切线的性质和判定练习题

聚焦核心：切线的性质与判定练习题解析在平面几何的学习中，圆的切线是一个极为重要的概念，其性质与判定不仅是考试的热点，也是解决诸多几何问题的关键工具。能否熟练掌握并灵活运用切线的相关知识，直接关系到几何推理能力的提升。本文将通过一系列精心设计的练习题，帮助读者巩固切线的性质与判定方法，并深化对相关几何思想的理解。一、切线的核心知识点梳理在着手练习之前，让我们简要回顾一下切线的主要性质与判定定理，这是解决问题的基础。切线的性质：1.切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。2.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。此性质揭示了切线与半径之间的垂直关系，是后续计算和证明中常用的“黄金法则”。3.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。此定理在涉及线段相等、角相等以及对称关系的题目中应用广泛。4.推论：圆心到切线的距离等于圆的半径。这既是性质，也可视为切线判定的一种间接方法。切线的判定：1.定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。（此法多用于直观判断或反证）2.数量关系法（d=r）：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。若题目中易于计算圆心到直线的距离，或在坐标系背景下，此法较为便捷。3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。这是几何证明中判定切线最常用也最重要的方法，应用时需特别注意“半径外端”和“垂直”这两个缺一不可的条件。二、基础巩固与辨析练习1：判断题（对的打“√”，错的打“×”，并简述理由）1.与圆有公共点的直线是圆的切线。2.垂直于半径的直线是圆的切线。3.圆的切线只有一条。4.从圆外一点引圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做切线长。5.如果一条直线与圆的半径垂直，那么这条直线是圆的切线。解析与答案：1.×。理由：与圆有公共点的直线可能相交（两个公共点），也可能相切（一个公共点）。2.×。理由：垂直于半径的直线若不经过半径的外端，则不是切线。判定定理强调“经过半径外端”和“垂直”两个条件。3.×。理由：一个圆有无数条切线，每一条切线都对应一个切点。4.√。这是切线长的定义。5.×。理由：同第2题，缺少“经过半径外端”这一关键条件。若这条半径是圆内的一条线段，垂直于它的直线显然不一定是切线。三、性质应用与计算练习2：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连接OA、OB、OP。(1)若OA=5，OP=13，求PA的长。(2)若∠APB=60°，PA=6，求⊙O的半径OA。(分析与解答：)这道题主要考查切线的性质及切线长定理的应用。(1)∵PA是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥PA（切线垂直于过切点的半径）。在Rt△POA中，OA=5，OP=13，根据勾股定理：PA=√(OP²-OA²)=√(13²-5²)=√(169-25)=√144=12。(2)∵PA、PB是⊙O的两条切线，∴PA=PB（切线长相等）。又∵∠APB=60°，∴△PAB是等边三角形，∴∠APO=∠APB/2=30°（OP平分∠APB）。在Rt△POA中，∠APO=30°，PA=6，∠OAP=90°。tan∠APO=OA/PA，即tan30°=OA/6。OA=6×tan30°=6×(√3/3)=2√3。四、切线的判定与证明练习3：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E。求证：DE是⊙O的切线。(分析与证明：)要证明DE是⊙O的切线，已知DE与⊙O有公共点D（因为D在⊙O上，AB为直径），所以根据切线的判定定理，我们只需连接OD（构造半径），然后证明OD⊥DE即可。证明：连接OD。∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）。∵OB=OD（⊙O的半径），∴∠B=∠ODB（等边对等角）。∴∠ODB=∠C（等量代换）。∴OD∥AC（同位角相等，两直线平行）。∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°。∵OD∥AC，∴∠ODE=∠DEC=90°（两直线平行，同位角相等）。即OD⊥DE。又∵OD是⊙O的半径，点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）。练习4：已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。以点C为圆心，r为半径作圆。当r为何值时，⊙C与AB所在的直线相切？(分析与解答：)本题考查切线的另一种判定方法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。AB所在的直线与⊙C相切，意味着圆心C到直线AB的距离等于半径r。因此，我们只需求出点C到直线AB的距离即可。解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。根据勾股定理，AB=√(AC²+BC²)=√(3²+4²)=5。设点C到直线AB的距离为h。∵S△ABC=(1/2)×AC×BC=(1/2)×AB×h，∴(1/2)×3×4=(1/2)×5×h，解得h=12/5=2.4。∴当r=12/5时，⊙C与AB所在的直线相切。五、综合提升与思考通过以上练习，我们可以看出，无论是利用切线的性质进行计算，还是利用判定定理证明切线，准确理解定理的条件和结论，以及恰当添加辅助线（如连接半径、作垂线等）都是至关重要的。在解决具体问题时，要仔细分析图形特点，