2026新高二数学暑假专题：直击立几的四大疑难问题：翻折、截面、动点轨迹与新定义（原卷版）

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暑假作业17重难专题07：轻松突破立几的四大疑难问题：翻

折、截面、动点轨迹与新定义

【知识点1翻折问题】

1．立体几何中的翻折问题的分类

(1)平面图形的折叠.

把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这

就是折叠问题

(2)几何体表面的展开

把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几何体的表面展

开问题.

2．翻折问题中图形的特征：

(1)翻折前后全等

折叠前后图形形状、大小不变，对应边相等、对应角相等.

(2)对称轴是折痕

折痕是对应点连线的垂直平分线.

(3)对应点连线垂直于折痕，且被折痕垂直平分.

(4)折叠前后重合线段相等、重合角相等.

3．翻折问题注意事项

(1)平面图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变化的过程中，折叠前后有些量(长度、角度等)没

有发生变化，我们称其为“不变量”．求解立体几何中的折叠问题，抓住“不变量”是关键．

(2)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是

求曲面上最短路线的一种常用方法.

【知识点2截面问题】

1．球的截面

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（1）无论怎么切，截面永远都是圆

（2）平面与球相交，截面的性质主要有两点：①球的任何截面是圆；②球心和截面（不过球心）圆心

的连线垂直于截面；

（2）这里通常考察角度问题、截面面积、周长等.解决问题核心是构建直角三角形，这样球心到截面

的距离、截面圆的半径、球的半径三种之间可以用勾股定理表示出来.

2．正方体的截面

（1）正方体不可能截出直角三角形、钝角三角形，只能是锐角三角形；

可以截：正方形、长方形、平行四边形、梯形、菱形、正六边形；

斜着切→三角形、梯形、五边形、六边形；

平行面切→正方形/长方形（正方体过各棱中点截得的六边形是面积最大的截面）.

（2）作截面的方法

①平行线法：利用线面平行或面面平行性质，作已知线的平行线，确定截面与对应面的交线.

②延长交棱法：将截面多边形的一边延长，与几何体的棱或面相交，得到新交点，再连接其他已知点.

【知识点3动点轨迹问题】

1．平行关系上的动点

（1）动点在棱上滑动，始终找平面内定直线与之平行

（2）利用中位线、等分线段构造平行关系

（3）直线∥平面，过直线作截面，交线与已知直线平行

（4）移动点使两条相交线分别平行对面，证两面平行

2．垂直关系上的动点

（1）定直线动端点垂直：定点向动棱作连线，始终垂直定直线；

固定一条垂线，动点滑动仍保持垂直关系.

（2）直角轨迹模型：到线段两端连线恒垂直：动点轨迹为以线段为直径的圆（圆弧）

固定棱垂直底面，底面上动点始终与该棱垂直

（3）翻折不变垂直：折叠前后，垂直位置关系、直角边长保持不变，可直接沿用垂直结论.

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（4）面面垂直里动点垂直：交线为分界线，动点在面内垂直交线，即刻得到线面垂直、线线垂直.

3．判断轨迹形状

根据题目中“动点满足的几何条件”（如到定点距离为定值、到两定点距离相等、与定直线、定平面成定

角等），判断轨迹形状：

(1)到定点距离为定值→球面；

(2)到两定点距离相等→中垂面.

(3)到定直线距离为定值→圆柱侧面.

(4)到定平面距离为定值→一对平行平面.

(5)与定点连线垂直于定直线→过定点且垂直于定直线的平面.

(6)与定直线、定平面成定角→圆锥侧面

注意：轨迹常被限制在几何体（如多面体）的面、棱、内部，因此最终答案往往是完整轨迹与几何体

的交集（如球面的一部分、圆弧、线段等）.

【知识点4探究型（最值范围）问题】

求解策略

⑴依据几何公理定理，逆向溯源、正向推导，探究点、线、面存在性与位置关系.

⑵先假设结论成立，反向推导所需条件，结合题干判定是否存在、求出对应参数.

⑶针对动点位置、线段比例、角度范围、几何体不同形态，分情况分析探究结果.

