武理工高等机构学课件第4章 铰链四杆机构的主要特性

第四章铰链四杆机构的主要特性学习目标4.1铰链四杆机构的尺寸型4.2铰链四杆机构的连杆曲线4.3同源机构铰链四杆机构的空间模型机构的回路与分支各种类型四杆机构的运动生成概述铰链四杆机构的连杆曲线方程及其性质Sylvester仿图仪Roberts—Chebyschev定理同源机构的应用及求法

铰链四杆机构作为连杆机构中最简单也是最具代表性的机构，是其他四杆机构的基本形式，是研究其他连杆机构的基础，也是应用最广泛的机构之一。4.1铰链四杆机构的尺寸型

由于四杆机构性能随各杆长度的不同而变化，而四杆机构各杆长度在一定的尺寸范围内可以任意选定，机构的绝对尺寸型是无穷多的。因此若能把这种无穷多种尺寸型表示在有限的范围内，对研究其各种性能将具有重要意义。4.1.1铰链四杆机构的空间模型

如图1所示，各对应杆长度成比例的机构，两者许多性能完全相同。因此，我们可以不必研究四杆机构的全部绝对尺寸型，而仅研究其相对尺寸型即可。一般都是固定一杆为1，研究其他三杆相对尺寸变化类型。例如令图1杆长成比例的四杆机构然而这种方法的b、c、d尺寸在坐标轴上只能表示有限数值，坐标图上无法表示全部机构尺寸与性能的变化关系。为此，采用下面的方法使对应各杆长度成比例的相似机构统一为一个尺寸类型。如图，设铰链四杆机构的实际杆长分别为、、、，取L为四杆长度的平均值，即于是可得标准化了的相对机构尺寸规定a为原动杆，b为连杆，c为从动杆，d为机架，则任意四杆机构的相对杆长之和恒为（1）由于四杆机构必须构成闭式运动链，所以任何一个杆长必须小于其他三杆杆长之和，即四个相对杆长必须满足下列不等式：（2）如果在空间直角坐标系中取三坐标轴分别表示a、c、b，在极限情况下，即时时满足式（1）和式（2）的一切四杆机构的尺寸型均存在于直角坐标系内的一个封闭的空间里。如图2所示，该空间是一个偏斜八面体ABCDEF。是棱长为2的正六面体被平面a+b+c=4和a+b+c=2削去两个底面为正三角形的三棱锥后剩下的部分。图2包括全部四杆机构的空间体空间模型内任意一点都代表一铰链四杆机构的相对尺寸型。换言之，铰链四杆机构的全部相对尺寸型都在此空间模型内。（1）空间模型的子空间图3四杆机构的空间模型及其子空间如图3a所示，若用四边形BCDE（平面b+c=2）将空间模型切开，就得到图4-3b所示的两个全等的斜四棱锥。用四边形ABFD（a+b=2）和四边形AEFC（平面a+c=2）分别切空间模型，也都得到完全类似的结果。用上述三个四边形同时切割空间模型，就得到图4-3c所示八个四面体1~8，即把空间模型分成了八个子空间。图4四杆机构的三个子空间上图表示1、4、8三个子空间在坐标系中的位置，其余子空间在坐标系中的位置亦可用同样方法画出。以第1子空间GADE为例，推导其尺寸关系。由图a可知：该子空间由四个平面，即△GAD、△GAE、△GDE、△ADE所围成。由空间解析几何可知，该子空间内任一点K（a，b，c）必满足下列不等式：再根据4-1可以得出同理可推出其余各子空间的机构尺寸关系。八个子空间和八种机构类型相对应，如表4-1做事。表中前四行为具有曲柄的尺寸链，构成的机构称为Grashof机构，后四行为无曲柄的尺寸链，构成的机构称为非Grashof机构。子空间号子空间部位机构特点机构尺寸条件8GABC机架d为最小的双曲柄机构a+d<b+c,b+d<a+c,c+d<a+b1GADE原动杆a为最小的曲柄摇杆机构a+d<b+c,a+c<b+d,a+d<c+b2GCDF从动杆c为最小的曲柄摇杆机构c+a<b+d,c+b<a+d,c+d<a+b3GBCF连杆b为最小的双摇杆曲柄机构b+a<d+c,b+c<a+d,b+d<a+c4GABE从动杆c为最大的双摇杆机构a+c<b+d,b+c<a+d,c+d<a+b5GACD连杆b为最大的双摇杆机构a+b<d+c,b+c<a+d,b+d<a+c6GBCF原动杆a为最大的双摇杆机构a+b<d+c,a+c<b+d,a+d<c+b7GDEF机架d为最大分双摇杆机构a+d<b+c,b+d<a+c,c+d<a+b表1各子空间对应的四杆机构类型及尺寸关系（2）平面区间及子区间由式4-1可知，对任意机架尺寸d,有表示直角坐标系内一等截距平面。这些等截距平面和空间模型相交得到一些形状不同的平面六边形。如图5a，d=1.5，a+b+c=2.5的平面与空间模型相交所截的平面六边形，其平面图形如b所示，称为平面区间图。在互为120°的方向为别表示a、b、c三个坐标尺寸、均由0到2.0范围内改变，这是一种三坐标的封闭平面区间图。图形内任意一点都表示d为一定的一个机构尺寸型。图5b中P、Q、R三点分别表示机构相对尺寸：图5子空间中的平面区间图其中，d=1.0时为正六边形，分为1-6六个字区间；对应d=0和d=0.5的平面区间图如图6。过六边形各顶点引与外边平行的连线，把平面区间图分为八个子区间。图6平面区间图示例d<1.0(d=0.5)时，除上述六个子区间外，还有中间正三角形的8子区间；d>1.0（图5b）时，除1-6六个子区间外，还有中间正三角形的7子区间；由图5a可知：平面区间图上个子区间的分界线分别是矩形ABFD（平面a+b=2）、AEFC（平面a+c=2）、BCDE（平面b+c=2）与平面a+b+c+d=4（a+b+C=2.5）的交线，所以分别满足：如图5b，若在第二子区间取一点R，则该点满足条件：可见，平面区间图的八个子区间与空间模型的八个子空间是一一对应的。各子区间的分界线正是切空间模型的切口，G点事三个四边形的交点，空间模型的重心，也是a=b=c=d=1的机构位置。

