分数除法之和倍差倍问题 教学设计

分数除法之和倍差倍问题教学设计一、教材与学情分析（一）教材分析【基础】【重要】本课“分数除法之和倍差倍问题”是人教版小学数学六年级上册第三单元《分数除法》中的例6，属于“解决问题”的核心内容。在此之前，学生已经掌握了分数乘、除法的计算方法和用分数乘法解决简单的实际问题，并初步学习了“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的方程解法。本节课正是在此基础上，将问题情境复杂化，引入含有两个未知量的系统，并给出这两个量之间的“和”或“差”的关系以及“倍分”关系。这类问题在数学上被称为“和倍问题”或“差倍问题”，其本质是构建一个二元一次方程组，但在小学阶段，通过设其中一个未知数为x，用含有x的式子表示另一个未知数，从而将方程个数减少为一个一元一次方程来解决。这不仅是对学生先前所学分数除法应用题的深化，更是连接算术思维到代数思维的重要桥梁，为后续学习解决更复杂的实际问题以及初中阶段学习二元一次方程组奠定了坚实的思维基础和模型经验。教材编排由浅入深，先通过具体情境引导学生理解题意，再借助线段图分析数量关系，最后列方程解答并检验，完整呈现了解决问题的全过程，旨在培养学生的模型意识和应用意识。（二）学情分析【基础】六年级的学生已经具备了一定的阅读理解能力和逻辑推理能力。在知识储备上，他们能够熟练进行分数乘除法的计算，掌握了简单的用方程解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的方法，也接触过整数范围内的和倍、差倍问题。然而，当问题中出现两个未知量，且这两个量之间的关系以分数的形式呈现时，学生的思维容易产生混乱：究竟应该设哪个量为x？如何用x正确地表示另一个量？哪个等量关系是用来列方程的？这些是学生在本节课学习中将要面临的真实挑战。部分学生可能会受算术思维定势的影响，试图用算术方法逆向求解，但在复杂的分数关系中会感到困难。因此，本节课的核心任务就是引导学生从算术思维向代数思维过渡，让学生体会到用方程解决此类问题的优越性——将未知数参与运算，使思考过程化逆向为顺向，从而降低思维难度。二、教学目标【核心】1.知识与技能目标：通过解决实际问题，理解并掌握“已知两个数的和（或差）及这两个数的倍数关系（分数形式），求这两个数”的解题思路和方法。能正确分析题中的数量关系，会设其中一个未知数为x，用含有x的式子表示另一个未知数，并能列方程解答。2.过程与方法目标：经历从现实生活情境中抽象出数学问题的过程，通过自主探索、合作交流，学会运用画线段图分析数量关系的方法，体验数形结合思想，掌握用方程解决问题的策略，感受解决问题方法的多样化。3.情感态度与价值观目标：在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，培养认真审题、独立思考、自觉检验的良好学习习惯，增强学习数学的兴趣和自信心。三、教学重难点【难点】【高频考点】（一）教学重点掌握用方程解决“已知两个量的和（或差）及两个量的倍分关系，求这两个量”这类问题的方法，即能根据题中关键句准确设未知数，并依据等量关系列出方程。（二）教学难点1.能正确找出题中两个未知量之间的数量关系，并准确设出未知数。2.能根据题意画出线段图，并借助线段图分析并写出等量关系式。四、教学准备多媒体课件（PPT）、学习单（含线段图框架及练习题）。五、教学过程（一）唤醒经验，引入新课【基础】1.基本训练，以旧引新课件出示复习题：（1）学校买了足球和篮球共20个，其中足球的个数是篮球的。请你补充一个数学问题，并口头列式解答。预设学生可能会问：足球和篮球各有多少个？并口头列式为：解：设篮球有x个，则足球有x个，列方程x+x=20。（2）果园里苹果树比梨树多10棵，苹果树的棵数是梨树的1.2倍。梨树有多少棵？