⑷结合几何边界、函数单调性，探究长度、面积、体积、夹角的最值及取值区间.将变化的几何量（长度、

角度、面积、体积）表示为某个变量的函数，然后通过代数或几何方法求其最值或范围.

⑸展开图法：将立体图形表面展开为平面，化曲为直求最短路径.

【知识点5立几中的新定义问题】

1．常见类型：

⑴新定义几何体：如"等腰四面体""对棱相等四面体""直角四面体"等，赋予几何体新的名称和性

质.

⑵新定义空间关系：如"线面的距离""异面直线的公垂线""二面角的平面角"的新表述方式.

⑶新定义几何量：如"几何体的高""侧面与底面所成角"的新定义形式.

2．求解策略：

⑴咬文嚼字，吃透定义：逐字分析新定义的内涵与外延，明确约束条件，这是解题的前提.

⑵化归转化，回归课本：将新定义问题转化为已学的线面关系、体积计算、角度求解等常规问题.

⑶构造辅助，降维处理：通过作高、作截面、平移直线等手段，将空间问题平面化.

⑷特殊验证，排除干扰：选取特殊几何体（如正方体、正四面体）验证命题，快速排除错误选项.

核心思想：新定义只是"新瓶装旧酒"，本质仍是线面平行垂直、角度距离、体积表面积等基础知识点

的综合应用.

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【题型1平面图形折叠后形状的判断】

1．下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（）

A.B.C.D.

2．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在边长为4的等边ABC中，D,E,F分别是AB,AC,BC的

中点，M,N分别为AE,DF的中点，将△ADE,△BDF,△CEF分别沿DE,DF,EF折起，使得A,B,C三点重

合，此时MN（）

23

A．B．2C．D．3

22

3．（25-26高二下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，ABBD，将ABD沿BD折起，使平

面ABD平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有（）

A．1对B．2对C．3对D．4对

4．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形ABCD(如图2),则在空间四边形

ABCD中,AD与BC的位置关系是()

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图1图2

A．相交且垂直B．相交但不垂直

C．异面且垂直D．异面但不垂直

【题型2几何体展开后形状的判断】

1．把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图）,请根据各面上的图案判断这个正方体是

（）

2．（多选）（25-26高一下·广东江门·期末）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，则（）．

A．MNCDB．ABEF

C．EF与MN所成的角为60D．AM平面BEF

3．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的

平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面,“锦”表示右面,“程”表示下面.则“祝”、“你”、“前”分别表示正

方体的______________________.

【题型3几何体表面上最短距离问题】

1．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，点P为线段BC1上的动

点，Q为平面ABCD内的动点，则D1PPQ的最小值是（）

5/25

32222

A．22B．C．222D．

22

2．（25-26高一下·重庆渝北·期中）直四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长均为1，M为棱BB1上的动点，

BAD60，则D1MCM的最小值为（）

A．21B．31C．5D．3

3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知某圆台的轴截面为等腰梯形ABCD，其中AD1，CDAB2，

BC2．则沿该圆台表面从点A到达点C，最短路径的长度为（）

A．45B．2522C．25D．522

4．（25-26高一下·河北邢台·期中）如图，现有一底面半径为1，母线长为2的圆锥，B、C为底面圆周上

两点，且BC为底面直径，D是AB的中点，一只蚂蚁沿圆锥表面从C点爬到D点，其移动路径的最小值为

_______．

5．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA14,AD3，点E为AB上的

动点，则D1ECE的最小值为.

6.（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正

四棱柱的表面从点A爬到点C1的最短距离是．

6/25

【题型4截面形状的判断】

1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，作截面EFGH(如图)交C1D1，A1B1，AB，CD分别于E，F，G，

H，则四边形EFGH的形状为（）

A．平行四边形B．菱形C．矩形D．梯形

2．（2027高三·全国·专题练习）正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，则过A1，M，

N三点的平面截正方体所得的截面形状是（）

A．平行四边形B．直角梯形C．等腰梯形D．三角形

11

3．在正方体ABCDABCD中，P，Q分别是棱AA和CC上的点，PAAA，CQCC，那么正方

1111113131

体中过点D，P，Q的截面形状为（）

A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

4．（多选）（25-26高一下·江苏宿迁·期末）如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面C1B1BC