利用空间模型可以制作四杆机构的各种性能图谱。性能图谱是机构分析与综合的有效参考图表。4.1.2机构的回路与分支机构的回路：不破坏任何运动副联接能够实现的构件的所有可能的方位机构的分支：在一个回路上，机构在两个静止位形间的连续系列位置

静止位形把一个回路分成一系列分支，机构可以有一个或多个回路，每个回路可以包括一个或多个分支，机构的回路数对应着机构位置方程可能解的数量。如：曲柄摇杆机构有两个回路，每个回路只有1个分支。而摇杆曲柄机构也有两个回路，每个回路则有两个分支机构的回路数，对应机构位置方程可能解的数量。

（ch2,3R杆组，有2解）一般来说，同一机构，不同的回路，与初始装配有关。

回路缺陷：一个机构必须改变回路才能从一个所期望的位置运动到另一个位置，回路缺陷是致命的，这种机构没有用处，因为不拆开重新装配就不能完成运动。分支缺陷：一个机构从一个回路运动到另一个回路，改变分支。分支缺陷可能有用也可能没有用。如：对心滑块曲柄机构，在两个极限位置可以由曲柄和连接其上的飞轮的惯性通过静止形位点，故能正常运转。铰链四杆运动链根据各构件尺寸情况可分为有曲柄存在和无曲柄存在两类尺寸链，即Grashof尺寸链和非Grashof尺寸链。所有满足Grashof条件的四杆机构都有两个回路，曲柄摇杆机构和双曲柄机构每一个回路内只有一个分支，双摇杆和摇杆曲柄机构每一回路有两个分支，非Grashof三摇杆四杆机构仅有一个回路但有两个分支。具体关系汇总如下表，四杆机构类型回路数每一回路的分支数非Grashof三摇杆机构12Grashof曲柄摇杆机构21Grashof双曲柄机构21Grashof双摇杆机构22Grashof摇杆曲柄机构22表2四杆机构回路与分支连杆机构的任何位置解必须考虑到它可能包含的回路数。4.1.3各种类型四杆机构的运动生成

