2026秋 第一章《因式分解》（B卷）-湘教版数学八年级上册单元测试

第一章《因式分解》（B卷）—湘教版数学八年级上册单元测试一、选择题（每题3分，共30分）1．（2025八上·叙永期末）下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（）A．2x+12x−1=4xC．ab−a−b+1=a−1b−1 2．（2025八下·宝安期末）多项式ma2-mb2的公因式是（）A．m B．m2 C．ma D．mb3．多项式8m2n+2mn中各项的公因式是（）A．2mn B．mn C．2 D．8m2n4．（2024八上·阿图什期末）多项式(x2−2x+1A．x−1 B．x+1 C．x2+1 5．（2025·鄞州模拟）如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法．甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16．判断正确的是（）A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错6．（2025八上·衡山期末）与3952A．395−52 B．395+5395−5 C．395+527．（2024·浙江模拟）把2aA．2a(a−2)+2 B．2(a2−2a+1) C．(2a−2)8．（2025八下·南海期中）下列式子从左到右的变形是因式分解的是（）A．x2−5x+6=xx−5C．xx−1=x9．若AmA．m B．mn C．mn2 D．m2n10．（2025八下·深圳期中）如果x−2是ax2−bx+2A．−2 B．−1 C．0 D．1二、填空题（每题3分，共24分）11．（2025八下·青羊期中）若二次三项式x2−mx−12可分解为x−3x+n，则mn12．（2024·扬州）分解因式：2a213．（2025八上·潮阳期末）因式分解：3a214．（2022八下·杭州期末）已知a=5+3，b=5−15．（2026·遵义模拟）因式分解x2+2x的结果是16．（2024八上·天水期中）若x2+x−3=0，则代数式x17．（2025·德阳模拟）已知x2−2x+1+x−y+3=0，则x=18．（2024八下·柯桥期中）已知x=2+1，则代数式x2﹣2x+1的值为.三、解答题（共8题，共66分）19．分解因式：（1）2ab−a（2）2a20．（2025八下·深圳期中）计算（1）−4（2）x21．（2024八上·九台期末）阅读下列材料：一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：因式分解：am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）．（1）利用分组分解法分解因式：①3m﹣3y+am﹣ay；②a2x+a2y+b2x+b2y．（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝（直接写出结果）．22．（2024八上·雨花期末）观察下面的因式分解过程：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）利用这种方法解决下列问题：（1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状．23．（2025八下·深圳期中）阅读与思考配方法把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用.例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3+1)(a+3-1)=(a+4)(a+2)②求2x2+12x+22的最小值.解：2x2+12x+22=2(x2+6x+11)先求出x2+6x+11的最小值x2+6x+11=x2+6x+9+2=(x+3)2+2；由于(x+3)2是非负数，所以(x+3)2≥0，可得到(x+3)2+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2.进而2x2+12x+22的最小值为4.请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+（2）用配方法因式分解：a2+12a+35；（3）求2x2-4x+10的最小值.（4）已知实数x，y满足-x2+5x+y-3=0，求x+2y的最小值，并指出此时y的值.24．若一个整数能表示成a2+b2(a，b是正整数)的形式，则称这个数为“丰利数”．例．如：2是“丰利数”，因为2=12（1）请写一个最小的三位“丰利数”是，并判断20“丰利数”(填“是”或“不是”)；（2）已知S=x2+y2+2x−6y+k(x，y是整数，k是常数)，要使25．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考：x2x2在第102页的练习第2题中，我们发现，(x+p)(x+q)=x(x+p)(x+q)=因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得x2利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。例如，将式子x2+3x+2分解因式。这个式子的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，因此这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子.利用上述分解因式x2这样，我们也可以得到x2利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：（1）分解因式：y2+7y−18=（2）【知识应用】x2+mx+3=(x+n)(x−3)，则m=，n=（3）【拓展提升】如果x226．（2025七下·杭州月考）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记A、B、C三类，拼成了一个如图2所示的正方形（1）根据用两种不同的方法表示图2中正方形的面积，直接写出一个因式分解的等式.（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（3a+4b）的矩形，则需要A类卡片张，B类卡片张，C类卡片张。（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知m+n=5，m2+n2=20，求mn和（m-n）2的值.②已知（x-2023）2+（x-2025）2=34，求x-2024.（4）如图3，用三张边长为x的正方形纸片，五张长为x，宽为1的长方形纸片和两张边长为1的正方形纸片。试一试，能否把这些纸片拼成一个长方形，若能，求出新长方形的长和宽。