内（不含边界）一点P与棱DD1把木料锯成两块，为此需要先在面C1B1BC内作出交线l，下列关于交线l与

截面形状的说法正确的是（）

A．截面形状是梯形B．截面形状可能为等腰梯形

C．直线l与直线DD1相交D．直线l与直线AA1相交

【题型5求截面的周长】

1．（25-26高二上·广东汕尾·期末）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2,AA14，现有一个动平面，

且//A1BD，当平面截此长方体所得截面边数最多时，截面的周长为（）

A．4522B．4225C．4542D．2522

2．在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E,F分别为AB,BC的中点，EFBDR，点G在棱CC1上，

若CG2，则平面EFG截正方体ABCDA1B1C1D1，所得截面多边形的周长．

3．（2026高三·全国·专题练习）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,M为CC1的中点，若AM平面，

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且B平面，则平面截正方体所得截面的周长为__________.

4．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M,N,P分别是C1D1,AD,CC1

的中点.

(1)求证：MP//平面ABB1A1；

(2)过M,N,P三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长.

【题型6求截面的面积】

1.（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的

中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（）

74

A．B．

63

39

C．D．

22

2．（25-26高一下·广西南宁·期末）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，E是棱C1D1的中点，

8/25

则平面AB1E截正方体ABCDA1B1C1D1所得截面图形的面积为（）

A．92B．18C．182D．36

3．（22-23高一下·黑龙江大庆·期末）在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，AA13，A1C14A1N，BB13MB1，

平面CMN截三棱柱所得截面的周长是（）

A．3245B．32353

C．4235D．32453

1

4．（2026云南昆明·模拟预测）直三棱柱ABCABC中，ABACAA22，P为BC中点，APBC，

11112

1

Q为AC上一点，AQAC，则经过A，P，Q三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（）

111211

79

A．B．4C．D．5

22

【题型7截面的最值、范围问题】

1．（25-26高二下·江苏·期末）已知圆锥的高为1，体积为π，则过圆锥顶点作圆锥截面的面积最大值为（）

A．3B．2C．23πD．3π

2．（2026高三·全国·专题练习）已知正方体ABCDA1B1C1D1的体积为1，点M在棱BC上（点M异

于B，C两点），N为CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面为五边形，则

BM的长的取值范围是（）

11112

A．0,B．,1C．,1D．,

22323

3．（2026·广东广州·模拟预测）已知正方体ABCDA1B1C1D1的边长为1，现有一个动平面，且平面A1BD，

9/25

当平面截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为S，周长为l，则（）

A．S不为定值，l为定值B．S为定值，l不为定值

C．S与l均为定值D．S与l均不为定值

【题型8截面分体积问题】

1．（2025高三上·广东·专题练习）棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M,N分别为AD,CD的中点，过

A1,M,N三点的截面将正方体分成两部分，则其中体积较小的几何体的体积为（）

195177

A．B．C．D．

24242424

2．（多选）（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，在正四棱锥PABCD中，E,F分别是PA,PC的中点，

则下列结论正确的是（）

PQ1

A．设PD平面BEFQ，则

PD3

B．三棱锥EBDF与正四棱锥PABCD的体积之比为1:4

PA5

C．若，则正四棱锥PABCD内切球与外接球的半径之比为1:6

AB2

D．正四棱锥PABCD被平面BEF分成的上、下两部分的体积之比为1:5

3．（2026·甘肃·一模）用一个平面截正方体，截面形状为正六边形，则截出的两部分几何体的体积之比

是.

4．在正四棱锥SABCD中，M为SC的中点，过AM作截面将该四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分

V2

V,VV

的体积分别为12，则1的最大值是.

