2026年湖南省长沙市中考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“说好中国话，写好中国字”，在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.3cm,5cm,9cm B.6cm,7cm,13cm C.9cm,9cm,19cm D.11cm,18cm,22cm3.长沙，正为湖南建设年轻人友好省份贡献坚实的省会力量，让“青春长沙”成为新时代最闪耀的名片，省市两级共设5.05亿元创业投资基金，支持大学生创业，用科学记数法将数据505000000表示为（）A.505×106 B.50.5×107 C.5.05×108 D.5.05×1094.下列运算正确的是（）A. B.a2•a3=a5 C.2（a-1）=2a-1 D.（a-b）2=a2-b25.不等式x+1＜2的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.

C. D.6.下列调查中，调查方式选择合理的是（）A.了解全国初中生的课外阅读情况，选择全面调查

B.了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查

C.检测鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数，选择全面调查

D.检测湘江某段水域的水质情况，选择抽样调查7.冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂蘸上熔化的冰糖制作而成.若每根竹签穿5个山楂，则穿n（n为正整数）串冰糖葫芦需要山楂的个数是（）A.5+n B.5n C. D.8.如图，直线a⊥b,垂足为A，点B在直线b上，AC∥BD.若∠1=40°，则∠2的度数为（）A.30°

B.40°

C.50°

D.60°

9.如图，等边三角形ABC内接于⊙O.若⊙O的半径为3，则的长为（）A.π

B.2π

C.3π

D.4π

10.“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲.如图，“赵爽弦图”是由与Rt△AOB全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形ABCD，中间的部分是一个小正方形.过正方形ABCD的顶点作正方形EFGH，且EF⊥OB.若中间最小的正方形的面积为1，AB=5，则正方形EFGH的面积为（）

A.25 B.36 C.49 D.64二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.某学校组织学生去劳动实践基地摘草莓，并称重、装盒，一盒草莓的标准质量为1kg,如果比标准质量多25g记作+25g,那么比标准质量少20g记作

g.12.若关于x的方程2x+m=2030的解是x=2，则m的值为

.13.2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”.为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校开展了“玩转魔方”、“我爱数独”、“速算24点”、“趣拼七巧板”、“巧解鲁班锁”、“走出华容道”六个数学活动.现从中随机抽取一个数学活动进行展示，则抽中“玩转魔方”进行展示的概率是

.14.在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，若DE=6，则BC的长为

.15.在平面直角坐标系中，若反比例函数（k为常数，k≠0）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则k的值为

.（写出一个符合条件的k值即可）16.龙舟竞渡，粽叶飘香，又是一年端午时.为了营造节日氛围，某大型食品超市举办了“粽情粽义杯”包粽子大赛.小刘与小胡两人报名参加了包粽子大赛，小刘包的粽子放在某四个篮子里，小胡包的粽子放在另外两个篮子里，小刘包的粽子总数是小胡包的粽子总数的2倍.后来由于工作人员的疏忽，把两人装粽子的篮子混在一起，分不清哪四篮是小刘的，哪两篮是小胡的.已知六个篮子里的粽子数量分别为74，62，66，58，67，60，则小胡的两个篮子里的粽子数量分别是

，

.三、计算题：本大题共3小题，共21分。17.计算：.18.先化简，再求值：（m+2）（m-2）-m（m-3），其中.19.某校书法兴趣小组到文具店一次性购买A，B两种型号的毛笔．请你根据下面表格中提供的信息，解答相关问题．信息1文具店的销售方式：

①一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过的部分每支的价格比零售价低0.5元；

②一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过的部分每支的价格比零售价低1元．信息2B型毛笔的零售售价比A型毛笔的零售价每支高1元，购买2支A型毛笔和3支B型毛笔共需花费28元．信息3这个书法兴趣小组共有30名同学，每人需要买1支A型毛笔和2支B型毛笔．(1)求这家文具店A，B型毛笔的零售价每支分别是多少元？(2)该书法兴趣小组本次购买A，B两种型号的毛笔共需花费多少元？四、解答题：本题共6小题，共51分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。20.(本小题6分)