答案解析部分1．【答案】C【知识点】因式分解的概念【解析】【解答】解：A．2x+12x−1B．x2C．ab−a−b+1=a−1D．m2故选C．【分析】本题考查因式分解的定义(把多项式转化为几个整式的积的形式），逐一分析选项：选项A是多项式乘法；选项B结果不是整式的积；选项C将多项式转化为两个整式的积；选项D结果中含有分式，不是整式的积.2．【答案】A【知识点】公因式的概念【解析】【解答】解：由题意可得：

ma2-mb2=m(a2-b2)故答案为：A【分析】根据公因式的定义即可求出答案.3．【答案】A【知识点】公因式的概念【解析】【解答】解：∵8与2的最大公约数是2，字母的的公因式是mn，因此各项的公因式为2mn，故答案为：A.【分析】公因式寻找：找系数的最大公约数，找相同字母的最低次.4．【答案】A【知识点】完全平方公式及运用；公因式的概念【解析】【解答】解：(∴多项式(x2−2x+1)故答案为：A．【分析】根据公因式的定义求解。先利用完全平方公式因式分解，再寻找公因式．5．【答案】B【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图①得：a2∴a2∴a2∴a−b2∴a−b=2，（负根舍去）由图②得：(a+b)2∴a2∴2ab=30，∴a2∴图②所示的大正方形的面积===64，∴a+b=8，（负根舍去），故甲的说法错误；∴a2故答案为：B．

【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意列出等式得到a−b=2，a2+b6．【答案】C【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用；因式分解的应用-简便运算【解析】【解答】解：3952故答案为：C．【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可求解.7．【答案】D【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法【解析】【解答】解：原式=2(a故答案为：D．

【分析】先提取公因式2，再利用完全平方公式进行分解因式即可得出答案．8．【答案】D【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法【解析】【解答】解：A、右边不是整式的积的形式，故A不符合题意；B、右边不是整式的积的形式，故B不符合题意；C、属于整式的乘法运算，不属于因式分解，故C不符合题意；D、是因式分解，故D符合题意；故答案为：D.【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，据此逐项进行判断即可.9．【答案】A【知识点】因式分解的应用【解析】【解答】解：∵A（m2﹣3n）＝m3﹣3mn＝m（m2﹣3n），

∴A＝m．

故答案为：A．

【分析】把等式右边利用提取公因式法分解因式后，即可得出A的值．10．【答案】B【知识点】因式分解的应用【解析】【解答】解：∵x−2是ax∴当x=2时，ax解得：2a−b=−1，故选：B．【分析】将x=2代入代数式建立方程，解方程即可求出答案.11．【答案】−4【知识点】因式分解的应用【解析】【解答】解：x−3x+n∵二次三项式x2−mx−12可分解为x−3x+n，∴−3n=−12，n−3=−m，解得n=4，m=−1，∴mn=−1×4=−4．故答案为：−4．

【分析】利用多项式乘以多项式的法则可得到x212．【答案】2a−1【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法【解析】【解答】解：

2a2−4a+2=2故答案为：2a−1【分析】先提公因式2，再根据完全平方公式进行因式分解，得出答案为：2a−113．【答案】3【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法【解析】【解答】解：3=3=3b故答案为：3b【分析】先提公因式，然后利用平方差公式因式分解求解即可.14．【答案】4【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算【解析】【解答】解：∵a=5+3∴a+b=∴a故答案为：415【分析】根据二次根式的加减法法则可得a+b、a-b的值，由平方差公式可得a2-b2=(a+b)(a-b)，据此计算.15．【答案】2【知识点】因式分解﹣公式法【解析】【解答】解：x2故答案为：2x+2【分析】本题聚焦因式分解的基础方法：提公因式法.熟练掌握公因式的提取规则，是解决这类问题的核心.解题时，先观察多项式的结构，提取各项的公因式，再将剩余部分整理为整式乘积的形式，即可完成因式分解.16．【答案】5【知识点】因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值【解析】【解答】解：∵∴∴x3=x(=3x+3−3x+2=5

故答案为：5.

