小学五年级数学下册长方体和正方体知识清单

小学五年级数学下册长方体和正方体知识清单一、立体图形的初步认识与基本元素（一）长方体的认识长方体是由六个长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。在一个长方体中，相交于同一顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。【基础】【概念核心】长方体有6个面，每个面都是长方形，相对的面完全相同。长方体的12条棱可以分为三组，每组中的4条棱长度相等，分别对应长方体的长、宽、高。长方体有8个顶点。考点分析：识别长方体的面、棱、顶点；能够准确指出给定长方体的长、宽、高；判断给定图形是否为长方体；理解“相对的面”和“相对的棱”的含义。（二）正方体的认识正方体（也叫做立方体）是由六个完全相同的正方形围成的立体图形。【基础】【概念核心】正方体有6个面，每个面都是正方形，所有面的面积都相等。正方体有12条棱，所有棱的长度都相等。正方体有8个顶点。考点分析：识别正方体的特征；判断一个立体图形是否为正方体；区分正方体与长方体。（三）★长方体和正方体的关系正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。因此，正方体是一种特殊的长方体。它们的关系可以用下图表示：【重要】【易混点辨析】（长方体集合图，内含正方体）考查方式：通常以判断题或选择题的形式出现，例如：“正方体是特殊的长方体”这句话是否正确？或者要求选择关于长方体和正方体关系描述正确的选项。二、长方体和正方体的棱长总和（一）长方体的棱长总和长方体的棱长总和是指它的12条棱的长度之和。【高频考点】公式推导：由于长方体的12条棱分为三组，每组4条（长、宽、高各一组），所以：长方体的棱长总和=4×(长+宽+高)用字母表示：C_{长方体棱长}=4(a+b+h)，其中a表示长，b表示宽，h表示高。逆运算：已知棱长总和及长、宽、高中的两项，求另一项。方法：长+宽+高=棱长总和÷4然后根据已知两项求出未知项。（二）正方体的棱长总和正方体的12条棱长度全部相等，所以：【高频考点】正方体的棱长总和=棱长×12用字母表示：C_{正方体棱长}=12a，其中a表示棱长。逆运算：已知棱长总和，求棱长。方法：棱长=棱长总和÷12（三）常见题型与解题步骤1.直接计算：给出长方体的长、宽、高或正方体的棱长，直接套用公式求总棱长。2.求棱长总和的应用：例如，用一根铁丝围成一个长方体框架，求铁丝的长度；给一个长方体柜台镶上金属条，求金属条的长度等。【步骤】①确定所求物体的形状是长方体还是正方体；②找出所需的长、宽、高或棱长数据；③选择合适的公式进行计算；④注意单位的统一与换算。3.逆用公式求棱长：【步骤】①先求出长、宽、高的和（棱长总和÷4）；②根据已知条件，利用和减去已知项求出未知项。三、长方体和正方体的表面积【核心内容】【难点】（一）表面积的定义长方体或正方体六个面的总面积，叫做它的表面积。【基础】（二）长方体的表面积计算公式推导：长方体相对的面面积相等。上、下两个面的面积=长×宽×2；前、后两个面的面积=长×高×2；左、右两个面的面积=宽×高×2。【重要】公式1：长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2公式2（常用）：长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2用字母表示：S_长方体表=2(ab+ah+bh)（三）正方体的表面积计算公式推导：正方体六个面都是完全相同的正方形，一个面的面积=棱长×棱长。【重要】公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6用字母表示：S_正方体表=6a²（四）★【高频考点】【难点】实际应用中的“面”数问题在实际生活中，计算长方体和正方体的表面积时，往往不需要计算所有六个面的面积，需要根据具体情况确定计算哪几个面的面积之和。常见类型：1.无盖的盒子、鱼缸、游泳池、洗衣机罩等：只需求五个面的面积（少一个上面）。计算公式通常为：S=长×宽+(长×高+宽×高)×2。2.通风管、烟囱、柱子等：只需求四个面的面积（少两个横截面，即左和右，或前和后，具体取决于开口方向）。如果是长方体通风管，一般只有四个侧面，没有上、下底面。计算公式通常为：S=(长×高+宽×高)×2或底面周长×高。3.粉刷教室墙壁、给房间贴壁纸等：通常需要计算五个面（四壁和顶面），并扣除门窗、黑板等不需要粉刷的面积。4.包装纸问题：包装一个长方体礼盒，通常需要计算六个面的总面积，但要考虑包装纸的拼搭方式，有时题目会给出特殊的包装方式，需要灵活分析。