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=3．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN交BC于点D，连接AD(1)求∠CAD的度数(2)求BD的长21.(本小题8分)

2026年5月24日23时08分，搭载神舟二十三号载人飞船的长征二号F遥二十三运载火箭点火发射，这是中国载人航天第40次发射任务、长征火箭的第644次飞行、神舟飞船的第23次飞行．某学校为调查同学们对航天知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取40名学生进行航天知识测试，用x表示测试成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分），将成绩分为四个等级（D：60≤x＜70；C：70≤x＜80；B：80≤x＜90；A：90≤x≤100）并对成绩进行整理、描述和分析，绘制出如下有待完善的统计图表．

七、八年级成绩统计表年级平均数方差七年级84.38134.48八年级86.40114.54根据以上信息，解答下列问题：(1)请将七年级成绩条形统计图补充完整(2)八年级成绩扇形统计图中，B等级对应圆心角的度数为

(3)若该校七年级的800名学生都参加测试，估计成绩为A等级的有

人(4)请你从平均数和方差两个量中任选一个，比较该校七、八年级学生对航天知识的了解情况22.(本小题8分)

如图，点B，F，C，E在一条直线上，BC=EF，AB∥DE，∠A=∠D(1)求证：△ABC≌△DEF(2)若AB=2，EF=5，∠E=45°，求△DEF的面积23.(本小题9分)

如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上任意一点（不与点A，B重合），BD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接BC(1)求证：BC平分∠ABD(2)已知直径AB=10，设BC=x,BD=y,求y关于x的函数解析式．（不要求写出自变量x的取值范围）24.(本小题10分)

边长为a的菱形ABCD中，记∠BAD=θ（0°＜θ＜90°），该菱形的周长为l,面积为S(1)判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）；

①l与a成正比例关系；

②当a=1时，S=sinθ；

③若该菱形的两条对角线的长满足AC：BD=：1，则θ=60°．

(2)当θ=60°时，解答下列问题：

①如图1，点M在边BC上运动（不与点B，C重合），连接AM并延长交DC的延长线于点N，连接DM并延长交BN于点P．请问∠BPM的大小是否发生变化？如果不变，请求出∠BPM的度数；如果变化，请说明理由；

②如图2，点M在边BC的延长线上运动，连接AM交边DC于点N，连接BN并延长交DM于点P．设=k,当BN•PN=S时，求k的值．

25.(本小题10分)

我们约定：在平面直角坐标系中，当点（x,y）的坐标满足x+y=xy时，称点（x,y）为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题：(1)若点P（x,y）为“靓点”，则点Q（2-x,2-y）是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明(2)当k＞0时，求证：关于x的函数y=kx+m（k,m为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”(3)已知关于x的二次函数y=ax2-4ax+4a+2（a为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且满足++=++，求a的值

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】-20

12.【答案】2026

13.【答案】

14.【答案】12

15.【答案】1（答案不唯一）

16.【答案】6267

17.【答案】解：原式=2-1+3+1

=5．

18.【答案】解：（m+2）（m-2）-m（m-3）

=m2-4-（m2+3m）

=m2-4-m2+3m

=3m-4，

当m=时，

原式=3×-4

=1-4

=-3．

19.【答案】【小题1】设这家文具店A型毛笔的零售价是x元/支，B型毛笔的零售价是y元/支，

根据题意得：，

解得：．

答：这家文具店A型毛笔的零售价是5元/支，B型毛笔的零售价是6元/支【小题2】根据题意得：5×20+（5-0.5）×（30-20）+6×15+（6-1）×（30×2-15）

