到课堂讨论中来。我觉得这一点很重要，因为数学不是孤立存在的，它能帮助我们解决实际问题。

在讲授新课的过程中，我尝试通过逐步推导诱导公式的方式来帮助学生理解，而不是直接给出公式。我看到学生们在推导过程中眼神中的专注和思考，这让我觉得我的教学方法是有效的。不过，我也注意到有些学生对于公式的记忆和推导过程还是有些吃力，这可能需要我在今后的教学中加强复习和巩固。

练习环节，我设计了几个不同难度的题目，让学生们分组讨论，我觉得这种互动学习的方式很好，它不仅提高了学生的参与度，还促进了学生之间的合作学习。不过，我也发现有些学生在解答过程中出现了错误，这可能是由于他们对基本概念理解不够深入，或者是在运算过程中不够细心。

课堂提问时，我尽量让每个学生都有机会回答问题，这有助于他们巩固所学知识。同时，我也注意到了学生们的情感态度，他们在面对难题时表现出的坚持和努力让我感到欣慰。

1.加强对基本概念的教学，确保学生能够准确理解和掌握。

2.设计更多样化的练习题，帮助学生巩固知识，提高解题能力。

3.通过小组合作学习，培养学生的团队协作精神。

4.定期进行复习和总结，帮助学生巩固记忆，提高学习效果。

我相信，通过不断的反思和改进，我能够更好地帮助学生们掌握数学知识，提高他们的数学素养。教学评价教学评价1.课堂评价：

在课堂教学中，我通过提问和观察来评价学生的学习情况。我提问了一些基本概念和公式的应用问题，观察学生是否能迅速准确地回答。我还注意学生的参与度和课堂互动，以及他们是否能够积极参与讨论和小组活动。通过这些观察，我能够及时发现问题，比如某些学生对公式的理解不够深入，或者对解题步骤不够熟悉。我会针对这些问题在课堂上进行个别辅导或全班讲解，以确保所有学生都能跟上教学进度。

2.作业评价：

对于学生的作业，我进行了认真的批改和点评。我不仅检查了答案的正确性，还关注了学生的解题过程和方法。通过作业，我发现了一些共性问题，比如对诱导公式的应