2026年江苏省高一数学第三十一章复数与解析几何综合题库试卷

2026年江苏省高一数学第三十一章复数与解析几何综合题库试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在复平面内，复数z=3+2i对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：复数z=3+2i的实部为3，虚部为2，且实部和虚部均为正数，因此对应的点位于第一象限。选项B、C、D均不符合条件，故正确答案为A。2.若复数z满足|z|=5且arg(z)=π/3，则z的代数形式为（）A.5+5√3iB.5√3+5iC.5√3/2+5/2iD.5/2+5√3/2i解析：根据复数的极坐标形式，z=|z|cosθ+|z|sinθi，其中θ为辐角。由题意|z|=5，arg(z)=π/3，代入得z=5cos(π/3)+5sin(π/3)i=5×1/2+5√3/2i=5/2+5√3/2i。选项A、B、D均不符合条件，故正确答案为C。3.已知复数z1=1+i，z2=2-3i，则z1•z2的模长为（）A.√10B.5C.√13D.7解析：z1•z2=(1+i)(2-3i)=2-3i+2i-3i^2=2-3i+2i+3=5。复数z1•z2的模长为|5|=5。选项A、C、D均不符合条件，故正确答案为B。4.在复平面内，以原点为圆心，半径为3的圆的方程为（）A.|z|=3B.|z|=-3C.z^2=9D.z^2=-9解析：在复平面内，以原点为圆心，半径为3的圆的方程为|z|=3。选项B、C、D均不符合条件，故正确答案为A。5.若复数z满足z^2=4i，则z的辐角主值为（）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/4解析：设z=a+bi，则z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=4i。由实部相等得a^2-b^2=0，虚部相等得2ab=4，解得a=b=±√2。取z=√2+√2i，辐角主值为π/4；取z=-√2-√2i，辐角主值为5π/4。选项A、B、D均不符合条件，故正确答案为C。6.已知点A(1,2)和B(3,-1)在复平面内，则向量AB对应的复数为（）A.2-iB.-2+iC.4-iD.-4+i解析：向量AB对应的复数为终点坐标减去起点坐标，即(3,-1)-(1,2)=(3-1,-1-2)=2-i。选项B、C、D均不符合条件，故正确答案为A。7.若复数z满足|z-1|=2且arg(z)=π/2，则z的代数形式为（）A.1+2iB.-1+2iC.2+1iD.-2+1i解析：由|z-1|=2得z-1=2(cosθ+isinθ)，其中θ为辐角。由arg(z)=π/2得θ=π/2，代入得z-1=2i，即z=1+2i。选项B、C、D均不符合条件，故正确答案为A。8.已知椭圆x^2/9+y^2/4=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，且|PF1|+|PF2|=6，则点P的轨迹方程为（）A.x^2/9+y^2/4=1B.x^2/4+y^2/9=1C.x^2/9-y^2/4=1D.x^2/4-y^2/9=1解析：椭圆x^2/9+y^2/4=1的长轴为6，即|PF1|+|PF2|=6，符合椭圆的定义。因此点P的轨迹方程仍为x^2/9+y^2/4=1。选项B、C、D均不符合条件，故正确答案为A。9.已知双曲线x^2/16-y^2/9=1的焦点为F1和F2，点P在双曲线上，且|PF1|-|PF2|=8，则点P的轨迹方程为（）A.x^2/16-y^2/9=1B.x^2/9-y^2/16=1C.x^2/16+y^2/9=1D.x^2/9+y^2/16=1解析：双曲线x^2/16-y^2/9=1的实轴为8，即|PF1|-|PF2|=8，符合双曲线的定义。因此点P的轨迹方程仍为x^2/16-y^2/9=1。选项B、C、D均不符合条件，故正确答案为A。10.已知抛物线y^2=8x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，且|PF|=d，则点P到准线l的距离为（）A.d/2B.dC.2dD.d^2解析：抛物线y^2=8x的焦点为F(2,0)，准线为l:x=-2。根据抛物线的定义，点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离。因此点P到准线l的距离为d。选项A、C、D均不符合条件，故正确答案为B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z=1+i，则z^3的代数形式为________。参考答案：-2+2i解析：z^3=(1+i)^3=1+3i+3i^2+3i^3+1^3=1+3i-3-3i+1=-2+2i。2.在复平面内，以原点为圆心，半径为2的圆的方程为________。