六年级上册数学“求比一个数多（少）百分之几”问题建模教学方案

六年级上册数学“求比一个数多（少）百分之几”问题建模教学方案

一、教学内容分析

【基础】本节课选自人教版小学数学六年级上册第六单元《百分数（一）》中的“用百分数解决问题”第一课时，核心内容是“求一个数比另一个数多（或少）百分之几”的实际问题。这是学生在已经学习了百分数的意义、百分数与分数小数的互化以及“求一个数是另一个数的百分之几”的基础上进行教学的。本节课的知识在整个小学阶段的数与代数领域中具有承上启下的关键作用，它不仅是百分数应用的深化，更是后续学习百分数复杂应用题（如折扣、成数、税率、利率、浓度问题以及百分数增长率的复合问题）的基石。从新课标（2022年版）视角审视，本内容属于“数与代数”领域第三学段的“数量关系”主题，其核心素养指向在于引导学生经历数学建模的全过程，从现实生活情境中抽象出核心的数量关系，并用数学模型（即“（相差量÷单位‘1’的量）×100%”）加以表征，从而发展学生的模型意识、应用意识和推理意识。本节课的学科思想方法突出表现为“类比思想”与“模型思想”，即引导学生将“求一个数比另一个数多（或少）几分之几”的分数应用题的解题经验，通过类比迁移到百分数情境中，进而通过抽象与概括，构建出解决此类问题的通用数学模型。

二、学情分析

【非常重要】六年级的学生已经具备了较强的逻辑思维能力和一定的抽象概括能力，但他们仍需要具体情境和直观图式的支撑。学生已有的知识基础包括：对百分数意义的理解、分数应用题中“单位‘1’”的辨析能力以及“求一个数是另一个数的几分之几”的解题经验。然而，学生的认知障碍主要体现在以下几个方面：一是对问题中“比较量”与“标准量（单位‘1’）”的精准识别存在困难，尤其是在语言表述发生变化时（如“增加了”“节约了”等）；二是对“多（或少）百分之几”的本质含义理解不够深刻，往往停留在机械套用公式的层面，难以真正理解这个百分数表示的是“两个量的差”与“标准量”之间的关系；三是容易混淆“求甲是乙的百分之几”与“求甲比乙多百分之几”这两种不同的数量关系。因此，本节课的教学设计必须从学生的真实起点出发，利用几何直观（线段图）帮助学生“看清”数量关系，通过对比辨析帮助学生“想通”逻辑本质，最终在变式训练中帮助学生“悟出”数学模型。

三、教学目标

1.知识技能目标：【基础】学生能够结合具体情境，理解“求一个数比另一个数多（或少）百分之几”的意义，掌握此类问题的解题思路和方法，能够正确列式解答，并能将解题过程用核心数量关系式加以概括。

2.过程方法目标：【重要】引导学生经历“现实情境—画图分析—寻找关系—建立模型—应用解释”的数学化过程，通过小组合作与自主探究，体验解决问题策略的多样性，感悟数形结合思想与模型思想，发展几何直观和抽象概括能力。

3.情感态度目标：在探究活动中，感受数学与生活的紧密联系，体会数学模型的简洁性与普适性，激发学生学习数学的兴趣和用数学眼光观察现实世界的意识。

四、教学重难点

1.教学重点：【高频考点】掌握“求一个数比另一个数多（或少）百分之几”的基本解题方法，即用“相差量”除以“单位‘1’的量”。

2.教学难点：【难点】深刻理解问题中“单位‘1’”的确定，特别是当问题表述为“增加百分之几”或“节约百分之几”时，能够准确找出谁是相比较的标准；并能区分此类问题与“求一个数是另一个数的百分之几”的联系与区别。

五、教学准备

教师准备：多媒体课件（含教材例3情境图、动态线段图演示、分层练习题）。

学生准备：直尺、草稿纸、预习单（复习分数应用题“实际造林比原计划增加几分之几”）。

六、教学实施过程

（一）唤醒经验，类比迁移——引出建模需求

课堂伊始，教师通过课件呈现一组复习题：某村原计划造林12公顷，实际造林14公顷。实际造林比原计划增加了几分（几）之几？学生独立完成解答后，教师指名汇报，并引导学生在黑板上画出简易的线段图。教师追问：“在解决这个问题时，我们最关键的一步是找准了什么？谁是单位‘1’？”学生回顾并明确：这里是“把原计划造林的面积看作单位‘1’”，用“增加的公顷数”除以“原计划公顷数”。接着，教师出示本节课的例题，将问题中的“几分之几”替换为“百分之几”。【设计意图】利用知识的正迁移效应，通过分数应用题的复习，为新知的学习搭建脚手架，让学生在熟悉的解题路径中自然过渡到新问题的探究，初步感知知识之间的联系，为后续的模型抽象扫清障碍。