预设学生会列出方程：解：设梨树有x棵，则苹果树有1.2x棵，列方程1.2xx=10。2.谈话导入师：同学们，刚才我们解决的这些问题，都是已知两个量的和（或差）以及它们的倍数关系，求这两个量。当倍数关系用分数来表示时，又该如何解决呢？今天我们就一起来研究“分数除法之和倍、差倍问题”。（板书课题）（二）创设情境，探究新知【重要】【核心】1.阅读与理解——收集信息，明确问题课件出示例6：六年级举行篮球比赛。六（1）班全场得了42分，其中下半场得分是上半场的一半。六（1）班上半场和下半场各得了多少分？师：请大家认真读题，你从题中获得了哪些数学信息？预设：（1）已知条件：全场总分42分；下半场得分是上半场的一半。（2）所求问题：上半场和下半场各得多少分？师：这里“下半场得分是上半场的一半”你是如何理解的？这句话里把谁看作单位“1”？预设学生回答：把上半场得分看作单位“1”，下半场得分是上半场的。或者说，上半场得分是下半场的2倍。师（追问）：这道题和我们之前学的解决问题有什么不同？预设：这道题有两个未知的量，而上半场和下半场的得分都不知道。（引导学生认识到这是含有两个未知数的实际问题）2.分析与解答——借助画图，厘清关系（1）尝试画图，直观建模师：当题目中数量关系比较复杂时，我们可以借助什么方法来帮助我们理清关系？预设：画线段图。师：请同学们拿出学习单，根据对题意的理解，尝试画出线段图。想一想，应该先画哪个量？为什么？学生独立尝试画图，教师巡视，选取有代表性的作品（如规范的、有错误的）准备展示交流。（2）展示交流，优化画法展示学生作品，并请作者说明画图思路。引导学生达成共识：通常把作为单位“1”的量（上半场得分）先画出来，用一条线段表示。然后根据“下半场得分是上半场的”，把表示上半场的线段平均分成2份，下半场的线段长度相当于其中的1份。最后标出全场总分42分和问题。教师适时板演规范的线段图：上半场得分：|||（“1”）？分下半场得分：|_______|（？分）？分<42分>（3）看图找关系，写出等量关系式师：看着这幅线段图，你能发现哪些等量关系？小组讨论后，全班交流。预设学生回答：等量关系1：上半场得分+下半场得分=全场总分（42分）【非常重要】等量关系2：下半场得分=上半场得分×【非常重要】等量关系3：上半场得分=下半场得分×2教师引导学生将文字等量关系式板书出来。（4）自主探究，列方程解答师：现在，我们找到了两个等量关系。如果列方程解答，关键是找出一个未知数并用它表示另一个未知数。你想设谁为x？根据哪个关系来设？又根据哪个关系来列方程？请同学们尝试解答。学生独立尝试列方程解答，教师巡视，了解学生的不同解法，并进行个别指导。（5）汇报交流，展示解法【高频考点】师：谁愿意来分享一下你的解法？预设解法一：解：设上半场得了x分，则下半场得了x分。x+x=42（依据：上半场得分+下半场得分=42分）（1+）x=42x=42x=42÷x=42×x=28下半场得分：28×=14（分）或4228=14（分）答：上半场得了28分，下半场得了14分。预设解法二：解：设下半场得了x分，则上半场得了2x分。2x+x=42（依据：上半场得分+下半场得分=42分）3x=42x=42÷3x=14上半场得分：2x=2×14=28（分）或4214=28（分）答：上半场得了28分，下半场得了14分。预设解法三（算术法，若学生提出则予以肯定，但重点引导方程法）：下半场：42÷（2+1）=14（分）上半场：14×2=28（分）或4214=28（分）（6）对比优化，提炼方法【难点】【重要】师：比较这几种解法，它们有什么相同点和不同点？组织学生讨论交流。相同点：都是根据上半场得分和下半场得分之间的倍数关系（倍分关系）来设未知数，根据它们的和（全场总分）来列方程。不同点：设的未知数不同，有的设上半场为x，有的设下半场为x。但最终都能求出正确结果。师（追问）：为什么大家都选择用方程法，而不太习惯用算术法呢？