=5×20+（5-0.5）×（30-20）+6×15+（6-1）×（60-15）

=5×20+4.5×10+6×15+5×45

=100+45+90+225

=460（元）．

答：该书法兴趣小组本次购买A，B两种型号的毛笔共需花费460元

20.【答案】【小题1】在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，

∴∠C=∠B=30°，

∴∠BAC=180°-（∠C+∠B）=120°，

由尺规作图可知：MN是AB边的垂直平分线，

∵直线MN交BC于点D，

∴AD=BD，

∴∠DAB=∠B=30°，

∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=120°-30°=90°【小题2】设BD的长为x,

∵BC=3，

∴CD=BC-BD=3-x,

由（1）可知：AD=BD=x,∠CAD=90°，

∴△CAD是直角三角形，

在Rt△CAD中，∠C=30°，

∴CD=2AD，

∴3-x=2x,

解得：x=1，

∴BD的长为1

21.【答案】【小题1】由题意得：七年级C等级的人数=40-5-11-16=8，如图：

【小题2】144°【小题3】320【小题4】从平均数来看，七年级的平均数为84.38分，八年级的平均数为86.40分，

∵84.38＜86.40，

∴八年级学生对航天知识的了解情况更好（答案不唯一）

22.【答案】【小题1】证明：∵AB∥DE，

∴∠B=∠E，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（AAS）【小题2】解：∵△ABC≌△DEF，

∴AB=DE=2，

过D作DH⊥EF于H，

∵∠E=45°，

∴DH=DE=2．

∵EF=5，

∴△DEF的面积=EF•DH=×5×2=5．

23.【答案】【小题1】证明：连接OC，

∵CD切半圆于C，

∴半径OC⊥CD，

∵BD⊥CD，

∴BD∥OC，

∴∠CBD=∠BCO，

∵OC=OB，

∴∠CBO=∠BCO，

∴∠CBO=∠CBD，

∴BC平分∠ABD【小题2】解：连接AC，

∵AB是半圆的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠CDB=90°，

∴∠ACB=∠CDB，

∵∠ABC=∠CBD，

∴△ABC∽△CBD，

∴AB：CB=BC：BD，

∴10：x=x：y,

∴y=x2

24.【答案】【小题1】√√√【小题2】①如图1，连接BD，

在菱形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=∠BAD=60°，BC=CD=a,

∴△CBD为等边三角形，

∴BD=BC=CD=a,∠CDB=∠CBD=60°，

设CN=x,则DN=a+x,

∵AD∥BC，

∴△NCM∽△NDA，

∴，即，

∴，则，

∴，

又∵，

∴，

又∠DBM=∠NDB=60°，

∴△DBM∽△NDB，

∴∠BDM=∠DNB，

∴∠BPM=∠NDP+∠DNB=∠NDP+∠BDM=∠NDB=60°；

②如图2，连接BD，

∵，

∴CM=kBC=ak,BM=a（k+1），

∵AD∥BC，

∴△NCM∽△NDA，

∴，

又DN+CN=a,

∴，，

∴，

又∠BDN=∠MBD=60°，

∴△BDN∽△MBD，

∴∠DBN=∠BMD，

∴∠DPN=∠BMD+∠MBP=∠DBN+∠MBP=∠CBD=60°，

∴∠DPN=∠BCN=60°，

又∠DNP=∠BNC，

∴△DPN∽△BCN，

∴，

∴DN•CN=BN•PN=S，

由（1）知，

∴，

整理得k2-3k+1=0，

解得

25.【答案】【小题1】解：点Q（2-x,2-y）是“靓点”，

证明如下：∵点P（x,y）为“靓点”，

∴x+y=xy,

∵（2-x）+（2-y）=4-（x+y），（2-x）（2-y）=4-2x-2y+xy=4-2（x+y）+xy,

∴将x+y=xy代入上式，得（2-x）（2-y）=4-2（x+y）+（x+y）=4-（x+y），

∴（2-x）+（2-y）=（2-x）（2-y），

∴点Q（2-x,2-y）是“靓点”【小题2】证明：将y=kx+m代入x+y=xy,得x+kx+m=x（kx+m），

整理得kx2+（m-k-1）x-m=0，

∵k＞0，

∴判别式Δ=（m-k-1）2-4•k•（-m）

=（m-k-1）2+4km

=m2-2（k+1）m