2027届高中数学一轮复习第八章解析几何第四节椭圆学案（教师用）

第四节椭圆新课标要求真题分布1.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．2．通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想．3．了解椭圆的简单应用．2025年全国Ⅰ卷T18，全国Ⅱ卷T162024年新高考Ⅱ卷T52023年新高考Ⅰ卷T5必备知识·回归教材清单式排查彰显一个“准”知识导图【重要结论】1．椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2b2．椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有关，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆．3．椭圆系方程(1)与x2a2+y2b2＝1(a>b(2)与x2a2+y2b2＝1(a>b>0)有共同的离心率的椭圆系方程为x24．椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大，S(2)S△F1PF2＝12·|PF1|·|PF2|·sinθ＝b2(3)(|PF1|)max＝a＋c，(|PF1|)min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|≤PF1+PF222＝a2.当且仅当|PF1|＝|(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．回归教材1.(人教A版选修一P116习题T12改编)若椭圆C：x2A．3 B．2＋3C．2 D．3＋12．(人教A版选修一P115习题T6)已知圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝16，定点N(1，0)，P为圆M上任意一点，线段NP的垂直平分线与直线MP相交于点Q，则点Q的轨迹为()A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆3．(人教A版选修一P145复习参考题T2(1))椭圆x225+y2A．长轴长相等 B．短轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等4．(人教A版选修一P109练习T3)经过椭圆x225+y216＝1的右焦点F2作直线交椭圆于A，B两点，F1多元视角·拓展教材探究式精练收获一个“赢”视角一椭圆的定义及应用例1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝81和C2：x-32＋y2＝1，若动圆PA．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线(2)设M是椭圆x225+y216＝1上的一点，F1，F2为焦点，∠F1MF2＝π6A．1633 C．162-3 学霸笔记：(1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等．(2)与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦正理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．跟踪训练(1)已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆(2)椭圆C：x29+y2m＝1的两个焦点分别为F1，F2，长轴长为10，点P在椭圆C上，则A．16 B．18C．10＋234 D．20视角二椭圆的标准方程例2(1)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若∠F1MF2＝2π3，且A．x24＋y2＝1 B．C．x28+y22＝1 (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点-3学霸笔记：(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程；(2)待定系数法；根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，用待定系数法求出m，n的值即可．跟踪训练(1)已知椭圆的两个焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1||MF2|＝8，则该椭圆的标准方程是()A．x27+y22C．x29+y24(2)已知四点A1，32，B(1，1)，C(0，1)，D-1，32中恰有三点在椭圆视角三椭圆的几何性质题型1椭圆的离心率例3(1)(2026·石家庄模拟)已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，右顶点为A，FA．22 B．C．3-12 (2)(2026·新乡模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为C上一点，设△PF1F2的内切圆为圆B，连接PB并延长交xA．13 B．C．23 D．学霸笔记：(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式e＝ca(2)列出含有a，b，c的齐次方程(不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(不等式)求解．(3)利用公式e＝1-b跟踪训练(1)已知椭圆C：x216+y2b2＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为PF2的中点，若△A．14 B．C．34 D．(2)(2026·梅州模拟)已知A，B，F分别是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，A．12 B．C．3-12 题型2与椭圆有关的最值(范围)问题例4(1)已知F1，F2是椭圆C：x29+y24＝1的两焦点，点A．－1 B．1C．3 D．4(2)已知F1，F2分别为椭圆x2100+y264＝1的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为(2，－6)，P学霸笔记：(1)充分利用椭圆的几何性质，结合图形进行分析．