参考答案：|z|=2解析：在复平面内，以原点为圆心，半径为2的圆的方程为|z|=2。3.若复数z满足z^2=9，则z的模长为________。参考答案：3解析：由z^2=9得z=±3，模长为|±3|=3。4.已知椭圆x^2/25+y^2/16=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，且|PF1|+|PF2|=10，则点P的轨迹方程为________。参考答案：x^2/25+y^2/16=1解析：椭圆x^2/25+y^2/16=1的长轴为10，即|PF1|+|PF2|=10，符合椭圆的定义。因此点P的轨迹方程仍为x^2/25+y^2/16=1。5.已知双曲线x^2/9-y^2/16=1的焦点为F1和F2，点P在双曲线上，且|PF1|-|PF2|=6，则点P的轨迹方程为________。参考答案：x^2/9-y^2/16=1解析：双曲线x^2/9-y^2/16=1的实轴为6，即|PF1|-|PF2|=6，符合双曲线的定义。因此点P的轨迹方程仍为x^2/9-y^2/16=1。6.已知抛物线y^2=12x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，且|PF|=4，则点P到准线l的距离为________。参考答案：4解析：抛物线y^2=12x的焦点为F(3,0)，准线为l:x=-3。根据抛物线的定义，点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离。因此点P到准线l的距离为4。7.已知点A(2,3)和B(4,1)在复平面内，则向量AB对应的复数为________。参考答案：2-2i解析：向量AB对应的复数为终点坐标减去起点坐标，即(4,1)-(2,3)=(4-2,1-3)=2-2i。8.若复数z满足|z|=4且arg(z)=π/4，则z的代数形式为________。参考答案：2√2+2√2i解析：根据复数的极坐标形式，z=|z|cosθ+|z|sinθi，其中θ为辐角。由题意|z|=4，arg(z)=π/4，代入得z=4cos(π/4)+4sin(π/4)i=4×√2/2+4×√2/2i=2√2+2√2i。9.已知椭圆x^2/36+y^2/25=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，且|PF1|+|PF2|=12，则点P的轨迹方程为________。参考答案：x^2/36+y^2/25=1解析：椭圆x^2/36+y^2/25=1的长轴为12，即|PF1|+|PF2|=12，符合椭圆的定义。因此点P的轨迹方程仍为x^2/36+y^2/25=1。10.已知双曲线x^2/25-y^2/9=1的焦点为F1和F2，点P在双曲线上，且|PF1|-|PF2|=10，则点P的轨迹方程为________。参考答案：x^2/25-y^2/9=1解析：双曲线x^2/25-y^2/9=1的实轴为10，即|PF1|-|PF2|=10，符合双曲线的定义。因此点P的轨迹方程仍为x^2/25-y^2/9=1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z1=1+i，z2=1-i，则z1•z2=2。参考答案：正确解析：z1•z2=(1+i)(1-i)=1-i+i-i^2=1-(-1)=2。2.在复平面内，以原点为圆心，半径为1的圆的方程为|z|=1。参考答案：正确解析：在复平面内，以原点为圆心，半径为1的圆的方程为|z|=1。3.若复数z满足z^2=-1，则z的模长为√2。参考答案：错误解析：由z^2=-1得z=±i，模长为|±i|=1。4.已知椭圆x^2/16+y^2/9=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，且|PF1|+|PF2|=8，则点P的轨迹方程为x^2/16+y^2/9=1。参考答案：正确解析：椭圆x^2/16+y^2/9=1的长轴为8，即|PF1|+|PF2|=8，符合椭圆的定义。因此点P的轨迹方程仍为x^2/16+y^2/9=1。5.已知双曲线x^2/9-y^2/16=1的焦点为F1和F2，点P在双曲线上，且|PF1|-|PF2|=4，则点P的轨迹方程为x^2/9-y^2/16=1。参考答案：正确解析：双曲线x^2/9-y^2/16=1的实轴为4，即|PF1|-|PF2|=4，符合双曲线的定义。因此点P的轨迹方程仍为x^2/9-y^2/16=1。6.已知抛物线y^2=4x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，且|PF|=3，则点P到准线l的距离为3。参考答案：正确解析：抛物线y^2=4x的焦点为F(1,0)，准线为l:x=-1。根据抛物线的定义，点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离。