【题型9球的截面问题】

1．（25-26高一下·湖南·期末）已知正方形ABCD的边长为4，将ABC沿对角线AC翻折，使二面角BACD

2π

为，则平面BCD截三棱锥BACD的外接球所得截面的面积为（）

3

16π32π

A．B．C．8πD．9π

35

2．已知正三棱锥PABC的外接球O的表面积为36π，侧棱PA32，点D为AB的中点，过点D作球O的

截面，则所得截面图形面积的取值范围为（）

10/25

2127

A．π,9πB．π,9πC．21π,36πD．27π,36π

44

3．已知正四面体PABC内接于球O，球O半径为3，E为BC的中点，过点E作球O的截面，求截面圆半

径的最小值（）

A．1B．3C．5D．6

4．（25-26高二上·上海·期末）球面上三点A、B、C所确定的截面到球心的距离等于球半径的四分之一，

且AB6，BC8，CA10，则球的体积为．

【题型10平行、垂直中的动点轨迹问题】

1．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,M是棱CC1的中点，空间中的动点P满足DPBM，且D1P1，

则动点P的轨迹长度为（）

525π

A．B．3C．2πD．

55

2．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2BC2CC16，点E，F

分别为BC，CC1的中点，点P在矩形BCC1B1内运动（包括边界），若A1P//平面AEF，则动点P的轨迹长

度为（）

332

A．B．32C．D．3

22

3．（2025·湖北·二模）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2,BB11，点M是平面B1CDA1内的动点，

且MAMC，则MC的最大值为（）

25354565

A．B．C．D．

5555

4.（25-26高三上·河北石家庄·月考）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E是DD1的中点，F是侧面

AA1D1D内的一个动点（含边界），且BF//平面B1CE，则BFFD1的最小值为（）.

11/25

52

A．25B．22C．D．32

2

5.（2026高三·全国·专题练习）（多选）设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E是棱A1B1的中点，点M

在正方体的表面上运动，则下列命题正确的是（）

3

A．如果AMBD1，则点M的轨迹所围成图形的面积为

2

35

B．如果B1M//平面AEC1，则点M的轨迹所围成图形的周长为

2

C．如果EM//平面D1B1BD，则点M的轨迹所围成图形的周长为2＋2

33

D．如果EMBD1，则点M的轨迹所围成图形的面积为

4

6．（多选）（25-26高一下·重庆渝北·期中）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是棱BC的中点，

点Q在正方形AA1B1B内部（不含边界）运动，若PQ//平面ACC1A1，则（）

A．点Q的轨迹经过线段AB1的中点

B．点Q的轨迹长度为2

C．直线PQ与直线AC为异面直线

2

D．三棱锥QACC的体积为定值

13

【题型11距离、角度中的轨迹问题】

1.（25-26高二上·天津·期中）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是侧面正方形CDD1C1内的动点，

417

点Q是正方形ABB1A1的中心，且PQ与平面CDD1C1所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积

17

为（）

12/25

π

A．B．πC．22D．2

4

2．（25-26高二上·河北·阶段检测）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2,ADAA13，球A是以A为球

心，以1为半径的球.动点P在矩形BCC1B1的内部及其边界上运动，且P到球A的球面上的点的最小距离为

2，则点P的轨迹长度为（）

5

A．2πB．πC．5πD．π

2

3．（2027高三·全国·专题练习）如图，点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1表面上的一个动点，直线

AP与平面ABCD所成的角为60，则点P的轨迹长度为________．

4．（2025高三·全国·专题练习）如图，平行六面体ABCDABCD下底面边长分别为8，6，侧棱长为4．P,Q

分别为上下底面异面对角线AC，BD上的动点．

（1）若ABCDABCD是长方体，则PQ中点M的轨迹形成图形的面积为．

（2）若顶点A的三面角均为60，则PQ中点M的轨迹形成图形的面积为．

5．（2025·陕西咸阳·二模）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1D1的中点，F为底面ABCD上一动点，EF

31

与底面ABCD所成的角为，若sincos，且该正方体的外接球的体积为43π，则动点F的轨

2

迹长度为______.