(2)注意利用椭圆中的范围，如－a≤x≤a，－b≤y≤b，0<e<1，构造不等式．(3)列出所求目标的解析式，构造函数，利用单调性或基本不等式求最值或范围．跟踪训练(1)设F是椭圆C：x225+y29＝1的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于PA．12B．14C．16D．18(2)椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)和圆x2＋y2＝bt+c2A．0，45 C．1717，45提示：请完成课时作业49第四节椭圆必备知识·回归教材回归教材1．解析：椭圆的标准方程为x24+y23＝1，长半轴长a＝2，半焦距答案：A2．解析：因为圆M的圆心为M(－1，0)，半径为r＝4，由题知|QN|＝|QP|，又|QP|＋|QM|＝r＝4，则|QN|＋|QM|＝4>|MN|＝2，所以点Q的轨迹是以M(－1，0)，N(1，0)为焦点的椭圆．故选A.答案：A3．解析：椭圆x225+y29＝1的长轴长为2×5＝10，短轴长为2×3＝6，焦距为2×4＝8，离心率为45，椭圆x225-k+y答案：D4．解析：△AF1B的周长＝|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝20.答案：20多元视角·拓展教材视角一例1解析：(1)圆C1：(x＋3)2＋y2＝81和C2：(x－3)2＋y2＝1的圆心、半径分别为C1(－3，0)，r1＝9，C2(3，0)，r2＝1，由|C1C2|＝6<9－1＝8可知圆C2内含于圆C1内．设动圆半径为R，由题意|C2P|＝r2＋R，|C1P|＝r1－R，两式相加可得|PC1|＋|PC2|＝r1＋r2＝10>|C1C2|＝6，故P点的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆．故选B.(2)∵M为椭圆x225+y216＝1上的一点，F1，F2为焦点，∠F1MF2＝π6，∴a2＝25，b2＝16，可得c2＝a2－b2＝9，即a＝5，c＝3，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，则有m＋n＝10，∵∠F1MF2＝π6，∴36＝m2＋n2－2mncosπ6＝(m＋n)2－mn2+3＝100－mn2+3，答案：(1)B(2)C跟踪训练解析：(1)如图，取PF1的中点M，连接MO，则MO为△PF1F2的中位线．因为|MF1|＋|MO|＝12PF1+PF2＝a>|(2)因为长轴长为10，即2a＝10，所以长半轴长a＝5，则由题可知b2＝9，短半轴长b＝3，半焦距c＝a2-b2＝4，故△PF1F2的周长为2答案：(1)A(2)B例2解析：(1)由题设S△F1MF2＝12|MF1|·|MF2|sin∠F1MF2＝12|MF1|·|MF2|sin2π3＝3，可得|MF1|·|MF2|＝4，又M为上顶点，则|MF1|＝|MF2|＝a＝2，故|F1F2|＝MF12+MF22-2MF1·MF(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．由椭圆经过两点-32，52，3，5，可得答案：(1)A(2)y2跟踪训练解析：(1)设|MF1|＝m，|MF2|＝n，∵MF1⊥MF2，|MF1||MF2|＝8，|F1F2|＝25，∴m2＋n2＝20，mn＝8，∴m+n2＝36，∴m＋n＝2a＝6，∴a＝3，∵c＝5，∴b＝2，∴椭圆的标准方程是(2)∵椭圆E为标准方程，其图象关于坐标轴对称，点A1，32与点D-1，32关于y轴对称，又恰有三点在椭圆上，可知A，D两点必在椭圆上，若点B(1，1)也在椭圆上，设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，则将A，B坐标代入椭圆标准方程x2a2+y2b2＝1可得1a2+34b2＝1，1a2+1b答案：(1)C(2)x24＋y视角三例3解析：(1)设椭圆上顶点的坐标B(0，b)，右顶点的坐标A(a，0)，左焦点F1(－c，0)，则直线AB的方程为xa+yb＝1，即bx＋ay－ab＝0，由F1到直线AB的距离为b，得b·-c+0-aba2+b2＝b，又b2＝a2－c2，化简得2c2＋2ac－a2＝0，即2ca2＋2ca－1＝0，所以2e2＋2e(2)如图，连接BF1，BF2，B是△PF1F2的内心，则BF1，BF2分别是∠PF1F2和∠PF2F1的角平分线，PA为∠F1PF2的角平分线，可得PBBA＝PF1F1A，PBBA答案：(1)C(2)A跟踪训练解析：(1)因为Q为PF2的中点，而O是F1F2的中点，所以|OQ|＝12PF1，所以△QOF2的周长是△PF1F2周长的一半，又△QOF2的周长为6，所以△PF1F2周长是12，即|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝12，得a＋c＝6，又a＝4，所以c＝2，(2)由已知可得A(a，0)，B(0，b)，F(c，0)，线段AF的垂直平分线方程为x＝a+c2，过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，所以圆心坐标为a+c2，b，圆的半径为a+c2，所以经过A，B，F三点的圆的方程为x-a+c22＋(y－b)2＝a+c22，A(a，0)在圆上，所以a-a+c22＋(0－b)2＝a+c22，整理得b2＝ac，所以a2－c2＝ac，所以c2＋ac－a2＝0，化为e答案：(1)B(2)B例4解析：(1)对于椭圆C：x29+y24＝1，则a＝3，b＝2，c＝a2-b2＝32-22＝5，所以F1-5，0，F25，0，设点M(x，y)，其中－3≤x≤3，且x29+y24＝1，故y2＝4－49x2，所以MF(2)由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，F1(－6，0)，则|PM|＋|PF2|＝20＋|PM|－|PF1|，又点M(2，－6)在椭圆内部，|MF1|＝64+36＝10，所以|PM|－|PF1|≤|MF1|＝10，即|PM|＋|PF2|＝20＋|PM|－|PF1|≤30，当点M在PF1的延长线上时，等号成立，所以|PM|＋|PF2|的最大值为30.答案：(1)A(2)30跟踪训练解析：(1)由椭圆的对称性可知P，Q两点关于原点对称，设椭圆的另一个