重庆市渝中区2025-2026学年高二数学下学期5月期中试题含解析

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题的四个选项中只有一项是符

合题目要求的）

1.函数在处的切线与轴平行，则实数（）

A.B.C.0D.1

【答案】A

【解析】

【详解】函数的定义域为，.

由题意知，，即，解得.

2.已知变量与变量正相关，样本数据中，，…，和，，…，的均值分别是，

，将成对数据按照平移后绘制散点图，关于该散点图说法正确的是（）

A.大部分散点位于第一、四象限B.大部分散点位于第二、三象限

C.大部分散点位于第一、三象限D.大部分散点位于第二、四象限

【答案】C

【解析】

【详解】因为变量与变量正相关，

所以，

设，

所以，

所以变量与变量正相关，因此大部分散点位于第一、三象限.

3.等比数列的前项和为，若，则实数（）

A.1B.2C.3D.6

【答案】D

【解析】

【分析】求出，根据与的关系求出数列通项，满足数列通项即可解得实数，验证满足等比数列

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即可.

【详解】当时，，

当时，.

依题意，时也应该满足，则，解得.

当时，，，满足为等比数列，所以.

4.随机变量服从正态分布，若，则（）

A.0.8B.0.7C.0.3D.0.2

【答案】B

【解析】

【分析】利用正态分布概率密度曲线关于均值对称的性质计算求解.

【详解】已知随机变量服从正态分布，因此其概率密度曲线关于直线对称，

可得.

根据概率的基本性质，总概率为1，因此.

5.双曲线（，）的左右焦点分别是，，是坐标原点，，两个点在双曲

线上满足，，则该双曲线的离心率（）

A.B.2C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件，可推出为直角三角形；再根据，结合双曲线

定义，表示出三角形各边的长，利用勾股定理建立等量关系，即可求出离心率.

【详解】解：由题意知，，，，

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由，为中点，易知为直角三角形，即，

因为，所以设，则，，

根据双曲线定义可知，，，

所以，，，

在中，由勾股定理可得，

即，化简整理得，

因为，所以.

在中，由勾股定理可得，即，

代入得，，所以，即，

又因为，所以.

6.若在上单调递增，则实数最大值是（）

A.B.C.1D.

【答案】D

【解析】

【分析】分析可知，恒成立，可知对任意的，

，参变量分离得，构造函数，其中，利

用导数求出函数的最小值，即可得出实数的最大值.

【详解】因为，则，

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由题意可知对任意的，恒成立，

因为，故只需对任意的，，

参变量分离可得，构造函数，其中，

则，

令，其中，则，

故函数在上为增函数，所以，即当时，，

由可得，由可得.

所以函数在上递减，在上递增，

所以，故的最大值为.

7.学校一楼到二楼共有15级台阶，某同学每一步可以走一级或两级台阶，事件表示“用13步走完15

级台阶”，事件表示“走楼梯的过程没有连续2步走两级台阶”，则（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【详解】设13步中，有x步走两级台阶，有y步走一级台阶，

则，解得，即用13步走完15级台阶，需13步中选2步走两级台阶，11步走一级台

阶，

走法数为，即得；

事件表示用13步走完15级台阶且没有连续2步走两级台阶，

即选出的走2级台阶的2步不能相邻，即11步走的一级台阶先排好，产生12个空隙，

选2个空隙插入走2级台阶的2步，走法数为，即，

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故.

8.向量，其中，且，，均为正整数，则满足条件的的个数是（）

A.84B.56C.36D.21

【答案】B

【解析】

【分析】将问题转化为计算正整数不定方程（取3到8的整数）的解数之和，利用隔板法求

解.

【详解】已知均为正整数，故，

因此的最小取值为，符合约束，

所以的取值范围为，

对于正整数不定方程，根据隔板法，其正整数解的个数为：

当时，解的个数为；

当时，解的个数为；

当时，解的个数为；

当时，解的个数为；

当时，解的个数为；

当时，解的个数为；

将所有解数求和得总个数为，即满足条件的向量的个数为56.

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分）

9.变量与变量有较强的线性相关性，由下列表格得到经验回归方程是，则（）

12345

24568

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A.B.变量与变量负相关

C.当时，预测值D.当时，样本点对应的残差是

【答案】ACD

【解析】

【分析】本题考查线性回归方程的性质、相关关系判断、残差计算，核心利用回归直线必过样本中心点求

解回归系数，再逐一验证选项即可.

【详解】先计算样本中心点：，.

经验回归直线过样本中心点，代入得，解得.

选项A：由上述计算得，A正确；

选项B：，说明变量与正相关，B错误；

选项C：当时，代入回归方程得，即预测值为11，C正确；

选项D：残差定义为实际值减预测值，当时，，对应实际，

故残差，D正确.

10.若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（）

A.B.二项展开式中存在常数项

C.二项系数之和与各项系数之和不相等D.二项展开式的第9项的系数最大

【答案】B

【解析】

【详解】对A，因为的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，

所以展开式共有项，所以，错误；

对B，展开式的通项公式为，

令得，即展开式中第5项为常数项，正确；

对C，令可得各项系数和为，二项式系数和为，错误；

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对D，第11项的系数为，第9项的系数为，

所以第11项的系数大于第9项的系数，错误.

11.随机变量，，若，则下列说法正确的是（）

A.B.

C.D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据二项分布的数学期望和方差运算公式，结合数学期望和方差的性质逐一判断即可.