【题型12与翻折有关的综合问题】

1．（25-26高二上·辽宁·开学考试）如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形ABCD，

其中BAD60，AB1，ABBD，BCCD，BCCD．现将△BCD沿着BD折起，连接AC，得到

三棱锥CABD，取AD,BD的中点分别为E,F，连接CE,CF,EF．若CFE30，则直线AC与平面CEF

所成的角为（）

13/25

A．30B．45C．60D．75

2.（多选）（24-25高二上·重庆·期中）在矩形ABCD中，AB2BC2，点M是边CD的中点，将△ADM

沿AM翻折，直至点D落在边AB上.当△ADM翻折到△PAM的位置时，连结PB，PC，则（）

2

A．四棱锥PABCM体积的最大值为

4

B．存在某一翻折位置，使得AMPB

13

C．E为AB的中点，当PE时，二面角PAMC的余弦值为

24

D．N为PB的中点，则CN的长为定值

3．（多选）（24-25高一下·江苏徐州·阶段检测）如图，在多边形ABPCD中（图1）.四边形ABCD为长方

形，BPC为正三角形，AB3，BC32，现以BC为折痕将BPC折起，使点P在平面ABCD内的射影

恰好是AD的中点（图2）.若点E在线段PB上运动，Q点在AD上运动，则（）

A．AB平面PADB．平面PCD平面PAB

13

C．Q到平面EBC的距离为2D．当PEPB时，三棱锥EDCP的体积为

32

π

4．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB2AD4,A，点E为AB的中点，

3

△

将ADE沿直线DE翻折成A1DE（点A1不在面BCDE内），点F为A1C的中点.在ADE翻折过程中，

14/25

(1)证明：直线FB∥平面A1DE；

(2)若A1C10，求二面角A1DEC的大小.

5．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方体A1B1C1D1ABCD中，点M、N、P分别为A1D1、D1C1

和BC边的中点

(1)画出过M、N、P三点的截面（保留作图痕迹）；

(2)若正方体的棱长为2，求截面的面积；

(3)证明：直线AC//平面MNP

【题型13动点中的探究性问题】

1．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M,N分别是AB,PC

的中点．

15/25

(1)求证：MN//平面PAD；

PQ

(2)若线段PB上存在一点Q使得平面MNQ//平面PAD，求的值．

PB

2．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q

分别为BC，PA，PB的中点.

(1)求证：点Q，N，C，D四点共面

(2)求证：平面MNQ//平面PCD.

PE

(3)在线段PD上是否存在一点E，使得MN//平面ACE?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

PD

3．（25-26高一下·北京·期中）已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为4，F是BC的中点，点E是D1C1上一点，

H是AA1上一点，且平面EFH//平面D1AC，

16/25

(1)求证：点E是D1C1的中点．

(2)求证：EFDB1

(3)棱CD上是否存在点G使得平面EFG平面EFH，若存在，求出三棱锥EFGH的体积，若不存在，说

明理由．

4．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，其中，AD//BC，

且AD2BC，点E为棱PD的中点.

(1)求证:CE//平面PAB;

(2)若M为CE上的动点，则线段AD上是否存在点N，使得MN///平面PAB?若存在，请确定点N的位置，

若不存在，请说明理由；

(3)若PAPBPCAD5,CD6，请在图中作出四棱锥PABCD过点B，E及棱AD中点的截面，并求

出截面周长.

17/25

【题型14新定义题】

1．（2026·贵州黔西南·二模）定义：对于空间一个平面和该平面外两点P，Q，若在平面内存在一点R

使得PRQR取得最小值，则称R为P，Q两点关于平面的“最短距点”.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1

的棱长为2，AC与BD交于点O，点P为线段BB1的中点，其中，点R是P，O两点关于平面A1B1C1D1的“最

短距点”，则直线PR与OR所成角的余弦值为（）

33762

A．B．C．D．

831111

2．（25-26高二上·云南·开学考试）在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体

为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”.若在四面体ABCD中存在“完美顶点”A，AB2，AC3，

