人教版小学数学五年级上册核心知识清单与复习精要

人教版小学数学五年级上册核心知识清单与复习精要一、小数乘法（一）基础概念与算理【基础】1、小数乘整数：表示求几个相同加数和的简便运算，与整数乘法的意义相同。计算时，先按整数乘法算出积，再看因数中有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。例如：3.5×4，先算35×4=140，因数3.5是一位小数，从140右边起数出一位点上小数点，得到14.0，即14。2、小数乘小数：表示求一个数的十分之几、百分之几……是多少。计算法则同样是将小数乘法转化为整数乘法来计算。先按照整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。如果积的小数位数不够，要在前面用0补足，再点小数点。例如：0.56×0.04，先算56×4=224，因数共有四位小数，积应为四位小数，224位数不够，在前面补两个0，即0.0224。（二）计算法则与步骤【非常重要】【高频考点】1、基本步骤：（1）转化：忽略小数点，将小数乘法转化为整数乘法。（2）计算：按整数乘法法则计算出积。（3）数位：数清两个因数中一共有几位小数。（4）点小数点：从积的右边起数出相同的位数，点上小数点。积的小数部分末尾有0的，要根据小数的性质进行化简。2、易错点分析：（1）点错小数点位置：尤其是积的位数不够时，忘记用“0”补足。（2）忘记化简：计算出结果后，小数部分末尾的“0”未划去。（3）计算粗心：整数乘法计算错误，或加法进位出错。（三）积的近似数【基础】【考点】1、求积的近似数的方法：先算出准确的积，再根据题目要求或实际需要，用“四舍五入”法保留一定的小数位数。2、关键点：在表示近似数时，小数末尾的“0”不能去掉，因为它表示精确到的位数。例如，4.996保留两位小数是5.00，这里的两个“0”不能省略。（四）运算定律推广【非常重要】【热点】1、整数乘法的运算定律对于小数乘法同样适用。2、主要定律：（1）乘法交换律：a×b=b×a。如：0.25×4.78×4=0.25×4×4.78（2）乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。如：0.8×0.63×12.5=0.8×12.5×0.63（3）乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c。这是最常用、变化最多的定律。如：10.2×7.8=(10+0.2)×7.8=10×7.8+0.2×7.8；又如：3.8×9.9=3.8×(100.1)=3.8×103.8×0.1。3、简算技巧：观察数据特征，寻找能凑整（如2.5×4，1.25×8）或能应用分配律的数对，改变运算顺序，使计算简便。（五）解决问题【难点】【综合应用】1、估算策略：解决实际问题时，有时不需要精确计算，可以用估算。估算策略包括“往大估”和“往小估”，要根据具体情境选择。2、分段计费问题：典型问题如出租车计费、水费、电费等。解题关键是弄清收费规则，将总费用分成基础部分和超出部分进行计算。例如：某地出租车3公里内收费7元，超过3公里的部分每公里1.5元。求行驶8.5公里的费用。解答：先计算超出部分里程8.53=5.5公里，超出部分费用5.5×1.5=8.25元，总费用7+8.25=15.25元。二、位置（一）数对的含义与表示【基础】【高频考点】1、定义：用有顺序的两个数表示出一个确定的位置，就是数对。2、表示方法：先列（竖排）后行（横排），用括号将列数与行数括起来，并用逗号隔开。如数对(3，5)表示第3列第5行。3、重要性：列和行的顺序不能颠倒，顺序不同，表示的位置也不同。例如(5，3)和(3，5)表示不同的位置。（二）在方格纸上用数对确定位置【基础】【考点】1、方格纸中的点：方格纸的竖线表示“列”，横线表示“行”。0既是列的起点，也是行的起点。2、确定物体位置：根据给出的数对，在方格纸上找到列和行的交叉点，即为物体所在的位置。3、描述路线：用数对可以描述物体移动的轨迹和方向。例如，点从(1，2)移动到(5，2)是向右平移了4格。（三）数对与平移、轴对称的初步结合【拓展】1、图形平移：一个图形各点的列数或行数发生有规律的变化。左右平移，行数不变，列数增减；上下平移，列数不变，行数增减。2、图形轴对称：关于某条直线对称的两个点，它们到对称轴的距离相等。在方格纸上，可以通过数对来验证和寻找对称点。三、小数除法（一）基本类型与算理【基础】1、除数是整数的小数除法：按照整数除法的法则去除，商的小数点要与被除数的小数点对齐。如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。例如：22.4÷4，先算22÷4商5余2，对齐被除数的小数点商的小数点，将2转化成20个十分之一，与十分位上的4合起来是24个十分之一，除以4得6个十分之一，所以商是5.6。2、一个数除以小数：先去掉除数的小数点，看除数有几位小数，被除数的小数点就向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足），然后按照除数是整数的计算法则进行计算。例如：12.6÷0.28，除数0.28是两位小数，被除数12.6的小数点向右移动两位变成1260，即计算1260÷28。（二）计算法则与步骤【非常重要】【高频考点】1、核心步骤：（1）转化：将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法。