【详解】因为随机变量，，且，

所以或，

当时，，

当时，，所以选项A不正确；

因为，

所以，所以选项B正确；

因为，

所以，所以选项C正确；

当时，，

因为，

所以；

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当时，，

因为，

所以，

综上所述：，因此选项D正确.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.等差数列的前项和是，若，则______．

【答案】

42

【解析】

【分析】利用等差数列的性质求得，再根据等差数列的前项和的性质求解.

【详解】因为等差数列，，所以，故，解得，

所以.

13.现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学

只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量

是________．

【答案】100

【解析】

【分析】先分组，然后将含甲同学的小组分配到数学或物理小组，再分配另外两个小组即可.

【详解】第一步，将五人分成三个小组，各小组人数有和两类情况，

当按照分组时，有种分组方法，

当按照分组时，有，

所以总的分组方法有种；

第二步，将含有甲的小组分到数学或物理兴趣小组，有2种方法；

第三步，将剩余两组分配到另外两个兴趣小组，有种方法.

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又分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有种方法.

14.抛物线：的焦点是，不过原点的直线与抛物线相交于，两点，且，

直线与抛物线相交于点，直线与抛物线相交于点，则________．

【答案】##

【解析】

【分析】设，利用得出，再利用

三点共线得出，即可求出，代入计算即可.

【详解】由题意得，，

设，其中，

因为，所以，

因为，即，

所以，即，

因为，所以，同理可得，，

则，

故.

四、解答题（本大题共77分，解答题应写出文字说明，证明过程和验算步骤）

15.为了比较甲，乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，通过测验得到

了如下数据：甲校50名学生中有10名数学成绩优秀，乙校50名学生中有15名数学成绩优秀．

（1）请将列联表补充完整；

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数学成绩

学校合计

优秀不优秀

甲校10

乙校15

合计100

（2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异．

（3）用甲校数学成绩样本的优秀率作为甲校数学成绩总体的优秀率，估计甲校的3名学生中恰好有两名学

生数学成绩优秀的概率．

参考数据：

0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）

数学成绩

学校合计

优秀不优秀

甲校104050

乙校153550

合计2575100

（2）不能据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异

（3）

【解析】

【分析】（1）根据题意完成列联表，

（2）结合零假设、卡方公式进行运算求解判断即可；

（3）利用二项分布求解即可.

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【小问1详解】

由已知，列联表如下：

单位：人

数学成绩

学校合计

优秀不优秀

甲校104050

乙校153550

合计2575100

【小问2详解】

零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异.

根据列联表数据，计算得到

.

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，

因此不拒绝原假设，即不能认为两校学生的数学成绩优秀率有差异.

【小问3详解】

甲校数学成绩样本的优秀率为，作为甲校数学成绩总体的优秀率，

设甲校的3名学生中成绩优秀的人数为，则，

所求概率为.

16.数列满足，，且．

（1）证明是等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析

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（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）对给定递推式变形构造目标数列证明其为等比数列；

（2）利用(1)中等比数列结论构造等差数列求出通项即可；

（3）根据通项等差乘等比的结构用错位相减法求前n项和.

【小问1详解】

已知，

移项可得，

又，，则，

因此为常数，

故是首项为3，公比为3的等比数列.

【小问2详解】

由（1）得，

两边同除以得，

因此是首项为，公差为的等差数列，

故，即知.

【小问3详解】

由（2）知，

所以，①

两边同乘3得，②

①-②得：，

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，

所以，

解得.

17.椭圆：（）的焦点分别为，，上顶点是，是面积为的等边

三角形．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线与椭圆相交于，两点，且，求实数的取值

范围．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据条件列方程组求解；

（2）设，根据得出坐标关系，代入椭圆方程中求出，根

据求解.

【小问1详解】

由题意得，，，，

得，

故椭圆的标准方程为；

【小问2详解】

设，

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由且可知，

则，得，即，

由，得，得，

即，

即，即，得，

因为，所以，

故实数的取值范围为.

18.函数，存在两个不同的零点，（）（其中是自然对数的底数）．

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：．

【答案】（1）

（2）证明见详解

【解析】

【分析】（1）根据题干两个零点条件，可知函数的极小值需小于0才能满足条件，利用导数求出极小值，

列出不等关系，求解即可；

（2）根据，为两个不同的零点，建立，等量关系；再根据两个不等式构造相应的两个函

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数，利用导数研究函数的单调性，即可得出证明.

【小问1详解】

解：由题意知，函数的定义域为，则，

当时，，在上单调递增，

因此最多存在一个零点，不合题意；

当时，令，则，

当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增，所以在处取极小值，即

，

又因为存在两个不同的零点，所以当时，才能符合题意，

即，又，所以，解得，

因此，当存在两个不同的零点时，实数的取值范围为.

【小问2详解】

证明：由，为两个不同的零点，则，

即，，则，，

所以，化简得，令，则，

因为，所以，所以，即，

因此，两边取对数得，所以，则，

所以.

要证，需证，即，

令，则，

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，所以单调递增，即，

因此单调递增，所以，即，所以；

要证，需证，

由（1）知在处取极小值，且，所以，则，

又在上单调递增，所以只需证明，

因为，只需证，

令，

则，

所以在上单调递增，则，

所以，即，又，

所以，

又因为，都在的单调递增区间上，所以，

即，因此原不等式得证.

19.现有两个不透明的，箱子装有大小质地一样，只有颜色不同的若干小球，其中箱子中装有2个

红球，1个白球，箱子中装有3个红球，3个白球．先从箱子采取不放回的方式依次取球，当箱子内

的小球颜色只剩一种时，停止从箱子取球，并将箱子剩余的球混入箱子后再从箱中采取不放回的

方式依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从箱子取球，记为停止从箱子取球时，