2018考研全国统考数学二模拟试卷（含答题卡）

2018考研全国统考数学二模拟试卷（含答题卡）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡相应位置上。）1.设函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)≠0，则当x→x0时，下列说法正确的是（）A.f(x)一定不是无穷小量B.|f(x)|一定是无穷小量C.f(x)-f(x0)一定是无穷小量D.f(x)-f(x0)不是无穷小量解析：由导数定义f'(x0)=lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/[(x-x0)]，由于f'(x0)存在且不为0，可知[f(x)-f(x0)]/[（x-x0）]为非零有界量。当x→x0时，x-x0为无穷小量，因此f(x)-f(x0)也为无穷小量。故选C。2.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A.-2B.0C.2D.4解析：首先求导f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得驻点x=0和x=2。计算端点和驻点函数值：f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=0。因此最大值M=2，最小值m=-10，M+m=-8。但选项均不符，经检查发现题目区间有误，应改为[0,2]或[-2,0]，若改为[0,2]则M=2，m=0，M+m=2。此处按原题计算，若题目无误则需重新命题。3.设函数y=ln(1+x)在x=0处的泰勒展开式为y=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n，则a3的值为（）A.1/3B.-1/3C.1/2D.-1/2解析：泰勒展开式系数a_n=f^(n)(0)/n!，f(x)=ln(1+x)，f'(x)=1/(1+x)，f''(x)=-1/(1+x)^2，f'''(x)=2/(1+x)^3，因此a3=f'''(0)/3!=2/3!=-1/3。故选B。4.微分方程y''-4y'+4y=0的通解为（）A.y=(C1+C2x)e^2xB.y=(C1+C2x)e^-2xC.y=(C1+C2x)e^xD.y=(C1+C2x)e^-x解析：特征方程r^2-4r+4=0，解得r1=r2=2，通解为y=(C1+C2x)e^2x。故选A。5.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)>0，则下列不等式一定成立的是（）A.∫[a,b]f(x)dx≥(b-a)f(a)B.∫[a,b]f(x)dx≤(b-a)f(b)C.∫[a,b]f(x)dx=(b-a)f(（a+b）/2)D.∫[a,b]f(x)dx=(b-a)f(c)，c∈(a,b)解析：根据积分中值定理，存在c∈(a,b)使得∫[a,b]f(x)dx=(b-a)f(c)。故选D。6.设函数y=arctan(x^2)，则dy/dx在x=1处的值为（）A.1/2B.1C.2D.1/√2解析：dy/dx=1/(1+x^4)•2x，x=1时dy/dx=1/2。故选A。7.曲线y=xe^-x的拐点坐标为（）A.(1,1/e)B.(2,2/e^2)C.(0,0)D.(1,0)解析：y'=e^-x-xe^-x，y''=-2e^-x+xe^-x，令y''=0得x=2。当x<2时y''<0，x>2时y''>0，因此x=2为拐点，y=2e^-2。但选项不符，经检查发现计算错误，正确解法为y''=-e^-x+2xe^-x，令y''=0得x=1/2，但题目选项均不符，可能题目设置有误。8.设函数f(x)在x=0处连续，且lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x^2)=3，则f(0)等于（）A.0B.1C.-1D.3解析：由连续性f(0)=lim(x→0)f(x)，原式变形为f(x)=f(0)+3x^2+o(x^2)，令x=0得f(0)=f(0)，无确定值。经检查发现题目条件不足，无法确定f(0)值。若改为lim(x→0)[f(x)-f(0)]/x=3则f'(0)=3，但题目条件不符。9.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)，则下列说法正确的是（）A.必存在x0∈(0,1)使得f(x0)=0B.必存在x0∈(0,1)使得f(x0)=f(0)C.必存在x0∈(0,1)使得f'(x0)=0D.必存在x0∈(0,1)使得f(x0)=-f(0)解析：考虑函数g(x)=f(x)-f((x+1)/2)，g(0)=f(0)-f(1/2)，g(1/2)=f(1/2)-f(1)，g(1)=f(1)-f(1/2)，由f(0)=f(1)可得g(0)+g(1)=0，因此存在x0∈(0,1)使得g(x0)=0，即f(x0)=f((x0+1)/2)。故选C。10.设向量a=(1,2,3)，b=(1,-1,1)，则向量a与b的向量积为（）A.(1,4,5)B.(-1,-4,-5)C.(1,2,3)D.(1,-1,1)解析：向量积a×b=(-2-3,-(3-1),(1+2))=(-5,-2,3)。但选项均不符，经检查发现题目向量设置有误，若改为a=(1,2,1)，b=(1,-1,1)则a×b=(3,0,3)。此处按原题计算，若题目无误则需重新命题。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在答题卡相应位置上。）1.设函数f(x)=|x-1|在x=0处的左导数和右导数分别为a和b，则a+b的值为________。参考答案：-2解析：f'(0^-)=lim(h→0-)[f(h)-f(0)]/h=lim(h→0-)[|-h-1|]/h=1，f'(0^+)=lim(h→0+)[f(h)-f(0)]/h=lim(h→0+)[h-1]/h=-1，因此a+b=-2。2.设函数y=2^x+lnx，则dy/dx在x=1处的值为________。参考答案：3解析：dy/dx=2^x•ln2+1/x，x=1时dy/dx=ln2+1=3。3