因此点P到准线l的距离为3。7.已知点A(1,2)和B(3,4)在复平面内，则向量AB对应的复数为2+2i。参考答案：错误解析：向量AB对应的复数为终点坐标减去起点坐标，即(3,4)-(1,2)=(3-1,4-2)=2+2i。8.若复数z满足|z|=3且arg(z)=π/2，则z的代数形式为3i。参考答案：正确解析：根据复数的极坐标形式，z=|z|cosθ+|z|sinθi，其中θ为辐角。由题意|z|=3，arg(z)=π/2，代入得z=3cos(π/2)+3sin(π/2)i=0+3i=3i。9.已知椭圆x^2/25+y^2/16=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，且|PF1|+|PF2|=10，则点P的轨迹方程为x^2/25+y^2/16=1。参考答案：正确解析：椭圆x^2/25+y^2/16=1的长轴为10，即|PF1|+|PF2|=10，符合椭圆的定义。因此点P的轨迹方程仍为x^2/25+y^2/16=1。10.已知双曲线x^2/16-y^2/9=1的焦点为F1和F2，点P在双曲线上，且|PF1|-|PF2|=6，则点P的轨迹方程为x^2/16-y^2/9=1。参考答案：正确解析：双曲线x^2/16-y^2/9=1的实轴为6，即|PF1|-|PF2|=6，符合双曲线的定义。因此点P的轨迹方程仍为x^2/16-y^2/9=1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.复数z=3-2i的模长和辐角主值分别为多少？参考答案：模长为√13，辐角主值为2arctan(-2/3)。解析：模长为|3-2i|=√(3^2+(-2)^2)=√13。辐角主值为θ=arctan(-2/3)，由于z位于第四象限，辐角主值为2π+arctan(-2/3)=2arctan(-2/3)。2.已知椭圆x^2/25+y^2/16=1的焦点为F1和F2，求F1和F2的坐标。参考答案：F1(-3,0)，F2(3,0)。解析：椭圆x^2/25+y^2/16=1的半长轴为5，半短轴为4，焦距为√(5^2-4^2)=√9=3。因此焦点坐标为F1(-3,0)，F2(3,0)。3.已知双曲线x^2/9-y^2/16=1的焦点为F1和F2，求F1和F2的坐标。参考答案：F1(-5,0)，F2(5,0)。解析：双曲线x^2/9-y^2/16=1的实轴为6，虚轴为8，焦距为√(6^2+8^2)=√100=10。因此焦点坐标为F1(-5,0)，F2(5,0)。4.已知抛物线y^2=12x的焦点为F，求F的坐标。参考答案：F(3,0)。解析：抛物线y^2=12x的焦点坐标为(焦点横坐标=1/4×12,0)=(3,0)。5.已知点A(1,2)和B(3,4)在复平面内，求向量AB的模长。参考答案：√8=2√2。解析：向量AB的模长为|AB|=√((3-1)^2+(4-2)^2)=√(2^2+2^2)=√8=2√2。6.若复数z满足z^2=4i，求z的代数形式。参考答案：2i，-2i。解析：设z=a+bi，则z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=4i。由实部相等得a^2-b^2=0，虚部相等得2ab=4，解得a=b=±√2。因此z=√2+√2i或z=-√2-√2i，即2i或-2i。7.已知椭圆x^2/36+y^2/25=1的焦点为F1和F2，求F1和F2的坐标。参考答案：F1(-√11,0)，F2(√11,0)。解析：椭圆x^2/36+y^2/25=1的半长轴为6，半短轴为5，焦距为√(6^2-5^2)=√11。因此焦点坐标为F1(-√11,0)，F2(√11,0)。8.已知双曲线x^2/25-y^2/9=1的焦点为F1和F2，求F1和F2的坐标。参考答案：F1(-√34,0)，F2(√34,0)。解析：双曲线x^2/25-y^2/9=1的实轴为10，虚轴为3，焦距为√(10^2+3^2)=√109≈√34。因此焦点坐标为F1(-√34,0)，F2(√34,0)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知复数z1=2+i，z2=3-2i，求z1•z2的模长和辐角主值。参考答案：模长为√13，辐角主值为arctan(-3/4)。解析：z1•z2=(2+i)(3-2i)=6-4i+3i-2i^2=6-i+2=8-i。模长为|8-i|=√(8^2+(-1)^2)=√65≈√13。辐角主值为θ=arctan(-1/8)，由于z1•z2位于第四象限，辐角主值为2π+arctan(-1/8)=arctan(-3/4)。2.已知椭圆x^2/16+y^2/9=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，且|PF1|+|PF2|=8，求点P的坐标。参考答案：P(0,3)或P(0,-3)。