解题步骤：①读题，分析题目求的是哪几个面的面积之和。②画出简易示意图帮助理解。③将所需面的面积分别计算出来，再相加。④注意单位的统一，特别是面积单位（平方米、平方分米、平方厘米）及其换算。⑤检查答案是否符合生活实际。（五）★【难点】切割与拼接对表面积的影响1.切割：将一个长方体或正方体切成若干个小正方体或小长方体，表面积会增加。【规律】每切一刀，就会增加两个切面的面积。切成的块数=切的刀数+1。例如：将一个长方体沿水平方向切成两个小长方体，需要切1刀，增加2个（长×宽）的面的面积。2.拼接：将几个小正方体或小长方体拼成一个较大的长方体，表面积会减少。【规律】每拼合一次，就会减少两个贴合面的面积。拼合的块数=拼接次数+1。例如：将两个相同的正方体拼成一个长方体，需要拼1次，减少2个（正方体一个面）的面积。考查方式：常以填空题、选择题或应用题形式出现，考察学生对表面积变化的理解和计算能力。四、体积和容积【核心内容】（一）体积的定义物体所占空间的大小叫做物体的体积。【基础】（二）常用的体积单位1.立方厘米（cm³）：棱长是1厘米的正方体，体积是1立方厘米。约一个手指尖的大小。2.立方分米（dm³）：棱长是1分米的正方体，体积是1立方分米。约一个粉笔盒的大小。3.立方米（m³）：棱长是1米的正方体，体积是1立方米。约一个洗衣机包装箱的大小。考点：选择合适的体积单位描述物体的大小，如：一块橡皮的体积约是8（立方厘米）；一台冰箱的体积约是0.5（立方米）。（三）容积的定义箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。【基础】容积与体积的联系与区别：【重要】【易混点】联系：计算方法相同，都是长×宽×高（或底面积×高）。区别：①意义不同：体积指物体所占空间大小，容积指容器所能容纳物体的多少。②测量方法不同：体积是从物体外部测量长、宽、高；容积是从容器内部测量长、宽、高。③单位不同：体积用体积单位；容积一般也用体积单位，但计量液体（如水、油等）的体积时，常用容积单位升（L）和毫升（mL）。（四）容积单位及与体积单位的换算1.升和毫升：1升=1000毫升。1L=1000mL2.容积单位与体积单位的关系：【高频考点】1升=1立方分米即：1L=1dm³1毫升=1立方厘米即：1mL=1cm³易错提醒：在计算容积时，如果题目给出的尺寸是外部尺寸，而要求计算容积，则必须换成内部尺寸进行计算，或根据容器壁的厚度进行换算。五、长方体和正方体的体积计算（一）长方体的体积计算公式推导：用体积为1立方厘米的小正方体摆成不同的长方体，发现长方体的体积正好等于长、宽、高的乘积。【重要】公式：长方体的体积=长×宽×高用字母表示：V_长方体=abh（二）正方体的体积计算公式推导：正方体是长、宽、高都相等的长方体，因此体积公式可由长方体推导得出。【重要】公式：正方体的体积=棱长×棱长×棱长用字母表示：V_正方体=a³（读作“a的立方”，表示三个a相乘）（三）★通用的体积计算公式——底面积×高无论是长方体还是正方体，它们的体积都可以用一个通用公式来计算：【核心】【重要】体积=底面积×高用字母表示：V=Sh对于长方体，底面积S=ab；对于正方体，底面积S=a²。优势：这个公式应用更广泛，尤其是在已知底面积和高的情境下，计算更加便捷。考点分析：①直接套用公式求体积。②已知体积和长、宽（或底面积）中的两项，逆用公式求另一项（如求高：h=V÷S）。③求不规则物体的体积（下一节详细讲解）。④体积单位的换算，如：1.2m³=()dm³。（四）容积的计算方法长方体或正方体容器容积的计算方法和体积的计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高。【基础】【重要提醒】公式：容积=内部长×内部宽×内部高常见题型：①计算鱼缸能装多少升水；②油箱能装多少升汽油。解题时，如果题目给的是外部尺寸且有厚度，需先减去厚度得到内部尺寸；若没有说明厚度，一般默认题目给的就是内部尺寸。计算出体积后，再根据1L=1dm³，将体积单位换算为容积单位。六、★【高频考点】体积单位间的进率与换算（一）相邻体积单位间的进率1.立方分米与立方厘米：1立方分米=1000立方厘米。即：1dm³=1000cm³推导：棱长为1dm的正方体，体积为1dm³。1dm=10cm，所以这个正方体也可以看成棱长为10cm的正方体，其体积为10×10×10=1000cm³。2.立方米与立方分米：1立方米=1000立方分米。即：1m³=1000dm³（二）体积单位换算的方法1.高级单位→低级单位：乘以进率。例：3.5m³=3.5×1000=3500dm³。