为了能够正确的生成所期望的连杆机构的运动，必须正确地确定主动角与从动角的关系，主要是正确地选择回路和分支，在此之前必须确定原动件的转角范围。为此，必须对机构进行详细分类。根据尺寸条件和原动件选取不同分为表3所示的两类八杆机构。类型机构特点机构尺寸条件1原动件为最小的曲柄摇杆机构Grashof2连杆为最小的双摇杆曲柄机构Grashof3从动件为最小的曲柄摇杆机构Grashof4机架为最小的双曲柄机构Grashof5原动杆为最大的双摇杆机构非Grashof6连杆为最大的双摇杆机构非Grashof7从动杆为最大的双摇杆机构非Grashof8机架为最大分双摇杆机构非Grashof表3四杆机构类型的划分由于机构1-4都有两个回路，在确定主动角与从动角的关系时，两个回路分别对应的一个或两个值。但如表2所示，选择机架不同每个回路对应的分支数也不同。对应后四种情况，机构之一一个回路，但每个回路都有两个分支，这两个分支对应着的两个解。下面分别对各种机构原动件的转角范围确定以及回路与分支的选取情况进行讨论。1.原动杆a为最小的曲柄摇杆机构由于在这种情况下原动件为曲柄，作整周转动，故原动件的转角范围为0-2π，每一回路对应一个分支。2.b为最小的曲柄摇杆机构在这种情况下，机构为双摇杆机构，原动件不能作整周转动，这就需要确定原动件转角的最大值和最小值。图7b为最小的双摇杆机构当连杆与摇杆重叠共线时，角达到最小值，当连杆与摇杆拉直共线时角达到最大值。在此两极限情况下原动件与机架的夹角和可根据余弦定理求出：由此可以确定出原动件的转角范围（3）从最小角转向最大角的过程中，或最大角转向最小角的过程中可以对应不同的分支。因此欲获得封闭的连杆曲线，原动件从最小到最大和从最大到最小运动时，从动件转角的值为（4）3.c为最小的曲柄摇杆机构在这种情况下，从动件为曲柄，从动件的转角范围为0-2π，在此情况下存在两个回路，每个回路对应两个分支。的求法与第一种情况求相同。4.机架d为最小的双曲柄机构当机架为最小时，原动件和从动件都是曲柄，因此原动件的转角范围为0-2π。图8a为最大的双摇杆机构5.原动件a为最大的双摇杆机构，如图，机构处于

位置时，与拉直共线，运动到最大角。机构处于位置时，与拉直共线，运动到最小角。以下四种此类四杆机构原动件的两极限位置时机架都是对称的，设其对称角均为。原动件往返运动时对应的不同分支，即求的式（4）中根号前的值应分别取“+”和“-”，或相反。（以下三种情况的取值情况讨论与此相同）原动件的转角范围为（5）这种机构的两个连架杆相对机架的运动，一个在机架内侧摆动，一个在机架外侧摆动，故称内—外摆动型。6.连杆b为最大的双摇杆机构在这种情况下，式（4）中计算时公式中号的取法同情况5，如图所示，原动件的转角范围为

（6）图9b为最大的双摇杆机构6.从动杆c为最大的双摇杆机构在这种情况下，式（4）中计算时公式中号的取法同情况5，如图10所示，原动件的转角范围为

（7）6.机架d为最大的双摇杆机构在这种情况下，式（4）中计算时公式中号的取法同情况5，如图11所示，原动件的转角范围为

（8）图10c为最大的双摇杆机构图11d为最大的双摇杆机构4.2铰链四杆机构的连杆曲线4.2.1概述

关于连杆曲线的研究，从机构学这一学科形成之前直到现在，吸引了不少数学和机构学学者的注意，并不断获得新的发展。铰链四杆机构的运动链，按其杆长之间的关系，可分为三大类：2、非Grashof运动链：不满足上述条件。3、过渡类型：最短杆和最长杆长度之和等于另两杆长度之和。(又称特殊类型)1、Grashof运动链：满足最短杆与最长杆长度之和小于另两杆长度之和最短杆为连架杆最短杆为机架最短杆为连杆图12Grashof运动链第一种类型的运动链，无论以哪一个构件作为机架，同样杆长的运动链可以得到一个机构的两种装配型（图12），即两个回路，只有将某一运动副分解后重新装配才可能由一种形式过渡到另一种形式；因此两种装配形式连杆上同一点c所描绘的曲线不同。即第一种类型的运动链，连杆上的某一点，有两条不能过渡的连杆曲线。