（二）自主探究，数形结合——感知模型雏形

1.阅读与理解。

教师出示例3主题图及文字信息：原计划造林12公顷，实际造林14公顷。要求学生大声读题，并用自己的语言复述题意。随后，教师引导学生聚焦核心问题：“实际造林比原计划增加了百分之多少？”教师追问：“这句话是什么意思？是把谁和谁进行比较？谁是我们要比较的标准？”组织学生进行小组内简短讨论，初步辨析“单位‘1’”。学生通过讨论初步达成共识：这里是要把“实际比原计划多的部分”与“原计划的数量”进行比较，因此“原计划的数量”是标准量，即单位“1”。

2.分析与画图。

【非常重要】为了帮助学生直观理解数量关系，教师提出核心学习任务：“你能不能用一幅简单的线段图来表示出‘实际’和‘原计划’之间的关系？并在线段图上标出‘增加了百分之几’是哪一段？”学生动手在练习本上画线段图。教师巡视，选取有代表性的作品（如标准量画法正确、比较量标注清晰的作品，以及存在典型错误的作品）通过投影仪进行展示对比。

在对比辨析中，教师引导学生明确画线段图的关键要点：必须先画表示单位“1”的量（原计划的12公顷），把它看作标准；再画比较量（实际的14公顷），通常画在单位“1”的下面或上面，便于比较；最后，用醒目的线段或括号标出“实际比原计划多的部分”。

教师结合学生正确的画图，动态演示课件中的线段图生成过程，并标注出三个量：原计划（12公顷）、实际（14公顷）、相差（2公顷）。此时，抽象的百分数问题被直观地转化为线段之间的长短关系。

3.列式与解答。

在直观图式的基础上，教师引导学生独立列式解答。由于有分数应用题的基础，绝大多数学生能够列出第一种算式：（14-12）÷12=2÷12≈0.167=16.7%。教师板书这种方法，并请学生结合线段图解释每一步的含义：14-2求的是什么？（实际比原计划多的公顷数）；为什么除以12？（因为是和原计划比，原计划的公顷数是单位“1”）。

随后，教师启发学生思考：“除了这种方法，还有没有不同的思路？”引导学生观察线段图，可能会有学生想到先求实际是原计划的百分之几，再减去100%。即：14÷12≈1.167=116.7%，116.7%-100%=16.7%。教师对第二种方法给予高度评价，并同样引导学生解释：116.7%表示什么？（实际相当于原计划的百分之几）；为什么要减去100%？（因为原计划是100%，多出的部分就是实际比原计划多的百分率）。

【设计意图】通过数形结合，将隐性的数量关系显性化，让每一个算式都能在线段图上找到对应的部分，从而帮助学生深刻理解两种解题方法的算理，而不是仅仅记住算法。

（三）变式对比，深化理解——解构模型本质

1.改题激疑。

【重要】教师将例题问题稍作修改，出示变式题：原计划造林12公顷，实际造林14公顷。原计划造林比实际少百分之几？

学生读题后，教师并不急于让学生解答，而是抛出争议性问题：“这两道题看起来很像，有同学认为答案一样，也有同学觉得不一样。请大家先大胆猜想，结果是否相同？为什么？”激发认知冲突。

2.画图辨析。

教师要求学生再次动笔，画出这道变式题的线段图。这一次，学生会发现，单位“1”发生了变化——此时需要把“实际造林的14公顷”看作单位“1”。让学生在图中标出“原计划比实际少的”是哪一段。

通过对比两次画的线段图，学生直观地看到：虽然“相差的数量”没有变（都是2公顷），但“分母”（即比较的标准）变了。前一道题是把12公顷平均分，后一道题是把14公顷平均分，平均分的总量不同，得到的百分率自然不同。

学生尝试列式：（14-12）÷14=2÷14≈0.143=14.3%。计算结果验证了猜想：16.7%≠14.3%。

3.深度追问，揭示本质。

教师组织学生进行小组讨论，围绕两个核心问题展开思维碰撞：

（1）为什么两道题的数量看起来差不多，结果却不一样？

（2）什么样的情况下，求出来的百分率是一样的？什么样的情况下会不一样？

学生在交流中逐渐明晰：解决这类问题的关键在于“谁和谁比”，谁是单位“1”。求“甲比乙多百分之几”和“乙比甲少百分之几”，虽然相差量相同，但由于标准量不同，结果也不同。进而引导学生抽象出这一类问题的核心模型结构：【难点突破】“求一个数比另一个数多（或少）百分之几”，就是求“相差的量”占“单位‘1’的量”的百分之几。此时，教师板书核心关系式：相差量÷单位“1”的量=多（或少）的百分之几。