【分析】先求出x2+x=3，再将其代入17．【答案】1；4【知识点】因式分解﹣公式法；绝对值的非负性【解析】【解答】解：原方程等价于x−12∵x−12≥0，∴x−1=0x−y+3=0解得x=1y=4故答案为：1，4．

【分析】利用几个非负数之和为0则每一个数都为0，可得到关于x、y的方程组，解方程组求出x、y的值.18．【答案】2【知识点】因式分解的应用【解析】【解答】解：原式为：x=(x−1)将x=2原式=故答案为：2.【分析】根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”可得x2-2x+1=(x-1)2，由已知的等式可得x-1=2，然后整体代换可求解.19．【答案】（1）解：原式=−a（2）解：原式=2=2=2a−2b【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法【解析】【分析】（1）根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.

（2）提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.（1）解：原式=−a（2）解：原式=2=2=2a−2b20．【答案】（1）解：原式=−（2）解：原式=(x−3y【知识点】分式的约分；分式的乘除法；分式的乘法；分式的除法【解析】【分析】(1)计算两个分式相乘，只需通过约分简化即可；

（2）分式除法运算，需要先将除法转化为乘法，再通过因式分解和约分进行化简。21．【答案】（1）解：①原式＝（3m−3y）＋（am−ay）＝3（m−y）＋a（m−y）＝（m−y）（3＋a）；②原式＝（a2x＋a2y）＋（b2x＋b2y）＝a2（x＋y）＋b2（x＋y）＝（x＋y）（a2＋b2）；（2）（a＋b＋1）（a＋b−1）【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法【解析】【解答】解：（2）a2＋2ab＋b2−1＝（a＋b）2−1＝（a＋b＋1）（a＋b−1）．故答案为：（a＋b＋1）（a＋b−1）．【分析】（1）①直接将前两项组合，后两项组合，提取公因式分解因式即可；②直接将前两项组合，后两项组合，提取公因式分解因式即可；（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．22．【答案】（1）解：2a+6b﹣3am﹣9bm＝（2a+6b）﹣（3am+9bm）＝2（a+3b）﹣3m（a+3b）＝（a+3b）（2﹣3m）；或2a+6b﹣3am﹣9bm＝（2a﹣3am）+（6b﹣9bm）＝a（2﹣3m）+3b（2﹣3m）＝（2﹣3m）（a+3b）；（2）解：∵a2﹣ac﹣ab+bc＝0，∴（a2﹣ac）﹣（ab﹣bc）＝0，∴a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＝0，∴（a﹣c）（a﹣b）＝0，∴a﹣c＝0或a﹣b＝0，∴a＝c或a＝b，∴△ABC是等腰三角形．【知识点】因式分解-分组分解法【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法，利用分组分解因式即可；

（2）先将代数式a2﹣ac﹣ab+bc＝0变形为（a﹣c）（a﹣b）＝0，求出a＝c或a＝b，即可得到△ABC是等腰三角形。23．【答案】（1）4（2）解：a（3）解：∵2∴2x（4）解：∵−x2+5x+y−3=0，所以y=x2-5x+3，代入x+2y中，得到

x+2（x2-5x+3）=2(x−94此时，将x=94代入，得：94+2y=−33【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解-完全平方公式【解析】【解答】解：a2+4a+4=（a+2）2

故答案为：（1）4.

【分析】完全平方公式，即（a±b）2=a2±2ab+b2，

（1）题利用完全平方公式对应为4a=2ab，即b=2，因此b2=4，因此得出答案。

（2）先将12a看做2ab，对应的b就是6，b2就是36，继续凑数并利用平方差公式进行进一步计算即可。

（3）先提取公因数2，然后利用完全平方公式将x2-2x进行变形，最后变为2（x-1）2+8，∵2（x-1）2≥0，所以该式的最小值即可得出；

（4）先将原式用x来表示y，并带入x+2y中，结合完全平方公式进行变形，即可得出x=924．【答案】（1）100；是（2）解：原式=x2+2x+1+y2−6y+9)+(k−10)=(x+1)2+(y−3)2+(k−10)【知识点】因式分解的应用；因式分解-分组分解法【解析】【解答】解：（1）∵100=62+82，

∴最小的三位丰利数是100，

∵20=42+22能表示成两个正整数平方和的形式，

∴20是丰利数，

故填：100，是；25．【答案】（1）(y+9)(y−2)（2）-4；-1（3）由x2+mx+6=(x+p)(x+q)=x2∵