（2）移动小数点：除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不足补0）。（3）计算：按照除数是整数的小数除法进行计算。（4）确定商的小数点：商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐。2、易错点分析：（1）移动小数点时，被除数位数不足忘记补0。（2）商的小数点没有与移动后的被除数小数点对齐。（3）整数部分不够除，商0占位忘记。例如：1.26÷18，个位不够商1，要在个位商0，再计算。（三）商的近似数【基础】【考点】1、求商的近似数的方法：通常用“四舍五入”法。计算时，一般要除到比需要保留的小数位数多一位，然后再按要求用“四舍五入”法取近似数。2、进一法和去尾法：在解决实际问题时，有时需要根据具体情况采用“进一法”或“去尾法”取商的近似数。（1）进一法：无论余数是多少，都要向前一位进一。例如：用瓶子装油，计算需要几个瓶子时，最后无论剩下多少油，都需要多一个瓶子。（2）去尾法：无论余数是多少，都要舍去。例如：用布做衣服，计算能做多少件衣服时，最后剩下的布不够做一件，就必须舍去。（四）循环小数【难点】【概念】1、定义：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。2、循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。如5.333…的循环节是3。3、表示方法：（1）写出两个循环节后，用省略号表示。如：2.08181…。（2）简便记法：只写出一个循环节，并在循环节的首位和末位数字上各点一个圆点。如2.08181…记作。4、分类：小数部分位数有限的小数是有限小数；小数部分位数无限的小数是无限小数。循环小数是无限小数中的一种。（五）用计算器探索规律【拓展】【思维】1、步骤：用计算器计算——观察发现规律——根据规律写商。2、规律类型：可以是数字的排列规律，也可以是计算结果与除数或被除数之间的关系。例如：1÷11=0.0909…，2÷11=0.1818…，3÷11=0.2727…，可以发现商都是循环小数，循环节分别是9、18、27，是9的1倍、2倍、3倍。四、可能性（一）事件发生的确定性与不确定性【基础】1、确定性事件：在一定的条件下，一些事件的结果是可以预知的，即一定发生或一定不发生，这样的事件是确定性事件。用“一定”或“不可能”来描述。2、不确定性事件：在一定的条件下，一些事件的结果是不可预知的，有时会发生，有时不会发生，这样的事件是不确定性事件。用“可能”来描述。（二）可能性的大小【非常重要】【高频考点】1、与数量的关系：事件发生的可能性的大小与个体数量的多少有关。在总数中所占数量越多，发生的可能性就越大；所占数量越少，发生的可能性就越小。2、判断方法：通过比较不同类别物体的数量多少来判断可能性的大小。例如：一个盒子里有10个红球和2个白球，任意摸出一个，摸到红球的可能性大，因为红球数量多。（三）根据可能性大小进行推测与设计【难点】【综合应用】1、根据已知数据进行推测：根据实验或统计的结果，可以反过来推测总体中各种物体数量的多少。例如，从盒子里摸球，摸出红球的次数远多于白球，可以推测盒子里红球可能比白球多。2、游戏规则的公平性：只有当事件发生的可能性相等时，游戏规则才是公平的。设计公平的游戏规则，就是要让参与游戏的各方获胜的可能性相等。五、简易方程（一）用字母表示数【基础】1、作用：用字母可以表示数、数量关系、运算定律和计算公式，使表达更简洁、更具一般性。2、书写规则：（1）数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作“·”或省略不写。数字要写在字母前面。如a×5写作5a。（2）1与任何字母相乘时，1可以省略不写。如1×b写作b。（3）相同的字母相乘，要写成乘方的形式。如a×a写作a²，读作a的平方。（4）除法运算一般写成分数形式。如s÷v写作。3、代入求值：将具体的数值代入含有字母的式子中，计算出结果。注意：代入时，原来省略的乘号要还原。（二）等式的性质【核心原理】1、性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。2、性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。这是解方程的理论依据。（三）方程的意义【概念】1、方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。2、方程必须具备的两个条件：（1）必须是等式。（2）必须含有未知数。3、方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程。（四）解方程【非常重要】【高频考点】【难点】1、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。2、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。3、基本步骤（以ax±b=c和ax±bx=m类型为主）：（1）写“解”字。（2）利用等式的性质进行化简，最终将方程转化为x=a（a为常数）的形式。对于形如ax±b=c的方程，先把ax看作一个整体，先消去b；对于形如ax±bx=m的方程，先利用乘法分配律将左边合并成(a±b)x的形式。（3）解出x的值。（4）检验：将求出的未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等。