（四）回顾反思，抽象概括——提炼数学模型

【非常重要】在完成例题和变式题的解答后，教师引导学生跳出具体题目，进行更高层次的抽象思考。

教师提问：“回顾我们刚才解决的两个问题，虽然情境相同，但问题问法不同，我们用了不同的算式。请你们观察这两个算式（（14-12）÷12和（14-12）÷14），它们有什么共同的结构？”

学生发现，它们都是先用减法求出“相差的数”，然后再用除法。教师进一步追问：“那么，在用除法的时候，除以的这个数有什么规律？”

学生经过讨论明确：除以的这个数，就是问题中“比”字后面那个量，也就是我们一直在强调的单位“1”。

至此，师生共同总结出解决此类问题的通用数学模型：第一步，确定单位“1”（比字后面的量）；第二步，找出相差量（大数减小数）；第三步，用相差量除以单位“1”的量，并将结果化为百分数。即：【高频考点】（大数－小数）÷单位“1”的量=多（少）的百分率。

教师顺势引导：“在实际生活中，我们还会遇到‘增产了百分之几’、‘节约了百分之几’、‘提高了百分之几’等等说法，其实质都是这个模型的变式应用。”从而将数学模型从具体算式提升为具有普适性的解题策略。

（五）分层练习，模型应用——内化模型理解

1.基础性练习（模仿应用）。

完成教材第89页“做一做”：小飞家原来每月用水约10吨，更换了节水龙头后，每月用水约9吨。每月用水比原来节约了百分之几？

要求学生先口头分析谁是单位“1”，相差量是多少，再列式计算。指名板演，集体订正，强化模型的第一步识别“比”字后面的量是关键。

2.辨析性练习（模型识别）。

课件出示一组题目，要求学生只列式不计算，重点在于找出单位“1”并说出列式依据。

（1）某工厂计划生产零件500个，实际生产了600个，实际比计划超产百分之几？

（2）某工厂计划生产零件500个，实际生产了600个，计划比实际少生产百分之几？

（3）一种机器零件，成本从原来的100元降到了85元，成本降低了百分之几？

通过快速反应和抢答，检验学生对模型理解的灵活性和准确性。

3.综合性练习（模型拓展）。

【热点】出示我国2020年和2024年高铁运营里程的对比数据（或新能源汽车销量数据），要求学生根据数据自己提出一个关于“增加百分之几”或“减少百分之几”的数学问题，并解答。这一环节将数学学习与现实国情教育相结合，既巩固了模型应用，又培养了学生的数据意识和家国情怀。

4.挑战性练习（逆向思维）。

小明说：“这次期中考试，我的数学成绩比上次提高了10%，上次比这次降低了10%。”小明说得对吗？请用具体数据验证。

此题作为课后思考题，旨在打破学生的思维定势，为下一节学习稍复杂的百分数问题埋下伏笔。

（六）课堂总结，拓展延伸——升华模型价值

教师引导学生从知识与方法两个维度进行总结。

知识层面：今天学习了什么内容？解决这类问题的关键步骤是什么？（生答：找准单位“1”，找相差量，再相除。）

方法层面：我们是怎样研究这个问题的？（生答：通过画线段图分析，从分数问题迁移过来，对比不同的题目找到了共同的模型。）

最后，教师寄语：“数学的魔力就在于，它能将千变万化的生活问题，抽象成几个简洁的数学模型。今天我们构建的‘相差量÷单位‘1’＝百分率’这个模型，就是一把打开百分数应用大门的金钥匙。希望同学们在今后的学习中，也能用这样的眼光去观察世界，用这样的思维去分析问题，用这样的模型去解决困惑。”

七、板书设计

六年级上册用百分数解决问题（1）

——求一个数比另一个数多（少）百分之几

线段图（略）：

原计划：|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|（12公顷）

实际：|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|（14公顷）

多出的2公顷

核心关系式：

相差量÷单位“1”的量=多（少）的百分之几

解法一：（14-12）÷12

=2÷12

≈0.167

=16.7%

解法二：14÷12≈116.7%

116.7%-100%=16.7%

变式：原计划比实际少百分之几？

（14-12）÷14≈14.3%

（强调：比字后面是“实际”，所以除以14）

八、教学反思预设

本节课的设计始终围绕“模型构建”这一核心展开。