解析：椭圆x^2/16+y^2/9=1的半长轴为4，半短轴为3，因此点P的坐标为(0,±3)。3.已知双曲线x^2/9-y^2/16=1的焦点为F1和F2，点P在双曲线上，且|PF1|-|PF2|=6，求点P的坐标。参考答案：P(5,0)或P(-5,0)。解析：双曲线x^2/9-y^2/16=1的实轴为6，因此点P的坐标为(±6,0)。4.已知抛物线y^2=8x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，且|PF|=4，求点P的坐标。参考答案：P(2,±4)。解析：抛物线y^2=8x的焦点为F(2,0)，准线为l:x=-2。根据抛物线的定义，点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离。因此点P的坐标为(2,±4)。5.已知点A(1,2)和B(3,4)在复平面内，求向量AB的坐标和模长。参考答案：坐标为(2,2)，模长为√8=2√2。解析：向量AB的坐标为终点坐标减去起点坐标，即(3,4)-(1,2)=(3-1,4-2)=(2,2)。模长为|AB|=√((3-1)^2+(4-2)^2)=√(2^2+2^2)=√8=2√2。6.若复数z满足z^2=9i，求z的代数形式。参考答案：3√2/2+3√2/2i，-3√2/2-3√2/2i。解析：设z=a+bi，则z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=9i。由实部相等得a^2-b^2=0，虚部相等得2ab=9，解得a=b=±3√2/2。因此z=3√2/2+3√2/2i或z=-3√2/2-3√2/2i。7.已知椭圆x^2/25+y^2/16=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，且|PF1|+|PF2|=10，求点P的轨迹方程。参考答案：x^2/25+y^2/16=1。解析：椭圆x^2/25+y^2/16=1的长轴为10，即|PF1|+|PF2|=10，符合椭圆的定义。因此点P的轨迹方程仍为x^2/25+y^2/16=1。8.已知双曲线x^2/9-y^2/16=1的焦点为F1和F2，点P在双曲线上，且|PF1|-|PF2|=6，求点P的轨迹方程。参考答案：x^2/9-y^2/16=1。解析：双曲线x^2/9-y^2/16=1的实轴为6，即|PF1|-|PF2|=6，符合双曲线的定义。因此点P的轨迹方程仍为x^2/9-y^2/16=1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.B4.A5.C6.A7.A8.A9.A10.B二、填空题1.-2+2i12.|z|=213.314.x^2/25+y^2/16=115.x^2/9-y^2/16=116.417.2-2i18.2√2+2√2i19.x^2/36+y^2/25=120.x^2/25-y^2/9=1三、判断题1.正确22.正确23.错误24.正确25.正确26.正确27.错误28.正确29.正确30.正确四、简答题1.模长为√13，辐角主值为2arctan(-2/3)。解析：模长为|3-2i|=√(3^2+(-2)^2)=√13。辐角主值为θ=arctan(-2/3)，由于z位于第四象限，辐角主值为2π+arctan(-2/3)=2arctan(-2/3)。2.焦点坐标为F1(-3,0)，F2(3,0)。解析：椭圆x^2/25+y^2/16=1的半长轴为5，半短轴为4，焦距为√(5^2-4^2)=√9=3。因此焦点坐标为F1(-3,0)，F2(3,0)。3.焦点坐标为F1(-5,0)，F2(5,0)。解析：双曲线x^2/9-y^2/16=1的实轴为6，虚轴为8，焦距为√(6^2+8^2)=√100=10。因此焦点坐标为F1(-5,0)，F2(5,0)。4.焦点坐标为F(3,0)。解析：抛物线y^2=12x的焦点坐标为(焦点横坐标=1/4×12,0)=(3,0)。5.向量AB的模长为√8=2√2。解析：向量AB的模长为|AB|=√((3-1)^2+(4-2)^2)=√(2^2+2^2)=√8=2√2。6.z=2i，-2i。解析：设z=a+bi，则z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=4i。由实部相等得a^2-b^2=0，虚部相等得2ab=4，解得a=b=±√2。因此z=√2+√2i或z=-√2-√2i，即2i或-2i。7.焦点坐标为F1(-√11,0)，F2(√11,0)。解析：椭圆x^2/36+y^2/25=1的半长轴为6，半短轴为5，焦距为√(6^2-5^2)=√11。因此焦点坐标为F1(-√11,0)，F2(√11,0)。8.焦点坐标为F1(-√34,0)，F2(√34,0)。解析：双曲线x^2/25-y^2/9=1的实轴为10，虚轴为3，焦距为√(10^2+3^2)=√109≈√34。因此焦点坐标为F1