4、常见题型与解法：（1）x+a=b：方程两边同时减去a。（2）xa=b：方程两边同时加上a。（3）ax=b：方程两边先加上x，再减去b，转化为ab=x的形式求解。（4）ax=b：方程两边同时除以a。（5）x÷a=b：方程两边同时乘a。（6）a÷x=b：方程两边先乘x，再除以b，转化为a÷b=x的形式求解。（7）ax±b=c：先把ax看作整体，再求解x。（8）ax±bx=m：先逆用乘法分配律合并为(a±b)x=m，再求解。（五）实际问题与方程【综合应用】【难点】1、列方程解决实际问题的步骤：（1）找出未知数，用字母x表示。（2）分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列方程。（3）解方程并检验作答。2、寻找等量关系的方法：（1）根据常见的数量关系，如速度×时间=路程，单价×数量=总价。（2）根据几何图形的周长、面积公式。（3）根据题目中的关键句，如“甲比乙的2倍多3”。（4）根据线段图或示意图。3、典型问题：（1）和倍、差倍问题：例如，果园里桃树和杏树一共180棵，杏树的棵数是桃树的3倍。求桃树和杏树各有多少棵？等量关系：桃树棵数+杏树棵数=180，杏树棵数=桃树棵数×3。设桃树有x棵，则杏树有3x棵，列方程x+3x=180。（2）相遇问题：两地相距S千米，两车同时从两地相对开出，甲车速度v1，乙车速度v2，经过t小时相遇。等量关系：(v1+v2)×t=S。六、多边形的面积（一）平行四边形的面积【基础】1、面积公式推导：通过割补法，将平行四边形转化为长方形。转化后的长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。2、字母公式：S=ah。3、要点：公式中的底和高必须是相对应的，即底边上的高。（二）三角形的面积【基础】【高频考点】1、面积公式推导：用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。拼成的平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高。每个三角形的面积是拼成平行四边形面积的一半。因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷2。2、字母公式：S=ah÷2。3、易错点：计算三角形面积时，容易忘记除以2。等底等高的三角形面积相等，但形状不一定相同。（三）梯形的面积【基础】【高频考点】1、面积公式推导：用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。拼成的平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，高等于梯形的高。每个梯形的面积是拼成平行四边形面积的一半。因为平行四边形面积=(上底+下底)×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2。2、字母公式：S=(a+b)h÷2。3、要点：计算时，不要忘记除以2，同时要确保上下底之和与高相对应。（四）组合图形的面积【难点】【综合应用】1、计算方法：（1）分割法：将组合图形分割成几个学过的基本图形（如长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形），分别计算出它们的面积，再把面积相加。分割时，尽量分成最简洁、易于计算的基本图形。（2）添补法：给组合图形添补上一个基本图形，使其成为一个大的基本图形，然后用大图形的面积减去添补图形的面积。（3）割补法：将组合图形的一部分割下来，补到另一部分上，使其成为学过的基本图形，然后计算面积。2、估算不规则图形的面积：（1）数方格法：在方格纸上描出图形轮廓，通过数满格和不满格（一般不满格按半格计算）来估算面积。（2）转化法：将不规则图形近似地看作一个学过的规则图形，利用公式估算面积。（五）等积变形与面积关系【拓展】【思维】1、等底等高的三角形面积相等。2、三角形和平行四边形若等底等高，则三角形面积是平行四边形面积的一半。3、在平行线间，夹在平行线间的同底三角形，无论顶点如何移动，面积都相等（因为高不变）。七、数学广角——植树问题（一）基本模型与解题步骤【非常重要】【热点】1、核心概念：（1）总长：需要植树的路段的总长度。（2）间距：相邻两棵树之间的距离。（3）间隔数：总长被分成的段数。间隔数=总长÷间距。（4）棵数：需要栽种的树的棵数。2、三种基本模型：（1）两端都栽树：【重点】规律：棵数=间隔数+1，间隔数=棵数1。应用：求路灯数、排队人数等。（2）两端都不栽树：【重点】规律：棵数=间隔数1，间隔数=棵数+1。应用：求锯木头次数（锯的次数=段数1）、敲钟问题（敲的间隔数=次数1）、两端有建筑物等情况。（3）一端栽一端不栽（或封闭图形植树）：【重点】规律：棵数=间隔数。应用：圆形池塘、正方形花坛四周、在一条线段只有一端有路灯等情况。（二）封闭图形的植树问题【难点】1、在圆形、正方形、长方形等封闭图形上植树，相当于“一端栽一端不栽”的情况。棵数=间隔数。2、公式：棵数=封闭图形的周长÷间距。（三）变式与应用【综合应用】1、爬楼梯问题：从一楼到三楼需要爬2层楼梯，层数=到达楼层起始楼层。所爬楼梯的层数相当于间隔数。2、敲钟问题：敲6下，中间有5个间隔。每个间隔的时间×间隔数=总时间。3、队列问题：10个人排成一队，中间有9个间隔。（四）解题策略【方法】1、画图法：对于复杂的植树问题，先画