第二种类型的运动链，无论以哪一杆作为机架，一种机构只有一种装配形式，即一个回路（对称的除外），因而其连杆曲线只有一条，但这一条曲线是由两个分支构成的连续曲线。图13非Grashof运动链第三种运动链的特点是具有运动不确定的位置。在这样的位置，机构可以由一种装配形式过渡到另一种装配形式。以平行四杆机构为例，当机构为平行四边形时，连杆上某点的曲线为圆，若变为交叉四连杆机构时，该点的曲线则不同。因此当机构处于运动不确定位置时，可由一种连杆曲线过渡到另一种曲线。而当杆长稍有偏差时，则不能保持平行四边形关系，机构的两个运动不确定位置消失。这是该机构的连杆曲线已属于上述的（1）或（2）型。4.2.2铰链四杆机构的连杆曲线方程及其性质1.连杆曲线方程图14四杆机构各参数及其连杆曲线A点坐标B点坐标A、B两点所画圆的方程（9）（10）（11）（12）将（9）、（10）分别带入（11）、（12）得由上式解出和，并代入，得到连杆曲线方程：（13）式中（14a）（14b）（14c）其中，U、V是三次方程，W为二次方程，故铰链四杆机构的连杆曲线应为六阶曲线。六阶的连杆曲线与一般直线最多有六个交点。2.三重虚圆点六阶曲线将连杆曲线方程化为其次坐标（X、Y、Z）表示的形式，即将

代入（14）的各式，然后令Z=0，即可解出

（15）连杆曲线与无穷直线的交点应为（16）将（15）代入上式并化简后得（17）式中，，一般不为0，因而交点的方程为即连杆曲线与无穷远直线交于平面上的虚圆点（1，i，0）与（1，-i，0），而且两个交点都是三重点。显然，连杆曲线与无穷远直线的六个交点都是虚点，铰链四杆机构的连杆曲线是三重虚圆点六阶曲线。3.连杆曲线的二重点图15聚源三个二重点的连杆曲线

（18）

4.连杆曲线上的尖点设连杆平面上的C点位于动瞬心线和定瞬心线的切点，即重合于瞬心P。这时，C点轨迹的曲率半径应为0，即C点成为尖点。尖点为上述二重点的一种特殊情况，因而也位于焦点圆k’上。图16具有尖点的连杆曲线设C1、C2为连杆曲线上的两个尖点，则C1、C2在焦点圆k’上，而且C1、C2都是连杆平面在其相应位置的瞬心。由于故因此即可以视为连杆绕转过角的位置。由图可见故由此，即曲柄销A1、A2应位于为直径的圆上。对于尺寸已知的四杆机构，为了确定连杆上能描绘有两个尖点的连杆曲线的点，只需以为直径作出圆，并求出其与曲柄圆的两交点A1和A2，再画出相应的点B1和B2，最后分别求出与的交点和与的交点，即C1和C2。4.3同源机构

能够描绘同一连杆曲线的机构族称为同源机构。（不同的连杆机构，相同的连杆曲线）

工程应用价值：为达到某种工程目的，需要一种连杆曲线，而当实现这种连杆曲线的固定轴（绞链点）的位置在机架上不方便安装（机构尺寸上受制），在这种情况下，可采用同源机构。4.3.1Sylvester仿图仪

构件1、2、3、4组成一平行四边形OA1PA。构件2和4上的两三角形AMP与A1PM1相似。当M点沿曲线C运动时，M1点沿曲线C1运动。C1曲线与C曲线相似，只是尺寸成比例放大（缩小）k被（放大系数k=OM1/OM=AP/AM），并转过了角度a。图19仿图仪机构Sylvester仿图仪是一过约束机构，使M点在导向曲线C上运动所得到P点的轨迹，与使M1点在另一导向曲线C1上运动时P点的轨迹相同。现阐明此仿图仪的原理，为此需证明并需证明为定值。由构件2、4上相似三角形得亦即又由得与相似因而利用平行四边形关系，极乐的（22）式（22）式中