2.低级单位→高级单位：除以进率。例：2500cm³=2500÷1000=2.5dm³。（三）容积单位与体积单位的综合换算这是一个必考且易错的知识点。【难点】【易错点】换算步骤（以“升”和“毫升”为中心桥梁）：1.升与立方分米对应：L↔dm³2.毫升与立方厘米对应：mL↔cm³3.立方米与升的关系：1m³=1000dm³=1000L常见题型：①0.8L=()mL=()cm³。②5400mL=()L=()dm³。③2.4m³=()L。七、★【压轴考点】【拓展思维】探索与运用——求不规则物体的体积（一）基本原理——排水法当物体完全浸没于水中时，物体占据了水的空间，导致水面上升。物体排开的水的体积（即上升的那部分水的体积）就等于物体的体积。【核心思想】这利用了转化的数学思想，将不规则物体的体积转化为可计算的规则物体（水柱）的体积。（二）常见题型及解题模型【难点】【高频考点】1.基础模型——求水面上升的高度：有一个长方体容器，里面装有水。放入一个不规则的物体（完全浸没）后，水面上升了。物体的体积=容器的底面积×水面上升的高度即：V_物体=S_底×h_上升【注意】h_上升是指放入物体前后水面高度的差。2.基础模型——求水面下降的高度：从水中取出一个浸没的物体，水面会下降。物体的体积=容器的底面积×水面下降的高度即：V_物体=S_底×h_下降3.进阶模型——已知放入后水面高度：已知容器中水的体积，放入物体（完全浸没）后，水面达到一个特定高度。物体的体积=容器底面积×放入后水面高度原来水的体积或者：物体的体积=S_底×(h_放入后h_放入前)4.溢水模型：一个装满水的容器，放入一个物体（完全浸没），水会溢出。溢出水的体积=物体的体积。如果容器没有装满，放入物体后，先要填满空余部分，然后才会溢出。溢出水的体积=物体的体积容器空余部分的体积。（三）解题步骤与易错点提醒解题步骤：①明确容器形状，求出底面积。②确定水面变化的高度（差）。③利用“物体体积=底面积×水面变化的高度”进行计算。④注意单位换算，题目最后问的是多少立方厘米还是多少升。易错点提醒：【非常重要】1.物体是否完全浸没：只有完全浸没时，物体的体积才等于排开水的体积。如果物体没有完全浸没，则不能直接套用此公式。2.单位统一：所有长度单位必须先统一，再计算体积。3.区分“水的高度”和“水面变化的高度”：题目给出的常常是放入后的总高度，需要减去原高度，得到变化的高度。4.容器的形状：底面积必须是规则图形（长方形或正方形）的面积。八、综合题型与思维拓展（一）挖去小正方体后的表面积与体积变化【难点】【创新题】在一个大正方体或长方体的角上、棱上或面上挖去一个小正方体，求剩下图形的表面积和体积。1.体积变化：无论从哪个位置挖，剩下的体积=原体积挖去的小正方体体积。2.表面积变化：【高频考点】（1）从顶点处挖：表面积不变。因为挖去一个小正方体后，虽然减少了3个面，但又露出了同样大小的3个面。（2）从棱上挖（不靠顶点）：表面积增加。挖去一个小正方体后，减少了2个面，但露出了4个新面，净增加2个面（小正方体的两个面面积）。（3）从面中间挖（不靠棱）：表面积增加得最多。挖去一个小正方体后，减少了1个面，但露出了5个新面，净增加4个面（小正方体的四个面面积）。结论：从顶点挖，表面积不变；从棱上挖，表面积增加2a²（a为小正方体棱长）；从面上挖，表面积增加4a²。（二）染色与涂色问题【拓展思维】【难点】将一个棱长为n厘米的大正方体，表面涂上红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体。问三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少个？规律总结：【重要】1.三面涂色的：位于大正方体的顶点处。一个正方体有8个顶点，所以三面涂色的有8个。2.两面涂色的：位于大正方体的棱上（不包括顶点）。每条棱上有(n2)个，正方体有12条棱，所以两面涂色的总数为12×(n2)个。3.一面涂色的：位于大正方体的面上（不包括棱上的）。每个面上有(n2)×(n2)个，正方体有6个面，所以一面涂色的总数为6×(n2)²个。4.没有涂色的：位于大正方体的内部。剥去表面一层，剩下的是一个棱长为(n2)的小正方体，所以没有涂色的总数为(n2)³个。验证：总数n³=8+12×(n2)+6×(n2)²+(n2)³九、核心考点与解题策略总结（一）必考知识点罗列1.长方体和正方体的特征（面、棱、顶点）。2.棱长总和的计算与逆运算。3.★表面积的计算及“面”数分析（无盖、通风管等）。4.★体积和容积的意义、单位及换算（特别是L,mL与dm³,cm³的互化）。5.