AD6，F为AD的中点，则CF与BD所成角的余弦值为（）

353522

A．B．C．D．

66105

3．（2026·云南曲靖·二模）公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四

面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种

正多面体进行截角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，

但各个面却不完全相同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体

的棱数为（）

A．60B．90C．120D．180

4．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知正四面体ABCD的棱长为26．

18/25

(1)证明：ADBC；

(2)某几何体是由正四面体ABCD按如下规则得到：在每个三角形面上，以各边中点为顶点的小三角形为

底面，向外补一个小正四面体记为第1次操作；继续以新生的小正四面体各边中点为顶点的小三角形为底

面，向外补一个小正四面体记为第2次操作；以此类推，如图所示．

（i）求第3次操作后几何体的体积；

（ii）现有nn3次操作后生成的几何体石材，求打磨出的最大球的体积．

1．（25-26高一下·黑龙江黑河·期末）如图，在正四面体木块VABC中，点P在VAC内，过点P将木块

锯开，且使截面平行于直线VA，BC，若截面的周长为4，则正四面体VABC的表面积为（）

A．43B．33C．42D．2

19/25

2．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，三棱锥SABC中，SASBSC2，ABC为正三角形，

BSC40，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（）

A．2B．3C．23D．33

3．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在正四棱锥SABCD中，SA13，AB4，M是棱BC上一动点，

N是棱AD上一点，且AN3DN，则两线段SM，MN的长度的和的最小值为（）

A．35B．52C．53D．53

4．（25-26高三下·广东·阶段检测）已知高为4的正四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的表面上，若球O

被平面ABCD所截得的截面面积为8π，则四棱锥OABCD的体积为（）

8163264

A．B．C．D．

3333

5．（25-26高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体．PABC的所有棱长均为3，D，E，F分别为棱PA，

PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（）

π2π

A．B．C．πD．2π

33

6．（多选）（24-25高二上·重庆北碚·期末）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC3,CC11,E,F分别

为棱BC,CD上的动点，则下列说法中正确的是（）

3

A．若E,F为中点，则三棱锥BA1EF的体积为

8

B．若E,F为中点，过A1,E,F的平面截该长方体得到的截面图形为五边形

C．若E,F分别为靠近C的三等分点，则D1到直线EF的距离为5

π

D．若直线CC1与平面EFC1所成角为，则存在点E,F使得线段EF长度为23

3

7．（多选）（24-25高二上·广东肇庆·期末）如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，

20/25

1

ABBCADCD,CD4，则（）

2

A．该圆台的高为1

B．该圆台轴截面面积为33

73π

C．该圆台的体积为

3

D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5

8．（25-26高一下·河南鹤壁·期末）如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为棱B1C1，

AD的中点，过点F作与DE垂直的平面，则截正方体所得截面的周长为__________．

9．（25-26高三上·广西·期末）在正四面体ABCD中棱AB，CD没有公共点，作两个平行于AB和CD的截

2

面，已知这两个截面的面积分别为6cm2和4cm，且它们之间距离为2cm，则该正四面体棱长为______cm．

10．（24-25高二上·北京房山·期末）如图，在边长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱AA1上的一个

动点，给出下列四个结论：

①三棱锥B1BED1的体积为定值；

②不存在点E，使得B1D平面BED1；

③对每一个点E，在棱DC上总存在一点P，使得AP//平面BED1；

④点E到DC1的距离的最小值为1．

21/25

其中正确结论的序号是．

11．（25-26高一下·广东珠海·期中）如图所示，正四棱锥SABCD中，P为侧棱SD上靠近D点的四等分

点，即SP3PD，Q为侧棱SD的中点，平面SAB平面SCDl.

(1)证明：BQ//平面PAC；

(2)证明：AB//l；

SE

(3)侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC？若存在，求的值；若不存在，试说明理由.

EC

12．（25-26高一下·河南·阶段检测）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，ABBCAD2，CD4，E

为CD的中点，将DAE沿AE翻折至△PAE的位置，使点D落在点P的位置，且PB6，F，G分别为AE，

BC的中点.

(1)证明：平面PAE平面ABCE.

(2)若线段PC上存在点M，使得平面PBF//平面MEG，

22/25

PM

（i）猜想的值，并说明理由；

PC

（ii）求二面角PBEM的正弦值.

1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）朱世杰是元代著名的数学家，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.其著

作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”

中第一问为：“今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何?”大意为现有一个直径为10

的球，从上面截一小部分，截面圆周长为8.4，问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为3

来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为（注：4.8223.04）（）

A．0.1B．0.2