湖北省圆创联盟2027届高三上学期八月联考暨开学检测考试数学试卷（含解析）

湖北省圆创联盟2027届高三上学期八月联考暨开学检测考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集，集合，，则(

)A. B.C. D.2．若，则(

)A. B. C. D.3．已知向量，，且与互相垂直，则实数(

)A. B. C. D.-54．若圆锥的轴截面是底边长为4，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为(

)A. B. C. D.5．已知，是椭圆的左、右焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为(

)A. B. C. D.6．已知函数的部分图象如图所示，B，D是图象与x轴的交点，且，，.则(

)A. B. C. D.7．已知抛物线的焦点为F，准线为l.过点F作直线交C于A，B两点，分别过A，B作C的切线，两切线交于点M.若，则直线的斜率的取值范围是(

)A. B.C. D.8．已知函数若存在正实数，使得，，则a的取值范围是(

)A. B. C. D.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．下列结论中正确的是(

)A.若随机变量X满足，则.B.数据1，2，3，4，5，6的分位数是3C.若随机变量，，则D.当相关系数时，样本点都落在同一条直线上10．记数列的前n项和为，若，，则(

)A.数列为等差数列 B.C. D.数列为周期数列11．已知曲线，点在E上，O为坐标原点，则(

)A. B.的取值范围是C.直线与E有且仅有4个交点 D.三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12．的展开式中的系数为_____________.13．已知圆，过坐标原点O作C的两条切线，切点分别为A，B，点P在直线上，则的最小值为_____.14．在正方体中，E为的中点.设正方体的所有顶点与棱的中点构成集合S，若从S中任取两个点连成直线，则与直线垂直的直线条数为_____________.四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知为等差数列，且，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.16．（15分）如图，在三棱柱中，，，四边形为菱形，，.(1)求二面角的余弦值；(2)求三棱柱的体积.17．（15分）记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，D，E为边上的点.(1)若为的角平分线，，，求的面积；(2)若为锐角三角形，为边上的中线，，求的取值范围.18．（17分）已知双曲线的离心率为2,右焦点到渐近线的距离为,左焦点为,过的直线l与C的右支交于A、B两点,且点A在第一象限.(1)求C的标准方程;(2)若,求l的方程;(3)记的内心为,的内心为,的面积为,的面积为,求的最大值.19．（17分）某精密仪器厂对生产的一批产品进行质量检验，产品按质量分为一等品和二等品.已知每个产品为一等品的概率都为，且各产品是否为一等品相互独立.现从这批产品中有放回地抽取n件作检验，记其中一等品的个数为X.定义该批零件的综合质量指数为(1)求；(2)设，记，证明：；(3)设，且正实数a，b满足，定义函数，证明：对任意满足条件的，.参考答案1．答案：B解析：，则.2．答案：A解析：.3．答案：A解析：已知，，则，.由与互相垂直，得，即，化简得，解得.4．答案：C解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则.所以该圆锥的侧面积为.5．答案：C解析：设，，.在中，由三角形内角和得.由正弦定理得，即，.由椭圆定义得，即，所以.由，及椭圆离心率，得.6．答案：D解析：由图可知，D点的横坐标为，则，所以.因为，，所以，得.因为，所以.将C点坐标代入函数，得，即.所以，，即，.因为，所以.7．答案：B解析：设直线的斜率为k，，.设过点的切线的斜率为，方程为.联立，消去x得.由，得.所以直线的方程为，化简得直线的方程为.同理可得直线的方程为.联立解得又，，且，代入上式化简得即.由于抛物线的焦点，所以.因为，所以，解得或.所以直线的斜率的取值范围是.8．答案：D解析：若存在正实数，，使得，，则函数与的图象有两个公共点.所以，即在时有两个不同的解.又.令，问题转化为求直线与函数的图象有两个交点时a的取值范围.，令，得，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.因此在处取得最大值，所以.当时，；当时，，所以.9．答案：ACD解析：由，得，故A正确；对于B，因为，所以数据1，2，3，4，5，6的分位数是2，故B错误；对于C，若随机变量，，则，所以，故C正确；对于D，当相关系数满足时，所有样本点完全线性相关，即全部样本点都在同一条直线上，故D正确.10．答案：AC解析：令，则，.因为，所以.于是，所以，即.所以是以为首项，公差为的等差数列.所以，所以.选项A：因为，所以为等差数列，所以A正确.选项B：.因为时，所以不恒成立，B错误.选项C：由，得.而，所以，故选项C正确.选项D：通项随n变化，对应的点分布在函数的图象上，不是周期数列，D错误.11．答案：ABD解析：对于A选项，曲线方程变形为.因为点在E点上，所以.因为，所以.若，则，矛盾，所以，即，故A正确.对于B选项，.因为，所以，所以，故B正确.对于C选项，联立与，得.令，，构造函数，.求导，所以在单调递增.当时，；当时，.由零点存在定理，存在唯一的使得，对应两个横坐标，即两个交点和，共2个交点，故C错误.对于D选项，要证，等价于证.令，由，得，.设，，求导.设，则.由，得，所以在单调递减.当时，；当时，.所以存在唯一极值点，满足，使得在单调递增，在单调递减，最大值为.接下来进一步确定的范围：由，得.将代入，得.令，则，所以在单调递增，故，即，所以，故D正确.12．答案：10解析：的展开式中的项为：.13．答案：解析：显然，其中一条切线为y轴，设切点为.设另一条切线的方程为，由到切线的距离为2，得，解得.所以的方程为.由解得，所以.所以的方程为：，即：.所以的最小值为点O到直线的距离，即.14．答案：18解析：如图，在正方体中，设对应棱上的点（非顶点）为棱的中点，连接，，，，.因为，，，所以平面.因为平面，所以.又因为，，平面，所以平面.因为平面，所以.同理.因为，平面，所以平面.故所有与垂直的直线在平面内或与平面平行.易知与平面平行的平面有平面，平面和平面.所以满足条件的直线条数为：（条）.15．答案：(1)(2)解析：(1)设的公差为d.由，得.由，得.解得，.所以.(2)由(1)知，所以.所以.①两边同时乘，得.②①-②，得.所以.16．答案：(1)(2)解析：(1)取的中点D，连接，.∵四边形为菱形，，与是等边三角形，.，.，是二面角的平面角.又，平面，平面．平面，．，，，，.所以二面角的余弦值为．(2)过D作于点F，则，，.平面，.平面，则面.所以.所以三棱柱的体积为.17．答案：(1)(2)解析：(1)因为是的角平分线，所以.因为，所以．因为，，所以，化简得．又因为，由余弦定理，得，所以．所以，解得．所以的面积为．(2)由余弦定理，得，即．因为为边的中线，所以．所以．由正弦定理，得，所以，．所以因为为锐角三角形，所以解得．所以．所以，．所以，即．所以的取值范围是.18．答案：(1)(2)(3)解析：(1)因为右焦点到渐近线的距离,所以.又离心率,且,解得,.所以C的标准方程为.(2)设直线,,.联立消去x得.由韦达定理,得,.因为l与C的右支交于两点,所以,即.因为,且,所以.所以,,解得,符合题意.所以l的方程为.(2)由已知得,.过的内心为作,,的垂线,垂足分别为C,E,D,如图所示.根据切线长定理,得,.由,得.又,所以.而,则.所以.同理.所以.又,所以,.因为,所以,解得.即,同理.所以.因为,,所