2027山东专升本高数一 二元函数定义域与极限专题练习题（含详细分步解析）

山东专升本高数一二元函数定义域与极限专题练习题备考说明：本专题严格适配山东专升本高数一考纲，聚焦多元函数入门两大必考模块：二元函数定义域求解、二元函数极限计算与存在性判定。题型覆盖基础易错、高频真题、大题计算，所有题目均适配专升本难度，每题附带完整分步解题步骤、答案、易错总结，零基础可直接刷题提分。考前核心知识点速记一、二元函数定义域求解规则（必考）1.根式：偶次根号下表达式≥0，奇次根号下全体实数；2.分式：分母表达式≠0；3.对数：真数表达式＞04.反正弦、反余弦：自变量绝对值≤1；5.定义域为所有约束条件的交集，最终用平面点集表示。二、二元函数极限核心考点1.极限定义：lim(x,y)→(x02.极限不存在判定：找两条不同路径，极限值不相等；3.极限常用方法：直接代入法、等价无穷小替换、有理化、夹逼准则；4.重要结论：二元函数极限不能用一元函数洛必达法则（专升本高频易错点）。一、单项选择题（10题，基础高频，每题详细步骤+解析）题1二元函数z=4-x2-A.{(x,y)|x2C.{(答案：A详细解题步骤：步骤1：根据偶次根式定义域规则，根号下表达式非负；步骤2：列约束不等式：4-x步骤3：整理得：x2步骤4：函数定义域为圆心在原点、半径为2的圆及其内部，对应选项A。易错点拨：偶次根式包含等于0的边界，不可选开区间。题2函数z=1ln⁡(x+y)的定义域是A.x+y>0;B.x+y≠1;C.答案：C详细解题步骤：步骤1：拆分双重约束：对数函数+分式函数；步骤2：对数真数要求：x+步骤3：分式分母不为0：ln⁡(x+y)≠0⇒x+y≠1步骤4：取交集得定义域：x+y>0易错点拨：极易遗漏分母不为0的约束，只考虑对数定义域。题3判定极限lim(x,y)→(0,0)xyx2A.0;B.1;C.12;D.答案：D详细解题步骤：步骤1：二元极限存在要求：所有趋近路径极限值唯一；步骤2：取路径1：沿x轴趋近，令y=0，原式=lim步骤3：取路径2：沿直线y=x趋近，原式=lim步骤4：两条路径极限值不相等，故极限不存在，选D。核心考点：二元极限不存在最常用判定方法：双路径验证法。题4lim(x,y)→(0,0)sin⁡(xy)A.0;B.1;C.2;D.不存在答案：A详细解题步骤：步骤1：趋近过程(x,y)→(0,0)，满足xy→0；步骤2：等价无穷小替换：sin⁡(xy)∼xy步骤3：原式化简：lim(x,y)→(0,0)步骤4：直接代入得极限值为0，选A。题5函数z=x-y的定义域为（A.x≥0,y≥0;B.x≥y,y≥0;C.x≥0,y≥答案：B详细解题步骤：步骤1：内层根号约束：y≥0；步骤2：外层根号约束：x-y≥0，即步骤3：联立约束得定义域：x≥y,y≥0，选题6lim(x,y)→(1,2)x+yxyA.32;B.2答案：A详细解题步骤：步骤1：该函数为初等二元函数，在(1,2)处连续；步骤2：连续函数极限可直接代入自变量取值；步骤3：代入计算：1+21×2=3核心结论：初等多元函数在定义域内点处极限=函数值。题7函数z=arcsin⁡x2A.x2+y2≤4;B.答案：A详细解题步骤：步骤1：反正弦函数定义域规则：自变量满足-1≤u≤1；步骤2：令u=x2+步骤3：因x2+y2≥0题8lim(x,y)→(0,0)2-xy+4A.-14;B.1答案：A详细解题步骤：步骤1：观察为00型极限，采用分子有理化步骤2：分子分母同乘共轭因式2+xy+4原式=lim步骤3：化简分子：4-(xy+4)=-xy；步骤4：约去非零因子xy，得：lim(x,y)→(0,0)步骤5：代入取值计算：-12+2=-1题9二元函数极限lim(x,y)→(0,0)(x2A.0;B.1;C.-1;D.不存在答案：A详细解题步骤：步骤1：判定无穷小与有界函数：(x,y)→(0,0)时，x2步骤2：三角函数有界性：sin⁡1步骤3：无穷小量×有界函数=无穷小量，极限值为0，选A。题10函数z=ln⁡(1-x2A.1≤x2+y2<1答案：B详细解题步骤：步骤1：拆分约束条件：对数真数1-x步骤2：根式约束x2步骤3：两个条件无交集，函数定义域为空集，选B。二、填空题（6题，高频易错，完整分步解析）题1函数z=xx+y的定义域为答案：{(x,y)|x≥0详细解题步骤：步骤1：根号约束：x≥0；步骤2：分式分母不为0：x+y≠0；步骤3：联立约束，写出平面点集定义域即可。题2lim(x,y)→(0,0)ln答案：1详细解题步骤：步骤1：(x,y)→(0,0)时，xy→0，满足无穷小条件；步骤2：等价无穷小公式：ln⁡(1+t)∼t(t→0)步骤3：替换得：lim(x,y)→(0,0)题3函数z=y-x2答案：{(x,y)|详细解题步骤：步骤1：第一个根式：y-x步骤2：第二个根式：1-y≥0⇒y≤1；步骤3：联立得：x2题4lim(x,y)→(2,1)x答案：5详细解题步骤：步骤1：函数在(2,1)处连续，无分母为0情况；步骤2：直接代入计算：22题5极限lim(x,y)→(0,0)x答案：不存在详细解题步骤：步骤1：取路径y=kx步骤2：代入原式：limx→0步骤3：极限值随k变化，不唯一，故极限不存在。题6lim(x,y)→(0,0)1-答案：1详细解题步骤：步骤1：无穷小等价公式：1-cos步骤2：令t=x2+y2步骤3：替换化简：limt→0三、解答大题（4题，专升本必考题型，满分分步解析）大题1求二元函数z=4x-y满分详细解析：该函数同时包含根式、对数、分式，需联立三重约束条件：步骤1：偶次根式约束：4x-y步骤2：对数真数约束：1-步骤3：分式分母不为0：ln⁡(1-步骤4：联立所有条件，取交集：定义域：(易错总结：多重约束必须全部考虑，缺一不可。大题2计算极限lim(x,y)→(0,0)满分详细解析：采用夹逼准则求解二元极限：步骤1：利用基本不等式：x2≥0，故步骤2：推导绝对值不等式：0≤x步骤3：求两侧极限：lim(x,y)→(0,0)0=0，步骤4：由夹逼准则得：原极限=0。大题3证明极限lim(x,y)→(0,0)x+y满分详细解析：步骤1：选取第一条路径：沿x轴趋近，令y=0；极限值：limx→0步骤2：选取第二条路径：沿y轴趋近，令x=0；极限值：limy→0步骤3：两条不同趋近路径，极限值不相等；结论：该二元极限不存在。大题4计算极限lim(x,y)→(0,0)满分详细解析：步骤1：变量替换简化二元极限，令t=x步骤2：当(x,y)→(0,0)时，t→0步骤3：等价无穷小替换：sin⁡t∼t(t→0)步骤4：原式转化为：limt→0最终极限值为1。四、专升本专题满分总结（必背）1.定义域解题万能步骤：拆