引导学生感悟：当题目中有两个未知量时，列方程可以让我们顺着题意（用已知数直接表示未知数之间的关系）来思考，思维过程比较顺畅、简单；而算术法需要逆向思考，对思维的要求比较高。因此，方程是解决此类问题的一种强而有力的工具。3.回顾与反思——检验结果，归纳步骤（1）检验结果师：我们的解答正确吗？可以怎样检验？预设检验方法：①看所得结果是否满足已知条件：28+14=42（分），符合全场得分42分。②看所得结果是否满足倍数关系：14÷28=，符合下半场得分是上半场的一半。③从另一个角度检验：14×2=28（分），符合上半场得分是下半场的2倍。师：检验的结果与题中所有信息都吻合，说明我们的解答是正确的。（2）反思总结，归纳步骤师：回顾刚才我们解决这个问题的过程，你能总结出解决这类“和倍（差倍）问题”的一般步骤吗？师生共同归纳板书：①审：读题，弄清题意，找出关键句，确定单位“1”。②画：画线段图，直观表示出数量之间的关系。③找：根据线段图，找出题目中蕴含的等量关系。④设：设其中一个未知量为x，根据倍分关系用含有x的式子表示另一个未知量。⑤列：根据和（或差）的等量关系列出方程。⑥解：解方程，求出x的值，再求出另一个未知量。⑦验：检验结果是否符合题意。⑧答：写出答语。（三）变式练习，深化理解【热点】【难点】1.和倍问题的变式（巩固练习）课件出示：某电视机厂去年全年生产电视机108万台，其中上半年产量是下半年的。这个电视机厂去年上半年和下半年的产量分别是多少万台？学生独立完成，指名板演，集体订正。2.差倍问题的引入（拓展提升）课件出示：一套运动服共300元，裤子的价格是上衣的。上衣和裤子各多少钱？此题与例题完全相同，旨在巩固和倍问题。课件出示：一套运动服，上衣比裤子贵120元，裤子的价格是上衣的。上衣和裤子各多少钱？师：这道题与上一题有什么不同？（和变成了差）还能用方程法解决吗？等量关系应该怎么变？学生尝试解答后交流：解：设上衣的价格为x元，则裤子的价格为x元。xx=120（依据：上衣价格裤子价格=120元）x=120x=120÷x=200裤子价格：200×=80（元）或=80（元）答：上衣200元，裤子80元。师小结：这就是我们今天要学习的另一类问题——差倍问题。它们的解题思路完全相同，只是列方程时依据的等量关系从“和”变成了“差”。3.对比辨析，强化模型将“和倍”与“差倍”问题放在一起，让学生对比观察，找出它们的异同，进一步巩固解题模型：无论已知“和”还是“差”，解题的关键都是先根据“倍分关系”设出未知数，再根据“和或差”的等量关系列出方程。（四）巩固练习，内化提升1.基础练习（1）某校五、六年级共有学生360人，五年级人数是六年级的。五、六年级各有多少人？（2）小丽买了一支圆珠笔和一支钢笔，共用去10元，钢笔的单价是圆珠笔的。圆珠笔和钢笔的单价各是多少元？2.变式练习（1）果园里桃树和杏树一共有180棵，杏树的棵数是桃树的。桃树和杏树各有多少棵？（2）果园里杏树比桃树少60棵，杏树的棵数是桃树的。桃树和杏树各有多少棵？3.综合练习中国农历中的“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天。这一天，北京的黑夜时间是白昼时间的。白昼和黑夜分别是多少小时？（提示：一天有24小时）（五）课堂总结，畅谈收获师：同学们，今天这节课我们一起研究了什么问题？你有什么收获？引导学生从知识、方法、思想等方面进行总结。预设：（1）知识上：学会了用方程解决“和倍、差倍”问题。（2）方法上：遇到复杂问题时，可以画线段图帮助我们分析数量关系。（3）思想上：方程是解决实际问题的有力工具，它能让逆向思维变顺向。六、板书设计分数除法之和倍、差倍问题【线段图】上半场：|||解：设上半场得x分。？分则下半场得x分。下半场：|____|x+x=42？分(1+)x=42<——42分——>x=42÷x=42×【等量关系】x=28上半场