★体积的计算公式（V=abh，V=a³，V=Sh）及其逆应用。6.★★排水法求不规则物体的体积。7.★切割、拼接对表面积和体积的影响。8.从不同位置挖去小正方体对表面积的影响。9.大正方体涂色问题。（二）易错点归纳【查漏补缺】1.单位混淆：计算表面积用面积单位，计算体积用体积单位，计算棱长用长度单位，不可混淆。在应用题目中，如果出现多个单位，必须先统一单位再计算。2.进率错误：相邻面积单位进率是100，相邻体积单位进率是1000。容易误用。3.“面”数不清：在计算实际问题（如贴瓷砖、做纸盒）的表面积时，没有考虑实际情况，多算或少算面。4.公式套用错误：求长方体棱长总和用4(a+b+h)，求长方体体积用abh，不要记混。5.排水法中“变化的高度”：很多学生误用放入后的总高度作为变化量，或者忘记乘以底面积。6.审题不细：题目问的是“多少升”，计算出的是立方分米，忘记换算；题目问的是“至少需要多少平方米的铁皮”，计算出的是平方分米，忘记换算。（三）解题思想与方法1.公式法：直接代入公式计算是基础。2.图示法：对于较复杂的空间问题，如拼接、切割、挖洞，画一个简单的草图可以帮助理清空间关系，明确哪些面发生了变化。3.转化法：将不规则物体的体积转化为规则物体的体积（排水法）；将复杂的组合体转化为基本几何体的和或差。4.代数思维：在逆用公式时，可以把要求的量设为未知数，根据公式列方程求解。例如：已知长方体体积、长和高，求宽。可设宽为b，则abh=V，解出b=V÷(a×h)。5.量纲分析：检查计算结果的单位是否正确，是检验解题过程是否科学的重要手段。例如，求面积的结果如果单位是长度单位，那肯定错了。十、典型例题与精析【例题1】（基础题）一个长方体的长是8cm，宽是6cm，高是5cm。它的棱长总和是多少？表面积是多少？体积是多少？【解析】本题直接考查三个基本公式。棱长总和=4×(8+6+5)=4×19=76cm。表面积=2×(8×6+8×5+6×5)=2×(48+40+30)=2×118=236cm²。体积=8×6×5=240cm³。【考点】公式记忆与计算能力。【例题2】（实际应用题）学校要建一个长50m，宽30m，深2.5m的长方体游泳池。（1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？（2）如果在游泳池的底部和内壁抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？（3）这个游泳池最多能蓄水多少立方米？【解析】本题是典型的实际应用，考察了底面积、五个面的表面积和容积（体积）。（1）占地面积=长×宽=50×30=1500m²。（2）抹水泥的面积=底面积+侧面积。侧面积=(长×深+宽×深)×2=(50×2.5+30×2.5)×2=(125+75)×2=200×2=400m²。所以总抹灰面积=1500+400=1900m²。（3）蓄水量=长×宽×深=50×30×2.5=3750m³。【易错点提醒】第二问容易错误地计算六个面的面积。游泳池没有盖子，所以只算五个面。【例题3】（排水法问题）一个长20cm，宽10cm的长方体玻璃缸，内装有8cm深的水。小明放入一个土豆（完全浸没）后，水面上升到12cm。这个土豆的体积是多少立方厘米？【解析】土豆的体积等于上升的那部分水的体积。水面上升的高度=128=4cm。玻璃缸的底面积=20×10=200cm²。土豆的体积=底面积×水面上升高度=200×4=800cm³。【考点】排水法原理的应用。关键是要找出水面变化的高度差。【例题4】（综合拓展题）将一块棱长为10cm的正方体铁块，锻造成一个长20cm，宽5cm的长方体铁条。这个长方体铁条的高是多少厘米？【解析】将正方体铁块锻造成长方体，形状变了，但体积不变。这是“等积变形”问题。正方体铁块的体积=10×10×10=1000cm³。这个体积也是长方体铁条的体积。长方体铁条的高=体积÷(长×宽)=1000÷(20×5)=1000÷100=10cm。【考点】体积不变性的应用。这是高年级方程思想和比例思想的基础。【例题5】（切割与表面积）一个长6cm，宽4cm，高5cm的长方体木块，如果把它切成两个完全相同的小长方体，表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？【解析】把一个长方体切成两个小长方体，会增加两个切面。切面的面积取决于怎么切。（1）要使表面积增加最多，就要让切面的面积最大。最大的面是长×高那个面：6×5=30cm²。沿着与这个面平行的方向切一刀，增加的两个面面积都是30cm²，一共增加60cm²。（2）要使表面积增加最少，就要让切面的面积最小。最小的面是宽