如果C曲线是一圆弧，则C1也是一圆弧，二者之间的半径比为k。设圆弧C的圆心（设为O1）与M点之间加一二副回转构件；圆弧C1的圆心（设为O2）与M1点之间加一二副回转构件，则此时就得到两个机构OAMO1，OA1M1O2，这两个机构上有一个相同的连杆点P，因此他们的连杆曲线相同，这样能描绘同一连杆曲线的机构族称为同源机构。例：有一曲柄滑块机构连杆点，描绘一条给定的连杆曲线，试求另一个能描述相同连杆曲线的曲柄滑块机构。解：增加新的二杆组,使得为平行四边形,与相似,则点也将做直线运动,其直线导轨β′为将原导向直线β转过α角得到，在点加一滑块，新的曲柄滑块机构，其连杆上的P点可以描绘相同的连杆曲线。4.3.2

Roberts—Chebyschev定理存在三个不同的平面铰链四杆机构描绘相同的连杆曲线，SamuelRoberts(1875)和Chebyschev（1878）独立发现这一定理，所以用他们两人的名字表示。

为基本四杆机构，其连杆上C点描绘连杆曲线。在此机构上叠加二杆组，并按上述原理构成仿图仪，则点的轨迹与Ａ点轨迹相似（圆弧）。点圆弧的半径，圆心可以根据以及与由定。图２１同源机构示例上式中。因加上构件不影响二杆组的运动，由此得到四杆机构，其连杆上Ｃ点与原机构Ｃ点有相同的连杆曲线。根据类似做法可以求出另一四杆机构，其连杆上Ｃ点也可描绘同一曲线。因而四杆机构

、、是同源机构。三固定铰链位置所确定的三角形与连杆三角形ＡＢＣ相似，即前述的三个焦点。在图21中的三个四杆机构课连在一起同时运动，可以看出，保持与AC平行，保持与BC平行。AC与BC刚性相连，故与的角速度相同。此位形称为Roberts图——三个四杆机构同源，他们享有相同的连杆曲线。4.3.3同源机构的应用及求法图22a表示一个四杆机构，需要求出它的两个同源机构。第一步，释放固定铰接点和。当保持连杆不动，转动构件2和4与构件3的中心线共线，如图22b所示。

第二步，画原机构各构件所有边的平行线就生成了图22c所示的cayley图。这种图形配置确定了属于同源机构的构件5至构件10的长度和形状。全部三个四杆机构公用原连杆点P，因此在它们的连杆曲线上生成相同的轨迹运动。图22确定四杆机构同源机构的cayley图为了从Cayley图上找到固定轴点的正确位置，构件2和构件4的端点。返回到原来的固定轴位置和，如图所示。其他构件将随同这一运动，各构件之间保持平行四边形关系，因此固定轴点将位于机架平面的合适位置。图23Roberts图也可以如前面所述直接从原机构图画出，而无需求助Cayley图。可以从原机构中直接确定固定转轴的位置，如图所示，画出连杆的相似三角形，底边为，顶角位于点。十杆Roberts位形（Cayley）的9杆加机架现在可以驱动到任何极限位置，点P将描绘原连杆轨迹，该轨迹对三个同源机构是相同的。当Roberts机构运动时，点将不运动，证明它是机架轴点。同源机构可以被分离开，如图，并且三个机构的任何一个都可以用于生成相同的连杆曲线。同源机构中的对应构件将于原机构相同的角速度。如果原机构是Grashof曲柄摇杆机构，那么一个同源机构也将是Grashof曲柄摇杆机构，而另一个将是Grashof双摇杆机构。曲柄摇杆同源机构的最小传动角与原曲柄摇杆机构相同。如果原机构是非Grashof三摇杆机构，那么两个同源机构也是三摇杆机构。Grashof机构的同源机构不能改善原机构的传动角，优点是给出了机构不同固定轴位置和其他点的不同速度和加速度。虽然连杆轨迹对全部同源机构相同，通常它的速度和加速度不同，因为每一同源机构的全部几何条件是不同的。当连杆点位于构件3的中心线上时，Cayley图退化为一组共线的直线，需要用一种不同的方法确定同源机构的几何条件。Hartenberg和Denavit给出了下面一系列步骤找出此情况下的同源机构。1）固定转轴位于中心的延长线上，它平分线与P平分AB的比例相同（即，）。2）直线平行于，