甘肃省平凉市静宁县文萃中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷（含解析）

甘肃省平凉市静宁县文萃中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（

）A．0 B． C． D．2．已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（

）A．第42项 B．第41项 C．第9项 D．第8项3．若椭圆的短轴长是焦距的倍，则的离心率为（

）A． B． C． D．4．两平行直线与之间的距离为（

）A． B． C． D．5．已知为等比数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．6．圆与圆的位置关系是（

）A．外离 B．内切 C．相交 D．外切7．设为等差数列的前项和，且，若，则的最小值为（

）A．28 B．29 C．30 D．318．已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．若为椭圆的方程，则的值可以为（

）A．3 B．6 C．8 D．110．圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的值可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．311．设数列的前项和为，且，则（

）A． B．C．是等差数列 D．三、填空题12．已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为______.13．关于直线对称的圆的方程为__________.14．已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为__________.四、解答题15．已知直线与直线相交于点．(1)求过点且与直线垂直的直线的方程；(2)求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程．16．已知等差数列满足成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．17．已知函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，过三点.(1)求的方程；(2)若过点作的弦，其中最长弦与最短弦分别为，求四边形的面积.18．已知椭圆经过点与点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于异于的，两点，且.①证明：直线过定点；②求的面积的最大值.19．已知与，过点作的切线，切点分别为、.(1)求直线与的方程；(2)求；(3)求与的所有公切线的方程.参考答案1．D【详解】由于直线与轴平行，所以倾斜角为.故选：D.2．B【详解】由已知数列1，，，，3，…，，…，即，，，，，…，，…，则数列的第项为，令，解得，所以9是该数列的第41项.故选：B.3．B【详解】椭圆的短轴长是焦距的倍，，即，则，即，则，椭圆的离心率为.故选：B.4．C【详解】依题意，直线为，所以两平行直线与之间的距离．故选：C5．B【详解】设等比数列的公比为，由，得，又，所以，解得，又，所以，所以.故选：B.6．D【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，因为，所以圆与圆外切．故选：D．7．C【详解】由，得，又，所以，等差数列的公差，即是递减数列，由，得，所以时，，由，得，所以当时，的最小值为30.故选：C.8．D【详解】设点，因为，所以，整理得点的轨迹方程为，根据题意可得直线与点的轨迹有公共点，所以，即，解得．故选：D．9．AC【详解】方程，即，依题意可得，解得且，即的取值范围为，结合选项可知A、C符合题意.故选：AC10．ABC【详解】圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离等于，则，解得.显然.故选：ABC11．ACD【详解】当时，，解得，故A正确；由，得，上述两式作差，得，即，故B错误；由，得，所以是公差为1的等差数列，故C正确；因为，所以，即，所以，故D正确.故选：ACD.12．/【详解】将直线化为一般方程可得，由点到直线距离公式可得坐标原点到直线的距离为.故答案为：13．【详解】设圆心关于直线的对称点为，则，解得，即，所以所求圆的方程为.故答案为：14．【详解】设椭圆的焦距为，设，所以，因为，所以，即，即，因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为.故答案为：.15．(1)；(2)或．【详解】（1）由得所以点．设过点且与直线垂直的直线的方程为，将点代入方程得，解得，所以所求直线的方程为．（2）当直线过原点时，直线在轴上的截距与在轴上的截距都是0，显然符合题意，设所求直线的方程为，将点代入，得，故所求直线方程为．当直线不过原点时，设所求直线方程为，将点代入，得，故所求直线方程为，即．综上所述，所求直线的方程为或．16．(1)(2)【详解】（1）因为数列为等差数列，则，即，又因为成等比数列，则，联立方程，解得或，且，则，可知公差，所以数列的通项公式.（2）由（1）可得：，所以.17．(1)(2)【详解】（1）对于二次函数，令，得，所以或，不妨假设在左侧，则，令，得，所以，设的方程为，将三点代入，得，解得所以的方程为.（2）的方程可化为，所以的圆心，半径，因为，所以点在内部，所以过点的最长弦为的直径，所以.设圆心到任意一条弦的距离为，则该弦弦长为，所以当最大时，弦长最短.因为，所以最短弦长，此时，即，所以四边形的面积为.18．(1)(2)①证明：由（1）知，椭圆的方程为，设，不妨令在轴上方，则，假设直线斜率不存在，设直线方程为，联立方程，可得，所以解得或（舍去），所以直线方程为；假设斜率存在，设直线方程为，联立方程，得，所以，，由，可得，解得或，所以直线方程为或，所以直线恒过或（舍去），综上，直线恒过定点.②【详解】（1）设椭圆为，因为椭圆经过点与点，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）①略②由上述可知，当直线斜率不存在时，，设定点为点，则，所以；当直线斜率存在时，，则设方程为，联立得，则，，所以，设，则，所以，由函数在上单调递增知，所以，当且仅当，即时取等，故的面积的最大值为.

【点睛】19．(1)直线与的方程为或.(2)(3)或或【详解】（1）可化为，圆心，半径.设过且与圆相切的直线为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与相切，符合题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，因为直线与相切，所以，解得，所以直线的方程为，即.综上所述，直线与的方程为或.（2）由切线的几何性质可得，，所以，又，，所以.（3）的圆心，半径；的圆心，半径.

因为，所以与